7.1两个基本计数原理（课件）-高二数学（选择性）

7.1两个基本计数原理第7章

计数原理教师xxx苏教版（2019）

选择性必修第二册

用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？分析:因为大写英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36个不同的号码.

问题引入从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车或乘轮船.其中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班.那么从甲地到乙地共有多少种不同的方法?分析:从甲地到乙地可以乘火车（4班）、乘汽车（2班）、乘轮船（3班），所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的方法.

问题引入思考：你能说出上述两个问题有什么共同特征吗？回答：要完成上述两件事情（给座位编号、从甲地到乙地），都有不同的方案（每种方案包含多种方法）可以独立完成需求.思考：你能举出生活中类似的例子吗？一个班学生站成一排照相，有多少不同的站法.学校食堂打菜，总共5个菜，每人选3个不同的菜，有多少种不同的选择.问题引入一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：

每类中的任意一种方法都能独立完成这件事情.N=m+n

种不同的方法探究新知(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能独立完成这件事.(

)×√探究新知例题1

在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学化学医学物理学工程学数学会计学信息技术学法学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？典型例题例题讲解

解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数

N=5+4=9典型例题思考：如果完成一件事有三类不同方案，每类方案中又分别有m,n,k种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？答：N=m+n+k思考：如果完成一件事有n类不同方案.在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？答：N=m1+m2+……+mn探究新知用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，...，A9，B1，B2，...的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？思考：该问题与前一个问题有什么区别？答：该问题中，要完成编号，既要有大写英文字母，又要有阿拉伯数字，只有两者同时存在，才能完成座位编号；上一问题中，只要有英文字母或者数字中的一个即可完成座位编号.探究新知字母

数字

得到的号码A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9

解析:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9＝54种不同的号码.探究新知思考：你能说出上述问题有什么特征吗？答：要完成上述事情，既要找出大写英文字母又要找到阿拉伯数字，然后结合这两步才能将这件事最终完成.探究新知完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有

只有各个步骤都完成才算做完这件事情.二、分步乘法计数原理N=m×n种不同的方法探究新知(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(

)(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(

)×√探究新知例题2某班有男生30名，女生24名，从中选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？解：第一步，从30名男生中选出1名，有30种不同选法；第二步，从24名女生中选出1名，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种不同的选法．典型例题例题3书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?解：从书架上任取1本书，有三种方案：第一种方案从第1层取1本计算机书，有4种方法；第二种方案从第2层取1本文艺书，有3种方法；第三种方案从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，共有4+3+2=9种.典型例题(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?解：分3步完成：第1步，从第1层取,1本计算机书，有4种方法；第2步，从第,2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第,3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种.典型例题两个原理的区别与联系：

分类加法计数原理分步乘法计数原理关键词分类分步区别每类方法都能独立完成这件事各步都完成，才能完成这件事各类方法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复联系都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题探究新知能力形成点1分类加法计数原理例1

(1)满足a,b∈{-1,0,1,2},且使关于x的方程ax2+2x+b=0有实根的有序数对(a,b)的个数为(

)A.14 B.13

C.12

D.9B由于a,b∈{-1,0,1,2},则①当a=0时,有

为方程的实根,则b=-1,0,1,2,有4种;②当a≠0时,∵方程有实根,∴Δ=4-4ab≥0.∴ab≤1.(*)当a=-1时,满足(*)式的b=-1,0,1,2,有4种;当a=1时,满足(*)式的b=-1,0,1,有3种;当a=2时,满足(*)式的b=-1,0,有2种.故由分类加法计数原理,满足条件的有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13(个).探究新知(2)甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传递给甲,则不同的传递方法共有

种.6甲第一次传递给乙时,满足条件的传递方法有3种,如图.

同理,甲第一次传递给丙时,满足条件的传递方法也有3种.由分类加法计数原理,共有3+3=6(种)不同的传递方法.探究新知解题心得利用分类加法计数原理计数时的解题流程

探究新知对点训练1(1)把甲、乙、丙三名志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两名志愿者前面,则不同的安排方案共有(

)A.20种 B.30种C.40种 D.60种A将甲安排在周一,则在周二至周五中任选两天安排乙、丙,共有4×3=12(种)安排方案.将甲安排在周二,则在周三至周五中任选两天安排乙、丙,共有3×2=6(种)安排方案.将甲安排在周三,则乙、丙只能安排在周四和周五两天,共有2种安排方案.根据分类加法计数原理,共有12+6+2=20(种)不同的安排方案.探究新知(2)小王同学在书店发现三本想买的书,若他决定至少买一本,则购买方式有

种.

7只买一本,购买方式有3种;只买两本,购买方式有3种;三本全买,购买方式有1种.故购买方式共有3+3+1=7(种).探究新知能力形成点2分步乘法计数原理例2

(1)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,则可以组成不同对数值的个数为(

)A.56 B.54

C.53 D.52D从8个数中任取2个不同的数共组成8×7=56(个)对数值,但在这56个对数值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,故满足条件的对数值共有56-4=52(个).探究新知(2)从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集个数为(

)A.32 B.34

C.36 D.38A把集合中的数分成5组:{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6}.因为选出的5个数中任意两个数的和都不等于11,所以从每组中任选一个数即可,故共可组成2×2×2×2×2=32(个)这样的子集.探究新知解题心得1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.2.分步必须满足的两个条件:一是各步骤相互独立,互不干扰;二是步与步之间确保连续,逐步完成.探究新知对点训练2(1)有5盆菊花,其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆,现把它们摆放成一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2盆白菊花不能相邻,则这5盆花不同的摆放种数是(

)A.12 B.24 C.36

D.48B第一步,摆放2盆黄菊花和1盆红菊花,因为2盆黄菊花必须相邻,所以将2盆黄菊花看成一个整体,与1盆红菊花摆放成一排,有2×2=4(种)摆放方法.第二步,摆放2盆白菊花,因为2盆白菊花不能相邻,所以将2盆白菊花插空摆入,有3×2=6(种)摆放方法.根据分步乘法计数原理,这5盆花不同的摆放种数为4×6=24.探究新知(2)在运动会比赛中,8名男运动员参加100m决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有

种.

2880第一步,安排甲、乙、丙三人,因为甲、乙、丙三人必须在奇数号跑道上,奇数号跑道有4条,所以有4×3×2=24(种)安排方式.第二步,安排另外五人,有5×4×3×2×1=120(种)安排方式.根据分步乘法计数原理,不同的安排方式共有24×120=2880(种).能力形成点3两个计数原理的综合应用例3

(1)某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生平均分配给甲、乙两家公司,其中2名英语成绩优秀的学生不能分给同一个公司;另3名有电脑特长的学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有(

)A.36种 B.38种 C.108种

D.114种A由题意可得,有2类分配方案.第1类方案:甲公司要2名电脑特长学生,有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生,有2种情况;再从剩下的3人中选一人,有3种情况,故共有3×2×3=18(种)分配方案.第2类方案:甲公司要1名电脑特长学生,有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生,有2种情况;再从剩下的3人中选2人,有3种情况,故共有3×2×3=18(种)分配方案.由分类加法计数原理,可得不同的分配方案共有18+18=36(种).故选A.(2)如图,用5种不同颜色的染料给A,B,C,D四个区域进行涂色,要求相邻的两个区域不能使用同一种颜色,则不同的涂色方法的种数是(

)A.120

B.140

C.240 D.260D依题意,第一步,涂A区域,有5种涂色方法.第二步,涂B区域,有4种涂色方法.第三步,涂C,D区域,若C区域与A区域所涂颜色相同,则C区域有1种涂色方法,D区域有4种涂色方法;若C区域与A区域所涂颜色不同,则C区域有3种涂色方法,D区域有3种涂色方法.故不同的涂色方法有5×4×(1×4+3×3)=260(种).故选D.探究新知解题心得综合应用两个计数原理解决问题时,一般是先分类再分步.分类后分别对每一类进行计数,在计算每一类时可能要分步,在分步时可能又用到分类加法计数原理.探究新知对点训练3(1)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有(

)A.144个 B.120个

C.96个 D.72个B探究新知(2)如图,将5种不同的花卉种植在A,B,C,D四个区域中,每个区域种植一种花卉,且相邻区域种植的花卉不同,则不同的种植方法种数是(

)A.420 B.180

C.64 D.25B先种植A,B,C三个区域,因为A,B,C三个区域两两相邻,所以种植方法有5×4×3=60(种);再种植D区域,因为D区域与B,C两个区域相邻,所以种植方法有3种.故不同的种植方法有60×3=180(种).1．有A，B两种类