陕西省西安市部分学校2024届高三上学期12月联考数学试题（理）（解析版）

PAGEPAGE1陕西省西安市部分学校2024届高三上学期12月联考数学试题（理）第Ⅰ卷一､选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，又，所以，故选：A.2.（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意：,故选：D3.“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由可得，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：C.4.设等比数列的前项和为，且，则（）A.3 B.9 C.12 D.15〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，，所以.故选：B.5.已知，且，则（）A.有最小值8 B.有最小值C.有最大值8 D.有最大值〖答案〗A〖解析〗由可得，所以，由于，且，则，故，当且仅当时取等号，故，因此有最小值8，故选：A6.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，因此可得，故，故选：D7.在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，且外接圆半径为2，所以．由余弦定理得，，则故选：D．8.窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗记正八边形右下角的两个顶点分别为，连接，由题意易得等腰直角三角形，，则，不妨设，由于题目要求的最大值，故只考虑的情况，过作，垂足为，则，又，所以，显然，当点与点重合时，取得最大值，所以的最大值为.故选：A.9.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由于为第二象限角，则,则，由可得，，，由于，所以，故，所以，故选：B10.已知正四棱锥内切球的半径为，且，则正四棱锥的体积是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在正四棱锥中，连接，，，连，则平面，设，则，由等体积法可得，故，解得，故故选：D．11.已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令,则，进而可得或，因此的非负零点有，要使得在上恰有3个零点，则，解得，故选：C12.已知函数，是函数的4个零点，且，给出以下结论：①的取值范围是，②，③的最小值是4，④的最大值是.其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗作出函数的图象如下图所示：

因为是函数的4个零点，所以直线与函数的图象有四个交点，且，根据图象知：，所以①错误；对于②，由图可知，，则，所以，，则，所以，所以，所以，正确；对于③，由图可知，，由得，即，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，显然不满足，所以，错误；对于④，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值是，正确.综上，正确结论为②④，共2个.故选：B.第II卷二､填空题13.已知向量，，若，则__________．〖答案〗2〖解析〗因为，，，所以，解得，故〖答案〗为：2.14.在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________.〖答案〗〖解析〗因为是正方体，建立以为原点坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则有，，，，，，设异面直线与所成角为，．故〖答案〗为：．15.对于数列，定义为的“优值”.若数列的“优值”，则__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，所以，故，，相减可得，所以，故〖答案〗为：：16.已知函数，直线，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则之间的最短距离是__________.〖答案〗〖解析〗函数，直线，若直线与的图象交于点，与直线交于点，直线的斜率为，直线的斜率为，两直线垂直，则函数图象上的点到直线的最短距离，即为，之间的最短距离，由题意可得，．令，则，解得，，取点，点到直线的距离，则，之间的最短距离是．故〖答案〗为：．三､解答题17.已知函数，且.（1）求的〖解析〗式；（2）若对任意的，不等式成立，求的取值范围.解：（1）由，且可得，解得，所以（2）由可得对任意的恒成立，由于的对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，且，因此当时，，进而可得，因此，解得18.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.解：（1）因为，令，解得，则的单调递增区间是；（2）因为，将的图象向右平移个单位长度，可得．因为，所以，所以，则，即在区间内的值域为．19.如图，在直三棱柱中，是的中点.（1）证明：平面.（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（1）证明：由于三棱柱为直三棱柱，所以平面，又所以取中点为，过作的平行线作为轴，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则,所以,由于故，因此，又平面，所以平面，.（2）解：由（1）知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，取则，故，设平面与平面所成锐二面角为，则故平面与平面所成锐二面角的余弦值为20.设数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）由以及可得，所以，，故为公差为1的等差数列，所以，所以，（2），所以21.在中，角的对边分别是，且.（1）若，求的值；（2）若外接圆的半径为4，求的最大值.解：（1）根据题意：因为由正弦定理得：,化简得：，因为，所以，即，联立，消去得：,解得：或（舍去），在三角形内，,可得：，所以.（2）因为外接圆的半径为4，利用正弦定理可得：结合上问可知：，代入可得：,在三角形内，,所以，所以当时，即时，，故的最大值为.22.已知函数.（1）设函数，其中是的导数，讨论的单调性；（2）若，证明：.（1）解：由得，所以，故，当时，单调递增，当时，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，综上可得：时，在