27.2.1　相似三角形的判定 课件 2023-2024学年人教版数学九年级下册

人教版数学九年级下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定(第1课时)学习新知问题思考你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度，祭师们为此伤透了脑筋，为了帮助祭师们解决困难，古希腊一位伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩，当木桩影子的长度和木桩的长度相等时，只要测量金字塔的影子的长度，便可得出金字塔的高度)，展示了他非凡的数学及科学才能.如图所示.认识相似三角形思考并回答:

(1)类比相似多边形的概念，你能说出相似三角形的概念吗?(2)如果相似比是1，那么这两个三角形是什么关系?(3)△ABC与△A'B'C'的相似比为k，那么△A'B'C'与△ABC的相似比是多少?(4)类比相似多边形的性质，说出相似三角形的性质，并用几何语言表示.(1)定义:三个角分别相等，三条边成比例，我们就说这两个三角形相似.对应边的比就叫做两个三角形的相似比.

知识归纳(2)表示:△ABC与△A'B'C'相似记作“△ABC∽△A'B'”，读作“△ABC相似于△A'

”.注意:对应顶点写在对应的位置上.(3)相似比为1时，这两个三角形全等，所以全等三角形是相似三角形的特例.(4)△ABC与△

的相似比为k，那么△

与△ABC的相似比是.【几何语言】

如图所示，△A1B1C1∽△ABC，∴∠A1=∠A，∠B1=∠B，∠C1=∠C;

.（5）相似三角形的对应角相等，对应边成比例.平行线分线段成比例基本事实(1)在课前准备的距离相等的一组平行线l1，l2，l3中，任意作直线AC和A1C1(如图(1)所示)，则(2)在课前准备的距离相等的一组平行线l1，l2，l3，l4，l5中，任意作直线AE和A1E1(如图(2)所示)，则(3)在图(2)中，你还能得到其他的比例式吗?(4)对于任意一组平行线，截得的对应线段成比例吗?

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.基本事实如图所示，当直线l1∥l2∥l3时，则平行线分线段成比例转化到三角形中活动1如图所示，l1∥l2∥l3，当两条被截直线的交点在直线l1或l2上时，你能得到哪些比例式?

(1)如图所示，△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC(或AB，AC的反向延长线)于点D，E，那么比例式

成立吗?

活动2(3)用几何语言如何描述这一结论?(2)你能用语言叙述图中的结论吗?结论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.【几何语言】

如图所示，∵DE∥BC，∴利用平行线证明三角形相似问题：如图所示，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC相似吗?如何证明?(1)要证明三角形相似，需要哪些条件?(∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

)(由两直线平行，同位角相等可得)(2)你能证明这些角对应相等吗?(过E作EF∥AB，交BC于点F)(3)如何证明?(由平行线分线段成比例事实易得)(4)DE不在BC边上，用什么方法将DE转化到BC边上呢?

(由平行线分线段成比例事实易得)(5)你能证明

吗?(6)你能写出△ADE∽△ABC的证明过程吗?证明:在△ADE和△ABC中，∠A=∠A.

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.过E作EF∥AB，交BC于点F，F∵DE∥BC，EF∥AB，∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF.∴△ADE∽△ABC.判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.【几何语言】

如图所示，在△ABC中，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.(1)相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等，形状相同，而相似三角形的形状相同，大小不一定相等，所以全等三角形是相似三角形的特例，相似比是1∶1的两个相似三角形是全等三角形.[知识拓展](2)相似三角形的传递性:如果△ABC∽△A'B'C'，△A'B'C'∽△A″B″C″，那么△ABC∽△A″B″C″.(3)在应用平行线分线段成比例这个基本事实时，找准被平行线截得的对应线段，被截线段不一定平行，当“上比下”的值为1时，说明这些平行线间的距离相等.(4)符合平行线证明三角形相似的图形有两个，我们称为“A”型和“X”型，如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.1.相似三角形的概念、表示:三个角分别相等，三条边成比例，△ABC∽△A'B'C'.课堂小结2.平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.3.平行线分线段成比例在三角形中的应用:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.检测反馈1.

如图所示，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，已知，则

的值为(

)A.

B.

C.

D.解析:由平行线分线段成比例可得故选D.D2.如图所示，DE∥BC，

，

则△ADE和△ABC的相似比为(

)

A.1∶2

B.1∶3

C.2∶1

D.2∶3解析:∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE和△ABC的相似比为.∵∴.故填B.B

解析:根据相似比的概念，可得△ABC与△DEF的相似比与△DEF与△ABC的相似比互为倒数，所以△DEF与△ABC的相似比是3∶5.故填3∶5.3.若△ABC与△DEF的相似比是5∶3，则△DEF与△ABC的相似比是

.3∶54.如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若，DE=2，则BC的长为

.

解析:∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，又DE=2，∴，∴BC=6.故填6.65.如图所示，若DE∥BC，DE=3

cm，BC=5

cm，求

的值.解:∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE=3

cm，BC=5

cm，人教版数学九年级下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定(第2课时)学习新知问题思考(1)证明三角形相似的方法是什么?(三角形相似的定义、平行线证明三角形相似)(2)全等三角形如何定义的?证明全等三角形有几种方法?(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形;SSS，SAS，ASA，AAS，HL)(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?三边法证明三角形相似(1)同桌分别画边长为2

cm，3

cm，4

cm的三角形和边长为4

cm，6

cm，8

cm的三角形，然后猜想、判断两个三角形是否相似.(2)如果一个三角形的三边是另一个三角形三边的k倍，那么这两个三角形是否相似?(3)猜想:三角形三边对应成比例，两个三角形是否相似?你能证明这个结论吗?如图所示，已知在△ABC和△A'B'C'中，求证△ABC∽△A'B'C'.(1)除了定义外，还有什么方法可以证明三角形相似?(平行线证明三角形相似)(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内，利用平行线证明三角形相似?(在A'B'上截取A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E)(3)能否证明△A'DE与△A'B'C'相似?(根据平行线分线段成比例基本事实可证明)(4)根据已知条件△ABC与△A'DE是否全等?(SAS)(5)尝试给出定理的证明过程.证明:如图所示，在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'(或A'C'的延长线)于点E，则可得△A'DE∽△A'B'C'.A'D=AB，∴△A'DE≌△ABC，∴△ABC∽△A'B'C'.∴DE=BC，A'E=AC.判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.【几何语言】如图所示，∵，∴△ABC∽△A'B'C'.

如图所示，已知在△ABC和△A'B'C'中，，∠A=∠A'.求证△ABC∽△A'B'C'.证明:如图所示，在线段A'B'(或它的延长线上)截取A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'(或它的延长线)于点E，则可得△A'DE∽△A'B'C'.又∵∠A=∠A'，∴△A'DE≌△ABC，∴△ABC∽△A'B'C'.【几何语言】

如图所示，∵，∠A=∠A'，∴△ABC∽△A'B'C'.两边及夹角法证明三角形相似判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(教材例1)根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.(1)AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A'B'=12cm，B'C'=18cm，A'C'=24cm;(2)∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，∠A'=120°，A'B'=3cm，A'C'=6cm.〔解析〕

(1)已知两个三角形的三条边，考虑应用“三边成比例的两个三角形相似”判定，所以只需要计算三边的比，三边的比相等，则两个三角形相似，反之，则两个三角形不相似.(2)已知三角形的两条边和一个角，考虑应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，所以需要计算两条边的比是否相等，且这两条边的夹角是否相等.∴△ABC∽△A'B'C'.又∠A=∠A'，∴△ABC∽△A'B'C'.[知识拓展]

(1)当已知条件中有三边时，可考虑用“三边成比例的两个三角形相似”证明三角形相似.(2)在应用相似三角形的判定定理1时，一定要注意先求两个三角形中大边与大边，中间边与中间边，小边与小边的比值，然后判断上述比值是否相等，从而判断两个三角形是否相似.(3)对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况，常用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似.(4)在应用相似三角形的判定定理2时，一定要注意必须是两边夹角相等才行.(5)在应用相似三角形的判定定理2时，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等.检测反馈1.若△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1，下列结论正确的是(

)

A.△ABC与△A1B1C1的对应角不相等

B.△ABC与△A1B1C1不一定相似

C.△ABC与△A1B1C1的相似比为

D.△ABC与△A1B1C1的相似比为2解析:△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍，则两个三角形的对应边成比例，且比值为，由三边对应成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△A1B1C1，且相似比为.故选C.C2.如图所示，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()

解析:由题意得AB=2，BC=，AC=，A中三角形的三边长分别为1，，，三边不对应成比例，A错误;B中三角形的三边长分别为1，，，则有，故B正确;C中三角形的三边长分别为3，，，三边不对应成比例，故C错误;D中三角形的三边长分别为2，，，三边不对应成比例，故D错误.故选B.B3.下列条件中，能判定△ABC相似于△DEF的有()

①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠D=45°，DE=16，DF=40;②AB=12，BC=15，AC=24，DE=20，EF=25，DF=40;③∠A=47°，AB=15，AC=20，∠D=47°，DE=28，DF=21.

A.0个B.1个C.2个D.3个所以△ABC与△DEF不相似;所以△ABC∽△DEF.所以△ABC与△DEF不相似.故选B.B4.如图所示，在△ABC中，D，E分别在AB，AC边上，且

BC=5，则DE=

.

解析:∵，∠A=∠A

，∴△ABC∽△ADE，∴，∵BC=5，∴DE=.故填.5.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.

(1)∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=40°，A'B'=16，A'C'=30;

(2)AB=10，BC=12，AC=15，A'B'=1.5，B'C'=1.8，A'C'=2.25.解:(1)∵AB=8，AC=15，A'B'=16，A'C'=30，∴.又∵∠A=∠A'=40°，∴△ABC∽△A'B'C'.

(2)∵AB=10，BC=12，AC=15，A'B'=1.5，B'C'=1.8，A'C'=2.25，∴，∴△ABC∽△A'B'C'.人教版数学九年级下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定(第3课时)学习新知

学校为了改善环境，在一片空地上修建一块三角形草地，图纸如图(1)所示，完工后小明想要确定图(2)的草坪是否和图纸中的三角形相似，你能帮帮他吗?问题思考两角分别相等的两个三角形相似【动手操作】

(1)同桌两个人分别画出△ABC，其中∠A=37°，∠B=65°.(2)分别测量AB，BC的长度(或测量AC，AB的长度)，判断两个三角形是否相似.

(3)根据操作、测量，猜想判定三角形相似的方法.(4)能证明你的猜想吗?写出已知、求证和证明过程.(5)用文字语言叙述你的结论，并用几何语言表示.两角分别相等的两个三角形相似.如图所示，已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求证△ABC∽△A'B'C'.证明:如图所示，在线段A'B'上截取A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，则可得△A'DE∽△A'B'C'.∵DE∥B'C'，∴∠A'DE=∠B'，又∠B=∠B'，∴∠B=∠A'DE，又∵∠A=∠A'，A'D=AB，∴△A'DE≌△ABC，∴△ABC∽△A'B'C'.【几何语言】

如图所示，∵∠B=∠B'，∠A=∠A'，∴△ABC∽△A'B'C'.一条直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似(1)证明直角三角形全等的方法有哪些?(SSS，SAS，ASA，AAS，HL)(2)证明直角三角形相似可以用哪些方法?(三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似)(3)类比直角三角形全等的判定方法，如果一条直角边和斜边分别成比例，两个直角三角形相似吗?

一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90°，∠C'=90°，.求证Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.由于三边成比例的两个三角形相似，而已知条件中有两边对应成比例，所以只需证明另一对直角边也成比例即可.在直角三角形中三边之间的关系满足勾股定理，所以可设

，用勾股定理分别求出BC，B'C'的值，求得

，从而得证.证明:设

，则AB=kA'B'，AC=kA'C'.∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.(教材例2)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.解:∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°，又∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，图中共有哪几对相似三角形?并选择其中一对进行证明.〔解析〕

由CD⊥AB，得∠ADC=∠CDB=90°，所以图中共有三个直角三角形，根据直角三角形的两锐角互余，可得∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，由同角的余角相等，得∠B=∠ACD，∠A=∠BCD，根据两角分别相等的两个三角形相似易得△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD.解:(1)△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD.(2)答案不唯一.证明△ACD∽△ABC如下:∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，又∵∠ACB=∠ADC=90°∴△ACD∽△ABC.【归纳】直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似.[知识拓展]

(1)在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口:寻找另一组对应角相等;寻找两个三角形中夹这个已知角的两条边的比相等.(2)直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似.(3)若两个直角三角形满足一个锐角相等或两组直角边成比例或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似.1.相似三角形的判定定理3:两角分别相等的两个三角形相似.2.直角三角形相似的判定方法:一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.一个锐角相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似.

课堂小结检测反馈1.如图所示，已知∠C=∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是(

)

A.∠BAD=∠CAE

B.∠B=∠D

C.

D.

解析:由题意得∠C=∠E，若添加∠BAD=∠CAE，则可得∠BAC=∠DAE，利用两角法可判定△ABC∽△ADE，故A错误;若添加∠B=∠D，利用两角法可判定△ABC∽△ADE，故B错误;若添加

,利用两边及夹角法可判定△ABC∽△ADE，故C错误;若添加

,不能判定△ABC∽△ADE.故选D.D2.如图所示，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有(

)

A.1对