江苏省连云港市2023-2024学年高一上学期一月学情检测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省连云港市2023-2024学年高一上学期一月学情检测数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得.故选：C.3.命题：的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由全称命题的否定为特称命题，知命题：的否定是.故选：D．4.无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为无论取何值时，不等式恒成立，所以，，解得，所以，的取值范围是.故选：D.5.已知都为锐角，，，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为都为锐角，即，所以，因为，，所以，，所以.故选：A.6.中，是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗在三角形中，由，则成立，即充分性成立，反之不成立，如：当时，满足，但，即中，是的充分不必要条件.故选：A.7.把函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为的奇函数，则和的值分别为（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗B〖解析〗将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得到函数，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为函数是一个最小正周期为的奇函数，则，解得，且有，可得，，，.故选：B.8.已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（）A.图象关于直线对称 B.的图象关于点对称C. D.的一个周期为8〖答案〗C〖解析〗由题意知是奇函数，即，即，即，故的图象关于点对称，B结论正确；又是偶函数，故，即，故的图象关于直线对称，A结论正确；由以上可知，即，所以，则，故的一个周期为8，D结论正确；由于，令，可得，而的图象关于直线对称，故，C结论错误.故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若，，则下列各式中，恒等的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A：，故选项A不正确；对于B，根据对数的运算法则得，故B正确；对于C：，故选项C不正确；对于D：，故选项D正确；故选：BD.10.设正实数a，b满足，则（）A.有最大值4 B.有最大值C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，正实数a，b满足，即有，可得，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值4，无最大值，所以A错误；对于B，由选项A可知，，当且仅当时取等号，所以B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，C正确；对于D，，当且仅当时等号成立，D正确.故选：BCD.11.已知函数，且，是函数相邻的两个最大值点，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗A选项：因，所以，因，，故，故A错误；B选项：因，是函数相邻的两个最大值点，所以，所以，故B正确；C选项：由题意，时，即，即，因，故，故C错误；D选项：由以上选项知，，，故D正确.故选：BD.12.已知函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，当时，，则，易得在上单调递减，且，当时，，则，易得上单调递增，且，即，当时，，则由，的图像，可知在上单调递减，在上单调递增，且，，，，，从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示：因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点，所以，故A正确；对于B，结合选项A中分析可得，所以，则，故B错误；对于C，D，由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称，所以，又当时，，令，得，所以，，所以，得，所以，故C正确；又由图像可知同增同减，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知幂函数的图像过点，函数的〖解析〗式为_________.〖答案〗〖解析〗因为幂函数的图像过点，∴，解得，∴函数的〖解析〗式为.故〖答案〗为：.14.函数的最小值为___________.〖答案〗〖解析〗根据题意可得，令，则，根据二次函数性质可得，所以函数的最小值为.故〖答案〗为：.15.已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围______________.〖答案〗〖解析〗设，因为方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，则满足，解得，即实数的取值范围为.故〖答案〗为：.16.已知函数的图象与的图象有四个不同交点，其横坐标从小到大依次为，，，，则______.〖答案〗〖解析〗函数的图象，与的图象有四个不同交点，则，两边除以得到，设，原式，或，，为偶函数，有两个解互为相反数，有两个解互为相反数，.故〖答案〗为：1.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，，，∴.（2）因为，所以，所以，所以的取值范围为：．18.已知为第三象限角，且．（1）化简；（2）若，求的值．解：（1）.（2）∵，∴，又为第三象限角，∴.19.已知函数（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）指出图象可由的图象经怎样的变换得到？并求在区间上的单调递减区间.解：（1）故所以在区间上的最大值为最小值为（2）的图象可由先向左平移个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标变为原来的纵坐标变为原来的倍得到，令解得当时，当时，所以在区间上的单调递减区间为20.已知定义域为的函数是奇函数.（1）判断的单调性，并证明；（2）解关于的不等式.解：（1）因为是定义在R上的奇函数，则，即，解得，所以，故在R上是递减函数，证明：任取、，且，则，又，∴，即，故是定义在R上的递减函数.（2）∵，∴，是R上的奇函数，∴，是R上的减函数，∴，∴，解得，∴不等式的解集为．21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为45米，最低点距离地面5米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要10分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.设经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知.（，，）.（1）试求的〖解析〗式；（2）求游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15米时的时刻.解：（1）且，∴，，由得，∵，∴，又，∴（）.（2）令，，，∵，∴，∴或，∴或，答：游客甲坐上摩天轮转第一圈过程中离地面高度为15米的时刻为第分钟和分钟.22.已知函数.（1）若，求的零点；（2）若方程恰有一个实根，求实数的取值范围；（3）设，若对任意，当时，满足，求实数的取值范围.解：（1）当时，，令，即，解得，所以的零点为.（2）因为且，化简可得且，当时，，