山东省潍坊市2023-2024学年高二上学期普通高中学科素养能力测评数学试题（解析版）

PAGEPAGE1山东省潍坊市2023-2024学年高二上学期普通高中学科素养能力测评数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（）A.平行 B.相交 C.重合 D.相交或重合〖答案〗D〖解析〗直线可化为，所以当时，两直线重合；当时，两直线相交.故选：D2.已知点是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为点是正方形的中心，所以分别为,的中点，所以在中，，同理，在中，，所以.故选：.3.已知为抛物线：上一点.点到的焦点的距离为8，到轴的距离为6，则（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗根据题意可得，所以，故选：C4.如图，已知为圆的直径，且，垂直于圆所在的平面，且，是圆周上一点，，则二面角的大小为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为垂直于圆所在的平面，且平面，所以，，因为是圆周上一点，所以，且，平面，所以平面，平面，所以，可得即为二面角的平面角，因为，，，所以，因为，，所以，，则二面角的大小为.故选：C.5.开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设椭圆的焦距为，长轴长为，则由已知可得，两式相加可得，两式相减可得，则，，所以离心率.故选：A.6.已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圆，圆心，半径为，则圆心关于x轴的对称点为，则，当且仅当三点共线时取得最小值，结合图像可知.故选：C7.已知双曲线：的左、右焦点分别为，点在轴上，点在的渐近线上.若，，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，，设所在直线方程，则，与双曲线渐近线联立得：，得，得，由，得，得，由，得，化简得，得，所以，所以，故B项正确.故选：B.8.如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗连接、，设其交点为，连接，由矩形中，，，故四边形为正方形，且，，又由点关于折叠而来，故，且，又、平面，且，故平面，过点作于点，由、，故，又平面，故平面，连接，则为与平面所成角，由平面，故，故与平面所成角的正切值即为，由，，，故与全等，故，，过点作于点，则有，设，则，当点在线段上（可在点，不可在点）时，则，有，则，则，易得在上时随的增大而增大，故，当点在线段上（不在两端）时，，则，则，则，易得在上时随的增大而增大，此时，综上所述，，即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为.故选：D.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.若方程所表示的曲线为，则下列命题错误的是（）A.当时，为椭圆B.当或时，为双曲线C.若为椭圆，则长轴长为D.若为双曲线，则焦距为〖答案〗ACD〖解析〗当为椭圆时，则，所以且，故A错误，当为双曲线时，所以，解得或，故B正确，当时，表示焦点在轴上的椭圆，则长轴长为，当时，表示焦点在轴上的椭圆，则长轴长为，故C错误，当时，表示焦点在轴上的双曲线，则焦距为，当时，表示焦点在轴上的双曲线，则焦距为，故D错误，故选：ACD10.如图，棱长为1的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则下列结论正确的是（）A.当点为中点时，平面B.当点在线段上运动时，三棱锥的体积为定值C.当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为D.点到线段距离的最小值为〖答案〗AB〖解析〗如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，对于选项A：则，可得，设平面的法向量，则，设，可得，可得，当点为中点时，则，可得，因为，即与共线，所以平面，故A正确；对于选项B：由选项A可知：点到平面的距离为，所以三棱锥的体积（定值），故B正确；对于选项C：当点为中点时，则，可得，因为，所以直线与直线所成角的余弦值为，故C错误；对于选项D：设，则，在方向上的投影为，且，则点到线段距离为，所以当，点到线段距离取到最小值，故D错误；故选：AB.11.若某个正四棱锥的相邻两个侧面所成二面角的大小为，侧棱与底面所成线面角的大小为，侧棱与底边所成的角为，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗设底面边长为2，则侧棱长为，如图，记斜高，则，过作，垂足为，连接，则且，故为相邻两个侧面的二面角，而，故，故，而均为锐角，故，则则，即，，则，则故选：AC12.设直线系：，则（）A.点到中任意一条直线的距离为定值B.存在定点不在中任意一条直线上C.点到中所有直线距离的最大值为5D.对任意的整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上〖答案〗ABD〖解析〗对于A中，由点到的距离为，所以点到中任意一条直线的距离为定值，所以A正确；对于B中，由点到的距离为，可得直线表示的是圆的所有切线，所以存在定点，例如：圆内部的点，不在直线中任意一条直线上，所以B正确；对于C中，由直线B项知直线表示的是圆的所有切线，其中圆的圆心，半径为，又由，可得，所以点到中所有直线距离的最大值为，所以C不正确；对于D中，例如：若圆是一个正三角形的内切圆，即正三角形的三边分别为圆的切线，因为直线表示的是圆的所有切线，所以三角形的三边均在直线中的直线上，所以D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡的相应位置.13.已知抛物线方程为，则其焦点坐标为______.〖答案〗〖解析〗把抛物线方程化为标准式，得，所以焦点坐标为.故〖答案〗为：.14.已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗设，且，，又，又或，所以即的最小值为，当点为双曲线左定点时去最小值.故〖答案〗为：.15.在化学知识中，空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积之比，即空间利用率晶胞含有原子的体积晶胞体积.如图是某金属晶体晶胞的一种堆积方式——体心立方堆积，该堆积方式是以正方体8个顶点为球心的球互不相切，但均与以正方体体心为球心的球相切.晶胞为上述正方体，则该金属晶体晶胞的空间利用率为__________.〖答案〗〖解析〗设小球半径为，正方体的棱长为，所以，故空间利用率为，故〖答案〗为：16.如图，平面与圆柱相交，而且平面与圆柱的轴不垂直，点为平面与圆柱表面交线上的任意一点，则点的轨迹为__________.在圆柱内部放置两个半径与圆柱底面半径相同的球，平面分别与两球切于两点，过点作圆柱的母线，分别与两球切于两点，记线段长度为，线段长度为，且.在平面内的任意两条互相垂直的切线的交点为，建立适当的坐标系，则动点的轨迹方程为__________.〖答案〗①椭圆②（〖答案〗不唯一）〖解析〗由圆柱体的结构特征：平面与圆柱相交，而且平面与圆柱的轴不垂直，则截面为椭圆，所以点的轨迹为椭圆，如图，为椭圆轨迹上三点，而是两个球体上的切点，由空间上一点作同一个球体上的切线，切线长都相等，则，，所以，当与重合时，即椭圆轨迹的焦点为，所以焦距，则椭圆一个标准方程为，，如上图，设，若切线斜率都存在，则切线为，联立椭圆可得，所以，则，故是方程的两个根，结合切线垂直，所以，则，所以动点的轨迹方程为.故〖答案〗为：椭圆，（〖答案〗不唯一）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长.解：（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为，所以，由可得，解得，故双曲线的标准方程为.（2）设中点的坐标为，则两式子相减得：，化简得，即，又，所以，所以中点的坐标为，所以直线的方程为，即.将代入得，，则，,18.已知直线：与圆：交于两点，且.（1）求实数的值；（2）若点为直线：上的动点，求的面积.解：（1）圆可化为，所以圆心，半径，则圆心到直线的距离因，所以，又，所以，所以，所以，解得，又因为，所以.（2）由（1）知，圆，所以圆心到直线的距离为，所以，又，所以的高为，所以.19.如图，在五面体中，底面为正方形，侧面为等腰梯形，，平面平面，，.（1）求直线到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）因为侧面为等腰梯形，，平面，平面，所以平面，则直线到平面的距离就是点到平面的距离.如图，过点作于点，连接.因为平面平面，又平面平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为四边形为等腰梯形，，所以，所以，又，所以，即直线到平面的距离为12.（2）以为坐标原点，分别以所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面的夹角为，则.20.设椭圆：，其离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知斜率为的直线与相交于两点，线段的中点为，延长交于点，使得四边形为矩形，求的值.解：（1）因为且，所以①，又因为点在椭圆上，所以②，解①②得，所以椭圆的方程为；（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，由，得，当，①所以，所以，所以，所以，所以，所以②又因为，所以，所以③联立①②③解得，所以直线的斜率为.21.如图，已知在几何体中，是边长为4正三角形，，，，二面角的大小为，为线段的中点.（1）证明：平面；（2）点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面所成角的余弦值的最大值，并说明此时点的位置.解：（1）因为，由余弦定理得，同理可得，取线段的中点，连接，所以，，，所以，所以，为二面角的平面角，即，易知点共面，所以，又因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）取线段的中点，连接，所以，又，，，平面，所以平面，以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，设平面的一个法向量为，所以令，则，又因为，设，又因为，所以设平面的一个法向量为，则令，则，所以，设平面与平面所成角为，则，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以平面与平面所成角的余弦值的最大值为，此时22.已知点，圆，点是圆上的任意一点.动圆过点，且与相切，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若与轴不垂直的直线与曲线交于、两点，点为与轴的交点，且，若在轴上存在异于点的一点，使得为定值，求点的坐标；（3）过点的直线与曲线交于、两点，且曲线在、两点处的切线交于点，证明：在定直线上.解：（1）由题意知，