新教材2023版高中数学课时作业十九向量与夹角湘教版选择性必修第二册

课时作业(十九)向量与夹角练基础1.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝eq\f(2π,3)，则l与α所成的角为()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)D．eq\f(5π,6)2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(2),4)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(10),4)D．eq\f(\r(6),3)3．已知二面角α­l­β为锐角，平面α的法向量为n1＝(eq\r(3)，0，－1)，平面β的法向量为n2＝(－eq\f(\r(3),2)，1，eq\f(1,2))，则cos〈n1，n2〉＝________，二面角α­l­β的大小为________．4．在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝1，BC＝2，AA′＝2，求直线B′C与平面B′BDD′所成角的正弦值．提能力5.已知在空间直角坐标系O­xyz(O为坐标原点)中，点A(1，1，－1)关于x轴的对称点为点B，则z轴与平面OAB所成的线面角为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(5π,12)6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A­BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(2),2)7．在菱形ABCD中，∠A＝60°，将△ABD沿对角线BD折起，若二面角A­BD­C为直二面角，则二面角A­BC­D的余弦值为________．8.在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，E，F分别是棱AB，PC的中点，PA＝AB＝BC，AD＝2BC，求平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值．9.如图，三棱锥P­ABC中，底面△ABC为直角三角形，AB＝BC＝2，D为AC的中点，PD＝DB，PD⊥DB，PB⊥CD.求PA与平面PBC所成角的正弦值．培优生10.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，O是AC的中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面ACD1所成的角为θ，则cosθ的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(3),3)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(6),3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(\r(3),3)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(7),3)))11.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E，F分别为线段PB，BC上的动点．(1)若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC；(2)若BE＝eq\r(2)BF，且平面AEF与平面PBC所成角的余弦值为eq\f(\r(7),14)，试确定点F的位置．课时作业(十九)向量与夹角1．解析：线面角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).∵〈a，n〉＝eq\f(2π,3)，∴l与法向量所在直线所成角为eq\f(π,3)，∴l与α所成的角为eq\f(π,6).答案：C2．解析：以D为原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，DD1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，A(2，0，0)，E(1，1，2)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－1，1，2)，D1B＝(2，2，－2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AE,\s\up6(→))·D1B,|\o(AE,\s\up6(→))|·|D1B|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－4,\r(6)×\r(12))))＝eq\f(\r(2),3)，所以异面直线AE与BD1所成角的余弦值为eq\f(\r(2),3).答案：B3．解析：cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq\f(（\r(3)，0，－1）·（－\f(\r(3),2)，1，\f(1,2)）,\r(3＋1)·\r(\f(3,4)＋1＋\f(1,4)))＝eq\f(－\f(3,2)－\f(1,2),2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，设二面角大小为α(0≤α≤π)，因为二面角α­l­β为锐角，故cosα＝－cos〈n1，n2〉＝eq\f(\r(2),2)，解得α＝eq\f(π,4)，故二面角α­l­β的大小为eq\f(π,4).答案：－eq\f(\r(2),2)eq\f(π,4)4．解析：如图建立空间直角坐标系，则B′(1，0，2)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，D(0，2，0)，eq\o(B′C,\s\up6(→))＝(0，2，－2)，eq\o(B′B,\s\up6(→))＝(0，0，－2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，2，0)，设平面B′BDD′的法向量为m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(B′B,\s\up6(→))＝－2z＝0,m·\o(BD,\s\up6(→))＝－x＋2y＝0))，解得z＝0，令y＝1得x＝2，则m＝(2，1，0)，设直线B′C与平面B′BDD′夹角为θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinθ＝|cos〈eq\o(B′C,\s\up6(→))，m〉|＝eq\f(|（0，2，－2）·（2，1，0）|,\r(4＋4)×\r(4＋1))＝eq\f(\r(10),10).故直线B′C与平面B′BDD′所成角的正弦值为eq\f(\r(10),10).5．解析：因为点A(1，1，－1)关于x轴的对称点为B(1，－1，1)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－1，1).设平面OAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(OA,\s\up6(→))＝0，,n·\o(OB,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－z＝0，,x－y＋z＝0，))所以x＝0，令y＝1，得z＝1，所以n＝(0，1，1).又z轴的一个方向向量为a＝(0，0，1)，设z轴与平面OAB所成的线面角为θ，则sinθ＝eq\f(|a·n|,|a|·|n|)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以所求的线面角为eq\f(π,4).答案：B6．解析：如图，正方体内三棱锥A­BCD即为满足题意的鳖臑A­BCD，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则B(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，D(1，1，0)，M(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，则eq\o(BM,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1，0，0)，cos〈eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BM,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(BM,\s\up6(→))|·|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\r(\f(3,4)))＝eq\f(\r(3),3)，则异面直线BM与CD夹角的余弦值eq\f(\r(3),3).答案：A7．解析：取BD的中点O，连接AO、OC，依题意可得OA、OC、OB两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，令AB＝2，则A(0，0，eq\r(3))，B(1，0，0)，C(0，eq\r(3)，0)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－1，0，eq\r(3))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，0)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA,\s\up6(→))＝－x＋\r(3)z＝0,n·\o(BC,\s\up6(→))＝－x＋\r(3)y＝0))，令x＝eq\r(3)，则y＝z＝1，所以n＝(eq\r(3)，1，1)，显然平面BCD的法向量可以为m＝(0，0，1)，设二面角A­BC­D为θ，则cosθ＝eq\f(|m·n|,|m|·|n|)＝eq\f(1,1×\r(（\r(3)）2＋12＋12))＝eq\f(\r(5),5)，故二面角A­BC­D的余弦值为eq\f(\r(5),5).答案：eq\f(\r(5),5)8．解析：以A为原点，分别以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))的方向为x，y，z轴的正方向，如图所示，建立空间直角坐标系A­xyz.设AB＝2，则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，E(1，0，0)，P(0，0，2).因为F是棱PC的中点，所以F(1，1，1)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1，1，1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，2，0)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(－1，－1，1).设平面AEF的法向量为n＝(x1，y1，z1)则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝x1＝0，,n·\o(AF,\s\up6(→))＝x1＋y1＋z1＝0))，令y1＝1，得n＝(0，1，－1).设平面CDF的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(CD,\s\up6(→))＝－2x2＋2y2＝0，,m·\o(CF,\s\up6(→))＝－x2－y2＋z2＝0))，令x2＝1，得m＝(1，1，2).设平面AEF与平面CDF所成的锐二面角为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝eq\f(|m·n|,|m||n|)＝eq\f(1,\r(6)×\r(2))＝eq\f(\r(3),6).9．解析：∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥CD，∵PB⊥CD，BD∩PB＝D，BD、PB⊂平面PBD，∴CD⊥平面PBD，而PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD，又PD⊥DB，CD∩DB＝D，CD、DB⊂平面BCD，∴PD⊥平面BCD.所以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(eq\r(2)，0，0)，B(0，eq\r(2)，0)，C(－eq\r(2)，0，0)，P(0，0，eq\r(2))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0，－eq\r(2))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，－eq\r(2))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，0，－eq\r(2))，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PB,\s\up6(→))＝\r(2)y－\r(2)z＝0,n·\o(PC,\s\up6(→))＝－\r(2)x－\r(2)z＝0))，令z＝1，则n＝(－1，1，1)，设PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈eq\o(PA,\s\up6(→))，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PA,\s\up6(→))·n,|\o(PA,\s\up6(→))|·|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－\r(2)－\r(2),2×\r(3))))＝eq\f(\r(6),3)，故PA与平面PBC所成角的正弦值为eq\f(\r(6),3).10．解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，O(1，1，0)，D1(0，0，1),设P(a，2－a，1)(0≤a≤2)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(a－1，1－a，1)，AD1＝(－2，0，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)，设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·AD1＝－2x＋z＝0,n·\o(AC,\s\up6(→))＝－2x＋2y＝0))，令x＝1，得n＝(1，1，2)，所以sinθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·\o(OP,\s\up6(→)),|n|·|\o(OP,\s\up6(→))|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a－1＋1－a＋2,\r(6)·\r(（a－1）2＋（1－a）2＋12))))＝eq\f(2,\r(6))×eq\f(1,\r(2（a－1）2＋1))，由于0≤a≤2，∴eq\r(2（a－1）2＋1)∈[1，eq\r(3)]，∴eq\f(1,\r(2（a－1）2＋1))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))，∴sinθ＝eq\f(2,\r(6))×eq\f(1,\r(（a－1）2＋2))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(6),3)))，∴sin2θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(2,3)))，∴1－sin2θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(7,9)))，由于θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosθ＝eq\r(1－sin2θ)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(7),3))).答案：D11．解析：(1)证明：由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BC，又在正方形ABCD中，BC⊥AB，且PA∩AB＝A，则BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，有BC⊥AE.由PA＝AB，E为PB中点，可得AE⊥PB，又PB∩BC＝B，则AE⊥平面PBC，AE⊂平面AEF，从而平面AEF⊥平面PBC.(2)以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1