线代及习题二章结

第二章矩阵一、矩阵的定义二、矩阵的代数运算概念：矩阵，矩阵元，行标，列标，零矩阵，单位矩阵，方阵，对角矩阵，数量矩阵，行矩阵，列矩阵，实矩阵，复矩阵，同型矩阵，矩阵相等。注意：矩阵与行列式的区别1.加法，同型矩阵A,B可以定义加法（cij=aij+bij)（3）-A=(-aij)负矩阵2.数与矩阵的乘法kA=(kaij),k与aij是某数域上的数3.矩阵与矩阵相乘A=(aij)m×n，B=(bij)n×l，C=AB,A的列数等于B的行数（其中为数）;BA=BC,不能推出A＝CAB=0,

不能推出A=0,or,B=04.矩阵转置5.方阵的行列式6.对称矩阵与反对称矩阵A=AT

对称矩阵，A=-AT反对称矩阵7.伴随矩阵方阵A的行列式的所有元素的代数余子式组成的矩阵三、逆矩阵方阵A,B满足AB=BA=E,则A和B互为逆矩阵一个方阵如果可逆，逆矩阵是唯一的。矩阵可逆的判断：1.A,B为同阶方阵，且AB＝E2.det(A)不等于0求逆矩阵的方法1.待定系数法2.求伴随矩阵法3.矩阵的初等变换法4.分块矩阵法四、克拉默法则1.齐次线性方程组和非齐次线性方程组若方程组有唯一解如果齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式等于0五、矩阵的初等变换和初等矩阵逆变换逆变换逆变换初等变换等价关系最简行阶梯型矩阵标准型初等矩阵对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵是可逆矩阵，而且它们的逆矩阵也是初等矩阵。初等矩阵的转置仍是初等矩阵。对矩阵Am×n

施行一次初等行（列）变换，就相当于在A的左（右）边乘上一个相应的m（

n）阶初等矩阵。矩阵方程或方程组AX＝C，如果A可逆（A,C）行变换（E，X）XB＝C，如果B可逆六、分块矩阵将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。定义加法、数乘，分块矩阵乘法准对角矩阵或称为分块对角矩阵分块矩阵应用1.分块矩阵的初等变换

与一般矩阵一样，分块矩阵也可以定义初等变换，（1）交换分块矩阵的两行（或列），表示为（2）分块矩阵的某行左乘某矩阵P，表示为PRi。需要注意的是矩阵P的列数要等于Ri的子块行数。（3）分块矩阵的某列右乘某矩阵Q,表示为CjQ（4）分块矩阵的的某行的对应子块左乘某矩阵加到分块矩阵的另一行对应的子块上,表示为Ri+PRj（5）分块矩阵的的某列的对应子块右乘某矩阵加到分块矩阵的另一列对应的子块上,表示为Ci

+CjQ分块初等矩阵

同普通矩阵的初等变换与初等矩阵一样，对分块矩阵进行一次初等行变换相当于对该矩阵左乘一个相应的分块初等矩阵；对分块矩阵进行一次初等列变换相当于右乘一个相应的分块初等矩阵。利用分块矩阵求逆矩阵利用初等分块矩阵将矩阵化简成准对角矩阵，再两边求逆矩阵。左乘或右乘一系列的初等分块矩阵。即可得到所求的逆矩阵。利用分块矩阵初等变换求逆矩阵：与普通矩阵类似，需要注意的是做行变换时，在某一行所乘的矩阵一定要左乘。如果所作的是列变换，在某列上所乘的矩阵一定是右乘。利用分块矩阵求行列式的过程，首先利用初等分块矩阵将原矩阵化成左上角或者右下角为0块的分块矩阵。再利用Laplace定理求解。七、矩阵的秩概念：k阶子式，矩阵的秩