高三数学高考高分突破之概率统计专题34 博彩问题（解析版）55

专题34博彩问题例1．法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题：他们相约赌博，约定先赢满4局者可获得全部赌金600法郎，赌了半天，甲赢了3局，乙赢了2局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局甲赢的概率为，每局输赢相互独立，那么这600法郎比较合理的分配是（）A．甲300法郎，乙300法郎 B．甲480法郎，乙120法郎C．甲450法郎，乙150法郎 D．甲400法郎，乙200法郎【解析】解：根据题意，在甲赢了3局，乙赢了2局后，甲获得全部赌金600法郎的概率，乙获得全部赌金600法郎的概率，则这600法郎应该分配给甲法郎，分配给乙法郎，故选：．例2．在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲、乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励.当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？因为甲输掉后两局的可能性只有，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为，即乙有25%的期望获得100法郎奖金.这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来.若某随机事件的概率分布列满足，则______；若，则______.【解析】解:因为,故,解得,解得故答案为:1;例3．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．【解析】设a，b∈{1，2，3，4，5}，则p（ξ1＝a），其ξ1分布列为：ξ112345PE（ξ1）（1+2+3+4+5）＝3．D（ξ1）[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分别为：1.4，2.8，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.8），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.84.25.6PE（ξ2）＝1.42.84.25.62.8．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案为：2，0.2．例4．赌博有陷阱，某种赌博游戏每局的规则是：参与者现在从标有5,6,7,8,9的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金（单位：元），若随机变量和分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则__________（元）．【解析】赌金的分布列为，奖金的情况是两卡片数字之差绝对值为，共有种，奖金为元，两卡片数字之差绝对值为，共有种，奖金为元，两卡片数字之差绝对值为，共有种，奖金为元，两卡片数字之差绝对值为，共有种，奖金为元.则，奖金的分布列为，，故答案为.例5．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，倍的奖励（），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为元．（1）求概率的值；（2）为使收益的数学期望不小于0元，求的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）【解析】（1）事件“”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则．（2）依题意，的可能值为，且，结合（1）知，参加游戏者的收益的数学期望为（元）．为使收益的数学期望不小于0元，所以，即．答：的最小值为110例6．（本题满分12分）翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，需切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值，其举办商在赌石游戏中设置了甲乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为，赌中后可获得30万元；未赌中则没有收获，每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额.（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为(单位：万元)，若的概率为，求的大小；（2）若收藏者张先生李先生都选择赌石规则甲或赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累积得到的金额的数学期望最大？【解析】（1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为，收藏者李先生赌中的概率为，且两人赌中与否互不影响．记“这2人的累计获得金额数为（单位：万元）”的事件为，则事件的对立事件为“”．因为，所以，求得．（2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为，都选择规则乙赌中的次数为，则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为，选择规则乙累计获奖得金额的数学期望为．由已知可得，，，所以，，从而，．若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得．综上所述，当时，他们都选择规则甲进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当时，他们都选择规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当时，他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望相等.例7．摆地摊的某摊（赌）主拿了8个白的，8个黑的围棋子放在一个口袋里，并规定凡愿意摸彩者每人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，中彩情况如下：摸棋子5个白4个白3个白其它彩金20元2元纪念品（价值5角）同乐一次（无任何奖品）（1）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，求获得彩金20元的概率；（2）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，求无任何奖品的概率；（3）按每天摸彩1000次统计，赌主可望净赚约多少钱？【解析】(1)获得彩金20元的概率为（2）无任何奖品的概率为（3）中2元的概率，中5角的概率按摸彩1000次统计，赌主可望净赚的钱数例8.赌博时，赢a元钱的概率为，输b元钱的概率为，不输不赢的概率为，这里