浙江省强基联盟2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1浙江省强基联盟2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.1.若复数在复平面内所对应的点在实轴上，则实数（）A. B. C.1 D.4〖答案〗B〖解析〗由题意，其对应的点在实轴上，所以，得.故选：B.2.已知直线和直线，则“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由题设，可得，解得或.当时，：，：，此时，当时，：，：，此时，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在小于9的素数中，选两个不同的数，积为奇数的概率为（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗小于9的素数有2，3，5，7，共4个，随机选取两个不同的数，基本事件有，，，，，，共6种，其积为奇数的基本事件有，，，共3种，所以故选：D4.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗椭圆的焦点坐标是，，设双曲线的方程为，双曲线的离心率，故，解得，.故双曲线的方程为.故选：D5.已知l，m，n是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题，其中为假命题的是（）A.若，，，则B.若，，，，，则C.若，，，，则D.若m与n异面，，，则存在，使得，，〖答案〗B〖解析〗对选项A，若，，则，又，所以，故A正确；对选项B，当，，，，时，与可能平行或相交，故B错误；对选项C，由，可得，又，，所以，故C正确；对选项D，在上取点Q，分别作m，n的平行线，，这两条相交直线确定平面，如图所示.因为，，，则，同理可证，因为，，，，所以，，又因为，，，所以，故D正确.故选：B.6.在平行四边形中，是的中点，是的中点，与相交于点，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，由题意可知：为的重心，且为的中点，可知四点共线，且，所以.故选：A.7.正项等比数列的前n项和为，且满足，则的最大值为（）A.256 B.512 C.1024 D.2048〖答案〗C〖解析〗显然，则，，，化简得，解得.又，所以.，所以.当时，，当时，，所以.故选：C.8.在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，因为，，所以，因为，所以为等边三角形，所以.取的中点D，连接和，则为二面角的平面角，即.因为为直角三角形，所以D为的外心.设的外心为，过点D作平面的垂线，过点作平面的垂线，则交点为球心，连接，.设三棱锥外接球的半径为R.在中，，由已知得，在中，由余弦定理得，即，解得，故三棱锥外接球的表面积为.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某校组织了600名学生参与测试，随机抽取了80名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.图中a的值为0.15B.估计这80名学生考试成绩的众数为75C.估计这80名学生考试成绩的中位数为82D.估计这80名学生考试成绩的上四分位数为85〖答案〗BD〖解析〗根据频率之和等于1，得，解得，故A错误；由频率分布直方图可知：各组对应的频率分别为0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，频率最高的为，对应区间的中点值为75，则估计众数也为75，故B正确；，，可知中位数落在内，即中位数的估计值不是82，故C错误；因为可知上四分位数在内，设第75百分位数约为x，则，得，故D正确.故选：BD.10.如图所示，在四个正方体中，是正方体的一条体对角线，点分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形为（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗如图所示，正方体.连接，分别为其所在棱的中点，.∵四边形为正方形，，平面，平面，，，，平面，平面，.，，同理，可证，，，平面，平面，平面，即l垂直平面，故A正确.在D中，由A中证明同理可证，，又，平面.故D正确.假设直线与平面垂直，则这条直线垂直于面内任何一条直线.对于B选项建立直角坐标系如图：设棱长为2，，直线l所在体对角线两个顶点坐标，所以其方向向量，，所以直线不可能垂直于平面.同理可在C中建立相同直角坐标系，，，所以直线不可能垂直于平面.故选：AD.11.记的图象为，如图，一光线从x轴上方沿直线射入，经过上点反射后，再经过上点反射后经过点P，直线交直线于点Q，下面说法正确的是（）A. B.C.以为直径的圆与直线相切 D.P，N，Q三点共线〖答案〗ACD〖解析〗利用抛物线的光学性质，平行于对称轴的光线，经过抛物线的反射后集中于它的焦点；从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.因为，焦点，所以直线：.由消去y并化简得，选项A，，，，故A正确；选项B，又，故，，故，故B错误；选项C，由，抛物线的准线为，的中点到准线的距离为，即等于的一半，即以为直径的圆与直线相切，故C正确；选项D，直线的方程，与联立，可得Q点的横坐标为，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.由点在直线上，则三点都在直线上，故D正确.故选：ACD.12.斐波那契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，（，）.则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由题意可得，，所以，故A正确.对于B，，，，，，，故B错误.对于C，，，…，，以上各式相加得，，化简得，故C正确.对于D，由题意可得，，，……，累加得，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，，则______.〖答案〗0〖解析〗由题意.故〖答案〗为：0.14.已知P，A，B，C四点不共面，若，直线与平面所成的角为，则______.〖答案〗〖解析〗在上任取一点D并作平面，连接，则就是直线与平面所成的角.过点O作，，连接，.∵平面，平面，所以，因为面，面，所以面，面，又面，面，则，.所以，∴，∴.∵，∴点O在的平分线上，即.设，∵，∴.在直角中，，，则.在直角中，，，则，即直线与平面所成角的余弦值是.故〖答案〗为：.15.已知圆，直线，P为上的动点，过点P作的切线，，切点分别为A，B，则直线所过的定点坐标为______.〖答案〗〖解析〗设为直线上一点，则，过点P作圆的切线，，则M，A，P，B四点共圆，该圆以为直径，则方程为，整理为，直线的方程即两圆的公共弦方程，联立，两圆相减，的方程即.又，可得，解得则直线过定点.故〖答案〗为:.16.已知数列的通项公式是.在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列.那么______.按此进行下去，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，则______.〖答案〗①.21②.〖解析〗由，，，，，，成等差数列，，且公差为，，，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，设其公差为，此数列首项为，末项为，则，，则，设，则，则，则，，则，，，故〖答案〗为：21；.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）D是线段上的点，且，，求的面积.解：（1）因为，由正弦定理得.因为，所以，所以，即.因为，所以，即.（2）设，因为，所以.因为，所以，，，中，由正弦定理可知，即，即，化简可得，即，,所以.18.已知圆锥的顶点为，为底面圆心，，异面直线与所成角的余弦值为，的面积为.（1）求该圆锥的表面积；（2）求该圆锥内半径最大的球的体积.解：（1）取弧的中点，连接，则，又因为底面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，，由题设，则，，，所以，，所以，解得，所以母线，取的中点，连接、，则，因为，则，且，所以，，所以，，则，所以，由圆锥的表面积公式得.（2）由于圆锥与球均为旋转体，可知最大的球的半径即圆锥轴截面的截切圆的半径，，，，解得，因此，该圆锥内半径最大的球的体积为.19.在平面内，已知动点M到两个定点，的距离的比值为2.（1）求动点M的轨迹方程，并说明其轨迹C的形状；（2）直线与轨迹C交于两点，求过该两点且面积最小的圆的方程.解：（1）设点，则，化简得，即，所以轨迹C是以为圆心，半径为2的圆.（2）设直线与圆的两个交点分别为，.由得，，，设的中点为，则，，即中点为.所以，故最小的圆是以为直径的圆，其圆心坐标为，半径的平方为，故所求圆的方程为.20.如图，在直棱柱中，，E，F分别是棱，上的动点，且.（1）证明：.（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）由题意知在直棱柱中，，可得，所以，又面，面，所以，即，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，不妨设，，则，，，，，，所以，，可得，所以，即（2），当且仅当，即时，有最大值，此时E，F分别为，的中点，，，所以，由（1）可知，，所以，，，不妨设平面的一个法向量为，则，令，解得，所以可取平面的一个法向量为，不妨设平面的一个法向量为，则，令，解得，所以可取平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.21.已知为数列的前n项和，，.（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，若关于m的不等式恒成立，求m的取值范围.解：（1）∵，∴，两式相减得，又，符合上式，∴，，，∴是以5为首项，公比为2的等比数列，∴，∴；（2）法一：∴易得为递增数列，当时，有最小值.若关于m的不等式恒成立，则恒成立，解得.法二：，，则，为数列的前n项和，则数列为递增数列，当时，有最小值.若关于m