新教材2023版高中数学课时作业十五直线的一般式方程湘教版选择性必修第一册

课时作业(十五)直线的一般式方程[练基础]1．经过点A(8，－2)，斜率为－2的直线方程为()A．x＋2y－4＝0B．x－2y－12＝0C．2x＋y－14＝0D．x＋2y＋4＝02．过点(4，0)和(0，－3)的直线的一般方程为()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y＝0C．3x－4y－12＝0D．4x－3y＋9＝03．直线3x－eq\r(3)y＋2＝0的倾斜角为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)4．如果ac＜0且bc＜0，那么直线ax＋by＋c＝0不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为()A．eq\f(1,4)B．2C．1D．eq\f(1,2)6．[2022·山东潍坊高二月考](多选)下列说法正确的是()A．直线(a－1)x－(a－2)y－1＝0(a∈R)一定经过第一象限B．经过点P(1，2)，倾斜角为α的直线方程为y－2＝tanα(x－1)C．经过两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1≠x2)的直线方程为y－y1＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x－x1)D．截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a(a∈R)表示7．直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝________．8．纵截距为－4，与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线的一般式方程为________．9．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．(1)在x轴上的截距为1；(2)斜率为1；(3)经过定点P(－1，－1).[提能力]10．关于x、y的方程a2x－ay－1＝0(a≠0)表示的直线(图中实线)可能是()A．B．C．D．11．[2022·湖南雅礼中学高二期中](多选)对于直线l：x＝my＋1，下列说法错误的是()A．直线l恒过定点(1，0)B．直线l斜率必定存在C．m＝eq\r(3)时直线l的倾斜角为60°D．m＝2时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为eq\f(1,4)12．已知直线经过A(a，0)，B(0，b)和C(1，3)三个点，且a，b均为正整数，则此直线的一般式方程为________．13．已知直线l：ax＋y－2＋a＝0，若直线l过点(2，0)，则a＝________；若直线l在两坐标轴上的截距相等，则a＝________．14．[2022·湖南雅礼中学高二期末]已知直线l：(a－2)y＝(3a－1)x－1(1)求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．(2)为使直线不经过第二象限，求实数a的取值范围．(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．[培优生]15．已知直线(k＋1)x＋(1－2k)y－3＝0(k∈R)恒过定点A，点A在直线eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)＝1(m＞0，n＞0)上，则2m＋n的最小值为________．课时作业(十五)直线的一般式方程1．解析：由题意得，经过点A(8，－2)，斜率为－2的直线方程为y＋2＝－2(x－8)，即2x＋y－14＝0.答案：C2．解析：设直线的方程为y＝kx－3，又直线经过点(4，0)，所以0＝4k－3，∴k＝eq\f(3,4)，所以直线的方程为y＝eq\f(3,4)x－3，所以直线的一般方程为3x－4y－12＝0.答案：C3．解析：由3x－eq\r(3)y＋2＝0得y＝eq\r(3)x＋eq\f(2\r(3),3)，所以直线3x－eq\r(3)y＋2＝0的斜率为eq\r(3)，所以倾斜角为eq\f(π,3).答案：B4．解析：因为bc＜0，所以b≠0，所以直线方程可化为y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b).因为ac＜0且bc＜0，所以a，b同号，b，c异号，从而有－eq\f(a,b)＜0，－eq\f(c,b)＞0，所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．答案：C5．解析：令x＝0，解得y＝－1，令y＝0，解得x＝1，所以S＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2).答案：D6．解析：对于A：由(a－1)x－(a－2)y－1＝0(a∈R)可得a(x－y)－x＋2y－1＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0,－x＋2y－1＝0))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))，所以该直线恒过定点(1，1)，该直线一定经过第一象限，故选项A正确；对于B：当α＝90°时，直线的斜率不存在，所以不能写成y－2＝tanα(x－1)的形式，故选项B不正确；对于C：因为x1≠x2，所以过点M(x1，y1)，N(x2，y2)两点的直线斜率为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，所以直线的方程为y－y1＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x－x1)，故选项C正确；对于D：当直线的横、纵截距都等于0时，直线的方程为y＝kx，不可以用方程x＋y＝a(a∈R)表示，故选项D不正确．答案：AC7．解析：依题意可知k＝tan45°＝1，所以－eq\f(2a2－7a＋3,a2－9)＝1，且a2－9≠0，解得a＝－eq\f(2,3)或a＝3(舍去).答案：－eq\f(2,3)8．解析：设直线的截距方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－4)＝1，∴eq\f(1,2)×|a|×4＝24⇒a＝±12，∴直线的一般式方程为：x－3y－12＝0或x＋3y＋12＝0，答案：x－3y－12＝0或x＋3y＋12＝09．解析：(1)∵直线过点(1，0)，∴m2－2m－3＝2m－6，解得m＝3或m＝1，又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1.(2)由斜率为1，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，,2m2＋m－1≠0，))解得m＝eq\f(4,3).(3)直线过定点P(－1，－1)，则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，解得m＝eq\f(5,3)或m＝－2.10．解析：关于x、y的方程a2x－ay－1＝0(a≠0)表示的是直线，且直线的斜率为a，在y轴上的截距为－eq\f(1,a)，直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为－1，对于A，直线的斜率和它在y轴上的截距都是正数，不满足题意，所以排除A；对于B，直线的斜率小于1，它在y轴上的截距小于－1，不满足题意，所以排除B；对于C，直线的斜率和它在y轴上的截距都是负数，不满足题意，所以排除C；对于D，直线的斜率小于－1，它在y轴上的截距大于零小于1，能满足条件，所以D可能成立．答案：D11．解析：A.由直线方程知：恒过定点(1，0)，正确；B．当m＝0时，直线斜率不存在，错误；C．m＝eq\r(3)时有y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，即tanθ＝eq\f(\r(3),3)，则倾斜角为θ＝eq\f(π,6)，错误；D．m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则x、y轴交点分别为(1，0)，(0，－eq\f(1,2))，所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为eq\f(1,4)，正确．答案：BC12．解析：∵直线经过A(a，0)，B(0，b)，∴设直线的截距式方程为：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，又∵C(1，3)在直线上，∴eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1，整理得a＝eq\f(b,b－3)＝1＋eq\f(3,b－3)，又∵a，b均为正整数，∴b＝4或6，∴当b＝4时，a＝4；当b＝6时，a＝2，所以直线方程为：eq\f(x,4)＋eq\f(y,4)＝1或eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1，即x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.答案：x＋y－4＝0或3x＋y－6＝013．解析：由题意，直线l过点(2，0)，所以2a－2＋a＝0，得a＝eq\f(2,3)；直线l在两坐标轴上的截距相等，已知a＝0不成立，则eq\f(2－a,a)＝2－a，得a＝1或a＝2.答案：eq\f(2,3)1或214．解析：(1)直线方程整理得：a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝0,－x＋2y－1＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5),y＝\f(3,5)))，所以直线恒过定点(eq\f(1,5)，eq\f(3,5))；(2)当a＝2时，直线l为x＝eq\f(1,5)，不经过第二象限．当a≠2时由(1)画图知：斜率k≥3即eq\f(3a－1,a－2)≥3，得a＞2，综上：a≥2；(3)由题知k＝eq\f(3a－1,a－2)＜0则a∈(eq\f(1,3)，2)，令y＝0，则x＝eq\f(1,3a－1)，令x＝0，则y＝eq\f(－1,a－2).所以S△＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3a－1)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－1,a－2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,（3a－1）（a－2）)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(7,6)))\s\up12(2)－\f(25,12))))因为eq\f(1,3)＜a＜2，所以当a＝eq\f(7,6)时三角形面积最小，直线l方程为：15x＋5y－6＝0.15．解析：由题设(k＋1)x＋(1－2k)y－3＝k(x－2y)＋x＋y－3＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\