(1.47)-3.4.4 谱分析范围和频率分辨率

在对连续信号进行谱分析时，主要关心两个问题，这就是谱分析范围和频率分辨率。

谱分析范围为［0,Fs/2］，直接受采样频率Fs的限制。为了不产生频率混叠失真，要求满足Nyquist采样定理，信号的最高频率fc<Fs/2。

频率分辨率用频域采样间隔F描述，F表示谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔。显然，F越小，谱分析就越接近Xa(jf)，所以F较小时，我们称频率分辨率较高。Fs：采样频率分析由

，

和

看出：要使fc增大，则时域采样间隔T就要减小，Fs增大，若N

给定，为避免混叠失真，必然导致F增加，即谱分辨力下降；（F越小，分辨力越高）反之，若要提高频率分辨力，即减小F

，就要增加Tp，若N给定，则导致减小Fs，最终必须减小信号的高频容量fc。解决方法：增加函数周期内的点数N,即

fc和F

都给定时，则N必须满足Tp和N可以按照下面两式进行选择：(3.4.14)(3.4.15)【例3.4.2】对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F≤10Hz，信号最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间Tpmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率提高1倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少？解因此Tpmin=0.1s。因为要求Fs≥2fc，所以为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此选用N=512点。为使频率分辨率提高1倍，即F=5Hz，要求：用快速算法FFT计算时，选用N=1024点。上面分析了为提高谱分辨率，又保持谱分析范围不变，必须增长记录时间Tp，增加采样点数。应当注意，这种提高谱分辨率的条件是必须满足时域采样定理，甚至采样速率Fs取得更高。2．用DFT对序列进行谱分析我们知道单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换，即X(ejω)是ω的连续周期函数。如果对序列x(n)进行N点DFT得到X(k)，则X(k)是在区间[0,2π]上对X(ejω)的N点等间隔采样，频谱分辨率就是采样间隔2π/N。因此序列的傅里叶变换可利用DFT(即FFT)来计算。对周期为N的周期序列，由(2.3.10)式知道，其频谱函数为其中周期序列的频谱结构可用其离散傅里叶级数系数表示。由DFT的隐含周期性知道，截取的主值序列，并进行N点DFT，得到：

所以可用X(k)表示的频谱结构。(3.4.16)如果截取长度M等于的整数个周期，即M=mN，m为正整数，即

令n=n′＋iN;i=0,1,…,m－1;n′=0,1,…,N－1，则（3.4.17）因为所以(3.4.18)由此可见，XM(k)也能表示的频谱结构，只是在k=im时，

，表示的i次谐波谱线，其幅度扩大m倍。而其他k值时，XM(k)=0，当然，X(i)与XM(im)对应点频率是相等的。所以，只要截取的整数个周期进行DFT，就可得到它的频谱结构，达到谱分析的目的。如果的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即再将截取长度扩大1倍，截取比较XM(k)和X2M(k)，如果二者的主谱差别满足分析误差要求，则以XM(k)或X2M(k)近似表示的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求。设最后截取长度为iM，则XiM(k0)表示ω=[2π/(iM)]k0