新教材2023版高中数学课时作业一数列的概念湘教版选择性必修第一册

课时作业(一)数列的概念[练基础]1．(多选)下面四个结论中正确的是()A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点C．数列的项数是无限的D．数列通项的表达式是唯一的2．已知数列an＝eq\f(n,n2＋8)，则数列{an}的第4项为()A．eq\f(1,10)B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,3)3．[2022·河北衡水高二月考]已知数列－1，eq\f(1,4)，－eq\f(1,9)，…，(－1)n·eq\f(1,n2)，…，则它的第6项的值为()A．eq\f(1,6)B．－eq\f(1,6)C．－eq\f(1,36)D．eq\f(1,36)4．数列eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,8)，eq\f(1,10)，…的一个通项公式是()A．an＝eq\f(1,2n＋1)B．an＝eq\f(1,2n)C．an＝eq\f(1,2n＋2)D．an＝eq\f(1,2n＋4)5．以下通项公式中，不可能是数列3，5，9，…的通项公式的是()A．an＝2n＋1B．an＝n2－n＋3C．an＝－eq\f(2,3)n3＋5n2－eq\f(25,3)n＋7D．an＝2n＋16．已知数列1，eq\f(1,2)，eq\f(2,1)，eq\f(1,3)，eq\f(2,2)，eq\f(3,1)，eq\f(1,4)，eq\f(2,3)，eq\f(3,2)，eq\f(4,1)，…，则eq\f(1,8)是数列中的()A．第29项B．第30项C．第36项D．第37项7．数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＋2，n是奇数,n－3，n是偶数))，则a3＋a6＝________．8．数列eq\f(1,3)，－eq\f(4,5)，eq\f(9,7)，－eq\f(16,9)，…的一个通项公式可以为________．9．已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N＋，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；(2)判断－81是否为此数列中的项．[提能力]10．[2022·江苏阜宁中学高二月考](多选)已知数列{an}的前4项依次为2，0，2，0，则数列{an}的通项公式可能是()A．an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n为奇数,0，n为偶数))B．an＝1＋(－1)n＋1C．an＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))D．an＝211．在数列{an}中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项()A．不是原数列的项B．是原数列的第10项C．是原数列的第11项D．是原数列的第12项12．已知数列{an}的前四项为11，102，1003，10004，…，则它的一个通项公式为________．13．如图，根据下列图形及相应图形中顶点的个数，找出其中的一种规律，写出第n个图形中共有________个顶点．14．已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(（－1）n（n＋1）,（2n－1）（2n＋1）).(1)写出它的第10项；(2)判断eq\f(2,33)是不是该数列中的项．[培优生]15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等)，若m＝5，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为________.课时作业(一)数列的概念1．解析：由数列的定义知，数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，n}，选项A，B正确；由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C不正确；数列通项的表达式可以不唯一，例如，数列1，－1，1，－1，…的通项可以是an＝(－1)n＋1，也可以是an＝cos(n－1)π，D不正确．答案：AB2．解析：an＝eq\f(n,n2＋8)，将n＝4代入a4＝eq\f(4,42＋8)＝eq\f(1,6).答案：B3．解析：由题设，数列的通项公式为(－1)n·eq\f(1,n2)，∴当n＝6时，该项为(－1)6×eq\f(1,62)＝eq\f(1,36).答案：D4．解析：因为a1＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2×1)，a2＝eq\f(1,4)＝eq\f(1,2×2)，a3＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,2×3)，a4＝eq\f(1,8)＝eq\f(1,2×4)，a5＝eq\f(1,10)＝eq\f(1,2×5)，…，所以an＝eq\f(1,2n).答案：B5．解析：对A，a1＝3，a2＝5，a3＝9，可能是数列3，5，9，…的通项公式；对B，a1＝3，a2＝5，a3＝9，可能是数列3，5，9，…的通项公式；对C，a1＝3，a2＝5，a3＝9，可能是数列3，5，9，…的通项公式；对D，a1＝3，a2＝5，a3＝7，不可能是数列3，5，9，…的通项公式．答案：D6．解析：由题意，此数列分母与分子之和为2的有一个，为3的有两个，为4的有三个，按此规律，知eq\f(1,8)出现在和为9那一组中，又每一组的数都是以分子为1开始，故eq\f(1,8)是分子分母和为9的那一组的第一个数，由于和为9的那一组是第八组，前七组共有7×eq\f(1＋7,2)＝28个数，故eq\f(1,8)是第29个数，即第29项．答案：A7．解析：a3＋a6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8.答案：88．解析：数列中每个项的分子分别为1，4，9，16，…可以用n2表示．分母分别为3，5，7，9，…为等差数列，可以用2n＋1表示．符号为奇数项为正，偶数项为负，可以用(－1)n＋1表示，综上：数列的通项公式可以是an＝(－1)n＋1eq\f(n2,2n＋1).答案：an＝(－1)n＋1eq\f(n2,2n＋1)9．解析：(1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)当q＝3时，an＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项．10．解析：对于A，∵an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n为奇数,0，n为偶数))，∴a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，故A正确；对于B，∵an＝1＋(－1)n＋1，∴a1＝1＋(－1)2＝2，a2＝1＋(－1)3＝0，a3＝1＋(－1)4＝2，a4＝1＋(－1)5＝0，故B正确；对于C，∵an＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))，∴a1＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2)))＝2，a2＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,2)))＝0，a3＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,2)))＝2，a4＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π,2)))＝0，故C正确；对于D，∵21∴a1＝21-（-1）12＝2，a2＝21-（-1）22＝1，答案：ABC11．解析：根据题意，在数列{an}中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，设新数列为{bn}，则有b1＝a1，b5＝a2，……将数列{bn}从b1开始的连续4项作为1组，则an为第n组的第一个数，又由41＝4×10＋1，则新数列的第41项为第11组的第一个数，即a11，新数列的第41项是原数列的第11项．答案：C12．解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.答案：an＝10n＋n13．解析：可以先计算n＝1，2，3，…时顶点的个数，可发现顶点计算的一般规律．当n＝1时，顶点个数为12＝3＋3×3；当n＝2时，顶点个数为20＝4＋4×4；当n＝3时，顶点个数为30＝5＋5×5；…其规律为：第n个图形应由正n＋2边形“扩展”而来，原有顶点个数为n＋2，每条边向外扩展正n＋2边形，多出n＋2个顶点，因此第n个图形有(n＋2)＋(n＋2)(n＋2)＝n2＋5n＋6个顶点．答案：n2＋5n＋614．解析：(1)a10＝eq\f(（－1）10×11,19×21)＝eq\f(11,399).(2)令eq\f(n＋1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(2,33)，化简得：8n2－33n－35＝0，解得n＝5.当n＝5时，a5＝－eq\f(2,33)≠eq\f(2,33).∴eq