辽宁省葫芦岛市2024届高三上学期1月学业质量监测考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1辽宁省葫芦岛市2024届高三上学期1月学业质量监测考试数学试题第I卷（选择题）一、选择题1.集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，则.故选：D2.已知为虚数单位，若是纯虚数，则（）A. B.2 C.5 D.〖答案〗A〖解析〗因为：为纯虚数，所以，解得.所以.故选：A3.下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对A，为偶函数，故A错误；对B，在上不为增函数，故B错误；对C，既是奇函数又在上单调递增，故C正确；对D，为偶函数，故D错误.故选：C4.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄，该方案将从正式实施开始每年延长几个月的退休时间，直到达到法定退休年龄.男性延迟退休的年龄情况如表所示：出生年份1961年1962年1963年1964年1965年1966年退休年龄60岁60岁+2月60岁+4月60岁+6月60岁+8月60岁+10月若退休年龄与出生年份满足一个等差数列，则1981年出生的员工退休年龄为（）A.63岁 B.62岁+10月 C.63岁+2月 D.63岁+4月〖答案〗D〖解析〗因为退休年龄与出生年份满足一个等差数列，由题意可知：，，所以.故选：D5.的展开式中常数项为第（）项A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗的通项为，令有.故展开式中常数项为第5项.故选：B6.已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（）A.8 B.5 C.3 D.2〖答案〗B〖解析〗设右焦点为，又由对称性，不妨设在渐近线上.根据双曲线的定义可得，当且仅当三点共线时取等号.又当与渐近线垂直时取最小值，为，故最小值为5.故选：B.7.如图，正六棱台，已知，，，则下列说法正确的是（）A. B.平面C.平面 D.与底面所成的角为〖答案〗C〖解析〗设正六棱台上、下底面的中心分别为、，则平面，连接、，取线段的中点，连接，因为，，，由正六边形的几何性质可知，是边长为的等边三角形，则，因为，则，所以，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设，则，则，可得，所以，、、、，对于A选项，，，故、不共线，A错；对于B选项，，，所以，，故、不垂直，则与平面不垂直，B错；对于C选项，设平面的法向量为，，由，取，则，，即，因为，则，即，又因为平面，因此，平面，C对；对于D选项，易知底面的一个法向量为，，故与底面所成的角为，D错.故选：C.8.已知直线与曲线相切，则的值为（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗的导函数，设切点为，则，故，即，则.易得函数为增函数，且，故.故.故选：A二、多选题9.下列选项中，与“”互为充要条件的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗对A，则，即，，解得，故A错误；对B，则，故，解得，故B正确；对C，则，解得，故C正确；对D，，则，解得，故D错误.故选：BC.10.某校4个班级学生的一次物理考试成绩的频率分布直方图如下，已知成绩在范围内的人数为30人，则下列说法正确的是（）A.的值为0.15 B.4个班的总人数为200人C.学生成绩的中位数估计为66.6分 D.学生成绩的平均数估计为71分〖答案〗BD〖解析〗对A，，解得，故A错误；对B，成绩在范围内的频率为，故4个班的总人数为人，故B正确；对C，因为，故学生成绩中位数估计为70分，故C错误；对D，学生成绩的平均数估计为分，故D正确.故选：BD11.如图，为等腰直角三角形，斜边上的中线为线段中点,将沿折成大小为的二面角，连接，形成四面体，若是该四面体表面或内部一点，则下列说法正确的是（）A.若点为中点，则过的平面将三棱锥分成两部分的体积比为B.若直线与平面没有交点，则点的轨迹与平面的交线长度为C.若点在平面上，且满足，则点的轨迹长度为D.若点在平面上，且满足，则线段长度的取值范围是〖答案〗BC〖解析〗对A，如图示，由题意可知，，，底面，故底面.由于E为线段BD中点，点为中点，故，又三棱锥与三棱锥等高，故，，故过的平面将三棱锥分成两部分的体积比为，故A错误；对B，若直线PE与平面ABC没有交点，则P点在过点E和平面ABC平行的平面上，如图示，设CD的中点为F，AD的中点为G，连接EF，FG，EG，则平面平面ABC,则点P的轨迹与平面ADC的交线即为GF，由于△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线，故，则，故B正确；对C，若点P在平面ACD上，且满足，以D为原点，DC,DA为x,y轴建立平面直角坐标系，如图，则，设，则，即，故P点在平面ADC上的轨迹即为该圆被平面ADC截得的圆弧（如图示），由可得圆心，则，则点P轨迹长度为，故C正确；对D，由题意可知，平面ADC，故平面ADC，故，由于P在圆弧上，圆心为M，故当P在时取最小值，此时取最小值；当P在时取最大值，此时取最大值.故线段长度的取值范围是，故D错误.故选：BC12.已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有（）A.B.若，则函数的最小正周期为C.关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解D.若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为〖答案〗ABD〖解析〗函数满足.对A：因为，所以，故A正确；对B：由于，所以函数的一条对称轴方程为.又为一个对称中心，由正弦图像和性质可知，所以函数的最小正周期满足，即.又区间上单调，故，即，故，故B正确；对C：函数在区间上单调，且满足，可得：，所以周期，又周期越大，的根的个数越少.当时，，又，，得.所以在区间上有3个不相等的实数根：，或，故至多3个不同的实数解，故C错误.对D：函数在区间上恰有5个零点，所以，所以，解得：，且满足，即，即，故.故D正确.故选：ABD第II卷（非选择题）三、填空题13.直线与圆相交，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，解得.故〖答案〗为：14.已知，且，则向量夹角的余弦值为__________.〖答案〗〖解析〗由可得，即，所以.故〖答案〗为：15.随着冬季到来，各种流行疾病也开始传播，国家为了防止患者集中在大型医院出现交叉感染，呼呼大家就近就医.某市有市级医院，区级医院，社区医院三个等级的医院，对于出现的流行疾病三个医院都能治愈患者.若患者去三个医院就医的概率是，三个医院就医时出现交叉感染的概率分别为，患者在医院没有出现交叉感染且治愈的概率为__________.〖答案〗〖解析〗由题意，患者在医院没有出现交叉感染且治愈的概率为.故〖答案〗为：16.已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________.〖答案〗10〖解析〗的焦点为，设直线方程为，.联立直线与抛物线方程有，则.又求导可得，故直线方程为.又，故，同理.联立可得，解得，代入可得，代入韦达定理可得，故.故，当且仅当，即时取等号.故〖答案〗为：10.四、解答题17.已知锐角的三个内角的对边分别为，__________.在条件：①；②；③；这三个条件中任选一个，补充到上面的问题中并作答.（1）求角；（2）若，如图，延长到，使得，求的面积的取值范围.解：（1）若选①，，由正弦定理得，，所以，所以为锐角且.若选②，，，，由于，所以，所以，所以为锐角且.若选③，，，，由正弦定理得，所以，所以为锐角且.（2），在中，，所以，即.在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，由于，所以.18.如图，矩形的边为圆的直径，点为圆上异于的两点，.已知.（1）求证：平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为.（1）证明：为圆的直径，故为直角，，又，，平面，故平面.又平面，故.又四边形为矩形，故，又，平面，故平面.（2）解：设的中点分别为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则点，则，设平面的法向量为，则，即，取，可得，则，由（1）可知平面，平面的一个法向量为，则，因为二面角的大小为，可得，即，解得，所以线段的长为.19.某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.（1）求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；（2）用表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求的分布列和数学期望.解：（1）由题意，甲选择篮球，并在建模，写作，音乐，朗诵，素描5门里再选2门，则选中建模的概率为；乙同学没有要求，则选中建模的概率为.故甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为.（2）由（1）甲选中建模的概率为，乙选中建模的概率为，丙选中建模的概率为，由题意可能的取值有0，1，2，3，故，，，.故的分布列：012320.已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前29项和.解：（1）由可得，且，故是以为首项，为公差的等差数列，故，即.则当时，，当时也成立，故.（2）.当为偶数时，故.即.21.已知椭圆经过两点.作斜率为的直线与椭圆交于两点（点在的左侧），且点在直线上方.（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上.（1）解：因为椭圆焦点在轴上，且过点，所以，有椭圆过点，所以.故椭圆：.（2）证明：如图：设直线的方程为，联立方程组：，消去得：，整理得：.由得：.设，，则：，.又，.因为：所以：的角平分线为：.故的内切圆圆心一定在直线上.22.已知函数，其中.（1）当时，求的单调区间；（2）已知，若只有一个零点，求的取值范围.解：（1）当时，，则，令，则，则在上单调递增，又，则当时，，当时，，故单调递增区间为；单调递减区间为.（2），又，则的定义域为则，令，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，则当时，取得最小值，①当时，，则在恒成