高一数学人教A版教案4-4-3不同函数增长的差异

第四章指数函数与对数函数4.4对数函数不同函数增长的差异教学设计教学目标学会区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异。理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义。会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题。教学重难点教学重点理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义教学难点会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题教学过程新课导入在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异。事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映。因此,如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律。下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异。探索新知首先比较指数函数与一次函数的增长差异，以函数y=2x和y=2x为例，利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象。如下图所示：由图可知，虽然这两个函数在[0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同,函数y=2x的增长速度保持不变,而函数y=2x的增长速度在变化。那么我们在更大的范围内，观察函数图象的增长情况。如下图所示：综上所述，虽然函数y=2x与y=2x在区间[0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度。尽管在x的一定变化范围内，2x会小于2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个xo，当x>x0时,恒有2x>2x。一般地，指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异都与上述情况类似。即使k的值远远大于a的值，y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度。指数函数不像一次函数那样直线上升，而是越来越快，呈爆炸式增长，称为指数爆炸。接下来比较对数函数和一次函数的增长差异，以函数y=lgx和y=x为例，利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象。如下图所示：综上所述，一般地，虽然对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区间(0,+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同。随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y=logax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个xo,当x>xo时，恒有logax<kx。对数函数的增长称为对数增长。课堂练习1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是()A．y减少1个单位B．y增加1个单位C．y减少2个单位D．y增加2个单位答案：C2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝2x D．y＝e－x答案：A3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．答案：②③小结作业小结：本节课学习了区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异以及理