新教材2023版高中数学课时作业三十一空间中直线平面的垂直北师大版选择性必修第一册

课时作业(三十一)空间中直线、平面的垂直1．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为()A．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B．a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C．a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D．a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于()A．－2B．2C．6D．103．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为()A．10B．－10C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)4．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为()A．(1,0，－2)B．(1,0,2)C．(－1,0,2)D．(2,0，－1)5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC，则()A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面6．[多选题]下列命题中正确的是()A．直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量b＝(2,1，－eq\f(1,2))，则l与m垂直B．直线l的方向向量a＝(0,1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥αC．平面α、β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥βD．平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝17．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y,1)，若α⊥β，则y＋z的值是()A．－3B．6C．－6D．－128．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝eq\r(13)，，SB＝eq\r(29)，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”)9．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，则点P的坐标为________．10.如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.[提能力]11．[多选题]已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．下列结论中正确的是()A．AP⊥ABB．AP⊥ADC.eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量D.eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))12．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF:FD的比为()A．1:2B．1:1C．3:1D．2:113．在直角坐标系O－xyz中，已知点P(2cosx＋1，2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．14．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝eq\r(21)，则n的坐标为________．15．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝b，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，C1F＝eq\f(1,3)CC1.设λ＝eq\f(b,a)，当平面AEF⊥平面A1EF时，求λ的值．[培优生]16．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2)．(1)当λ＝1时，求证：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．课时作业(三十一)1．解析：因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.答案：B2．解析：因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.故选D.答案：D3．解析：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.故选B.答案：B4．解析：由题意知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，0，1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0，①eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2).故选C.答案：C5．解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D­xyz，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0，\f(1,3)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)，0))，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，∴A1D＝(－1，0，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，－\f(1,3)))，BD1＝(－1，－1，1)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)BD1，A1D·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.答案：B6．解析：∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－\f(1,2)))，则a·b＝1×2－1×1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0则a⊥b，∴直线l与m垂直，故A正确，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，－1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，－1))，则a·n＝0×1＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝0则a⊥n，∴l∥α或l⊂α，故B错误，∵n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，3))，n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，2))，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，故C错误，∵点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，－1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2，0))∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，1))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，0))向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，u，t))是平面α的法向量∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0,n·\o(BC,\s\up6(→))＝0)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－1＋u＋t＝0,－1＋u＝0)))，解得u＋t＝1，故D正确．故选AD.答案：AD7．解析：∵α⊥β，∴u·v＝0，即－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.答案：B8．解析：如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系A­xyz，则由AC＝2，BC＝eq\r(13)，SB＝eq\r(29)，得B(0，eq\r(17)，0)，S(0，0，2eq\r(3))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(13,17))，\f(4,\r(17))，0))，eq\o(SC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(13,17))，\f(4,\r(17))，－2\r(3)))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\r(\f(13,17))，\f(13,\r(17))，0)).因为eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以SC⊥BC.答案：是9．解析：eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，1，－z)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，0，1)，∵eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1－z＝0，,－2x－z＝0，))∴x＝eq\f(1,3)，z＝－eq\f(2,3).答案：(eq\f(1,3)，0，－eq\f(2,3))10．略11．解析：eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP⊥AB，即A正确．eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0.∴AP⊥AD，即B正确．又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，即eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的一个法向量，C正确．∵eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，∴eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，D不正确．故选ABC.答案：ABC12．答案：B13．解析：由OP⊥OQ，得eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0.即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.∴cosx＝0或cosx＝eq\f(1,2).∵x∈[0，π]，∴x＝eq\f(π,2)或x＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,2)或eq\f(π,3)14．解析：据题意，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，0，2).设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－y＋2z＝0，,x＋2z＝0，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4z，,x＝－2z))∵|n|＝eq\r(21)，∴eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(21)，解得z＝1或z＝－1.当z＝1时，y＝4，x＝－2；当z＝－1时，y＝－4，x＝2，故n＝(－2，4，1)或(2，－4，－1).答案：(－2，4，1)或(2，－4，－1)15．略16．解析：(1)证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P