高考数学人教B版一轮复习测评9-6双曲线

核心素养测评五十一双曲线(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知双曲线的方程为QUOTEQUOTE=1,则下列关于双曲线说法正确的是 ()A.虚轴长为4B.焦距为2QUOTEC.离心率为QUOTED.渐近线方程为2x±3y=0【解析】选D.根据题意,依次分析选项:对于A,双曲线的方程为QUOTEQUOTE=1,其中b=3,虚轴长为6,则A错误;对于B,双曲线的方程为QUOTEQUOTE=1,其中a=2,b=3,则c=QUOTE=QUOTE,则焦距为2QUOTE,则B错误;对于C,双曲线的方程为QUOTEQUOTE=1,其中a=2,b=3,则c=QUOTE=QUOTE,则离心率为e=QUOTE=QUOTE,则C错误;对于D,双曲线的方程为QUOTEQUOTE=1,其中a=2,b=3,则渐近线方程为2x±3y=0,则D正确.2.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:QUOTEQUOTE=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若QUOTE=QUOTE,则△PFO的面积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.3QUOTE【解析】选A.由双曲线的方程QUOTEQUOTE=1可得一条渐近线方程为y=QUOTEx;在△PFO中,|PO|=|PF|,过点P作PH⊥OF,垂足为H,因为tan∠POF=QUOTE得到PH=QUOTE;所以S△PFO=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:QUOTEy2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则QUOTE=()A.QUOTE B.3 C.2QUOTE D.4【解析】选B.渐近线方程为QUOTEy2=0,即y=±QUOTEx,所以∠MON=QUOTE.因为△OMN为直角三角形,假设∠ONM=QUOTE,如图,则kMN=QUOTE,所以直线MN方程为y=QUOTE(x2).联立QUOTE解得QUOTE所以NQUOTE,即ON=QUOTE,因为∠MON=QUOTE,所以|MN|=3.4.(2020·山东新高考模拟)已知双曲线C过点(3,QUOTE)且渐近线为y=±QUOTEx,则下列结论正确的是 ()A.C的方程为QUOTEy2=1B.C的离心率为QUOTEC.曲线y=ex21经过C的一个焦点D.直线xQUOTEy1=0与C有两个公共点【解析】选AC.对于选项A:(方法一)设所求双曲线方程为QUOTEQUOTE=1,由所给条件知QUOTE=QUOTE,又双曲线C过点(3,QUOTE),从而QUOTEQUOTE=1,解得a=QUOTE,b=1,c=2,所以选项A正确;(方法二)由已知y=±QUOTEx,可得y2=QUOTEx2,从而设所求双曲线方程为QUOTEx2y2=λ,又由双曲线C过点(3,QUOTE),从而QUOTE×32(QUOTE)2=λ,即λ=1,从而选项A正确;对于选项B:由双曲线方程可知a=QUOTE,b=1,c=2,从而离心率为e=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以B选项错误;对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(2,0),满足y=ex21,从而选项C正确;对于选项D:联立QUOTE整理,得y22QUOTEy+2=0,由Δ=(2QUOTE)24×2=0,且直线斜率大于渐近线斜率,知直线与双曲线C只有一个交点,选项D错误.5.(2020·杭州模拟)已知椭圆C1:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)与双曲线C2:QUOTEQUOTE=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,且∠F1PF2=60°,若椭圆e1=QUOTE,则双曲线C2的离心率e2= 导学号()A.QUOTE B.QUOTE C.3 D.4【解析】选B.设|PF1|=s,|PF2|=t,P为第一象限的交点,由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a,st=2m,解得s=a+m,t=am,在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,可得4c2=s2+t22stcos60°=a2+m2+2am+a2+m22am(a2m2),即有a2+3m2=4c2,可得QUOTE+QUOTE=4,即QUOTE+QUOTE=4,由e1=QUOTE,可得e2=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.双曲线QUOTE+QUOTE=1的焦距为________.

【解析】由题意可得(25k)(9k)<0,解得9<k<25,故25k>0,9k<0,双曲线方程为QUOTEQUOTE=1,由c2=a2+b2=(25k)+(k9)=16,即c=4,所以2c=8.答案:87.设m>0,双曲线M:QUOTEy2=1与圆N:x2+(ym)2=5相切,A(QUOTE,0),B(QUOTE,0),若圆N上存在一点P满足|PA||PB|=4,则点P到x轴的距离为________. 导学号

【解析】由题意得,双曲线中a=2,c=QUOTE,易知点A,B为双曲线的左、右焦点,又点P满足|PA||PB|=4=2a,所以点P是双曲线与圆的切点,且在双曲线的右支上,由圆方程可知其圆心为N(0,m),半径为QUOTE,由QUOTE得5y22my+m21=0,由Δ=(2m)24×5×(m21)=0,又m>0,解得m=QUOTE,则5y22·QUOTEy+QUOTE1=0,解得y=QUOTE,即所求距离为QUOTE.答案:QUOTE8.已知双曲线QUOTEQUOTE=1,过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点.若△AOB是锐角三角形(O为坐标原点),则实数m的取值范围是________. 导学号

【解析】由题意得AQUOTE,Bm,2QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE=m,2QUOTE,因为△AOB是锐角三角形,所以∠AOB是锐角,即QUOTE与QUOTE的夹角为锐角,所以QUOTE·QUOTE>0,即m2QUOTE+4>0,解得2QUOTE<m<2QUOTE.由过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点可知m<QUOTE或m>QUOTE.故实数m的取值范围是(2QUOTE,QUOTE)∪(QUOTE,2QUOTE).答案:(2QUOTE,QUOTE)∪(QUOTE,2QUOTE)三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2020·济宁模拟)已知双曲线两个焦点分别是F1(QUOTE,0),F2(QUOTE,0),点P(QUOTE,1)在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程;(2)过双曲线的右焦点F2且倾斜角为60°的直线与双曲线交于A,B两点,求△F1AB的周长.【解析】(1)由F1(QUOTE,0),F2(QUOTE,0),点P(QUOTE,1)在双曲线上,得c=QUOTE,2a=|PF1||PF2|=QUOTEQUOTE=2,所以a=1,则b2=c2a2=1,所以双曲线的标准方程为x2y2=1.(2)双曲线的右焦点F2(QUOTE,0),直线AB的斜率为QUOTE,则直线方程为y=QUOTE(xQUOTE),联立QUOTE得2x26QUOTEx+7=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3QUOTE,x1x2=QUOTE.所以|AB|=QUOTE·QUOTE=4.因为|AF1||AF2|=2,|BF1||BF2|=2,所以|AF1|+|BF1|(|AF2|+|BF2|)=4,则|AF1|+|BF1|=4+|AB|=8,所以△F1AB的周长为12.10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为QUOTE,且过点P(4,QUOTE).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1⊥MF2.【解析】(1)因为e=QUOTE,所以可设双曲线的方程为x2y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,QUOTE),所以1610=λ,即λ=6.所以双曲线的方程为x2y2=6,即QUOTEQUOTE=1.(2)方法一:由(1)可知,a=b=QUOTE,所以c=2QUOTE,所以F1(2QUOTE,0),F2(2QUOTE,0),=(2QUOTE3,m),=(2QUOTE3,m),所以·=(3+2QUOTE)×(32QUOTE)+m2=3+m2,因为点M(3,m)在双曲线上,所以9m2=6,即m23=0,所以·=0.所以MF1⊥MF2.方法二:由(1)可知,a=b=QUOTE,所以c=2QUOTE,所以F1(2QUOTE,0),F2(2QUOTE,0),所以QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为点M(3,m)在双曲线上,所以9m2=6,m2=3,故QUOTE·QUOTE=1,所以MF1⊥MF2.(15分钟35分)1.(5分)QUOTEQUOTE=2表示的曲线方程为 ()A.x2y2=1(x≤1) B.x2y2=1(x≥1)C.y2x2=1(y≤1) D.y2x2=1(y≥1)【解析】选C.QUOTE可看作动点(x,y)到点(0,QUOTE)的距离,QUOTE可看作动点(x,y)到点(0,QUOTE)的距离,则QUOTEQUOTE=2表示动点(x,y)到(0,QUOTE)和(0,QUOTE)的距离之差为2,符合双曲线的定义,且双曲线焦点在y轴上,又动点到(0,QUOTE)的距离大于到(0,QUOTE)的距离,所以动点(x,y)的轨迹为双曲线的下支,则c=QUOTE,a=1,所以b2=c2a2=1,所以曲线方程为y2x2=1(y≤1).【变式备选】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ()A.QUOTEQUOTE=1(x≥QUOTE)B.QUOTEQUOTE=1(x≤QUOTE)C.QUOTE+QUOTE=1(x≥QUOTE)D.QUOTE+QUOTE=1(x≤QUOTE)【解析】选A.设动圆的半径为r,由题意可得|MC1|=r+QUOTE,|MC2|=rQUOTE,所以|MC1||MC2|=2QUOTE=2a,故由双曲线的定义可知动点M在以C1(4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2a=2QUOTE的双曲线的右支上,即a=QUOTE,c=4⇒b2=162=14,故其标准方程为QUOTEQUOTE=1(x≥QUOTE).2.(5分)过双曲线QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,与双曲线的两条渐近线交于C,D两点,若|AB|≥QUOTE|CD|,则双曲线离心率的取值范围为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.将x=c代入QUOTEQUOTE=1,得y=±QUOTE,不妨取AQUOTE,BQUOTE,则|AB|=QUOTE,将x=c代入y=±QUOTEx,得y=±QUOTE,不妨取CQUOTE,DQUOTE,则|CD|=QUOTE.因为|AB|≥QUOTE|CD|,所以QUOTE≥QUOTE×QUOTE,即b≥QUOTEc,则b2≥QUOTEc2,又c2a2=b2,所以c2a2≥QUOTEc2,即QUOTEc2≥a2,则e2≥QUOTE,则e≥QUOTE.【变式备选】(2020·武汉模拟)已知A,B,C是双曲线QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC且2|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设左焦点为F′,|AF|=m,连接AF′,CF′,则|FC|=2m,|AF′|=2a+m,|CF′|=2a+2m,|FF′|=2c,因为BF⊥AC,且AB经过原点O,所以四边形FAF′B为矩形,在Rt△AF′C中,|AF′|2+|AC|2=|F′C|2,代入(2a+m)2+(3m)2=(2a+2m)2,化简得m=QUOTE,所以在Rt△AF′F中,|AF′|2+|AF|2=|F′F|2,代入QUOTE+QUOTE=(2c)2,化简得QUOTE=QUOTE,即e=QUOTE.3.(5分)P是双曲线C:x2y2=2左支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F2是双曲线C的右焦点,则|PF2|+|PQ|的最小值为 导学号()A.QUOTE B.QUOTEC.3QUOTE D.2+QUOTE【解析】选C.由题知|PF2||PF1|=2a=2QUOTE,则|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|+2QUOTE,由对称性,当F1,P,Q在同一直线上时|PF1|+|PQ|最小,由渐近线方程y=x,|F1O|=2知|F1Q|=QUOTE,则|PF2|+|PQ|的最小值为3QUOTE.4.(10分)(2019·福州模拟)已知双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=±QUOTEx,过点PQUOTE.(1)求双曲线C的标准方程.(2)是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线l的方程;如果不存在,请说明理由. 导学号【解析】(1)双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=±QUOTEx,设双曲线方程为x2QUOTE=λ(λ≠0),过点PQUOTE,代入可得λ=1,所求双曲线方程为x2QUOTE=1.(2)假设直线l存在.设B(1,1)是弦MN的中点,且M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2.因为