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第5节柱面坐标与球面坐标系下三重积分的计算

第10章5.1利用柱面坐标计算三重积分

为点M

的直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面设为空间一点.若

M

在

x

y

平面上的投影的极坐标为则称柱面坐标.如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此若Ω在

xy

面的投影为Ω的下,上边界曲面为则和例5.2其中

为由锥面计算所围立体.与球面解

两曲面的交线在

x

y

平面上的投影曲线为因此

在x

y平面上的投影区域为

可因此在柱面坐标系下,在柱面坐标系下,锥面和球面的方程分别为表示为由于对称性,所以例5.3p178其中

为由柱面补充例

所围成的半解

及平面圆柱体在第一卦限的部分.计算

可表示为所以在柱面坐标系下,补充例

解所围成

.与平面其中

由抛物面因此计算积分在柱面坐标系下,抛物面的方程为而5.2利用球面坐标计算三重积分

点M

的直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面

是与z

轴正向是

M

在x

y平面投影的极角.称数组为空间一点.的夹角,球面坐标.如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中若则例5.4

解

所围立体.其中为锥与球面于是计算积分在球面坐标系下,锥面方程为球面方程为区域

为注于是由于区域

关于

y

z

平面和

z

x

平面对称,在例

5.4

中,若改为计算因此例5.5解计算其中Ω是由在球面坐标系下,围成的闭区域.两球面的方程分别为故它们的交线的方程为(也可以求从而知道交线上的点的坐标满足).把积分域Ω分为两部分:解出故交线的方程也可以写为交线上的一点为所以5.3*

三重积分的换元法称为下面的变换若在广义极坐标变换下,将区域

Ω变换为则广义球面坐标

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