浙江省2024届高考数学重难点模拟卷（二）(含解析)

浙江省2024届高考数学重难点模拟卷（二）一、单选题1．已知复数，则（

）A．0 B．1 C． D．2．已知集合，则集合的元素个数为（

）A．3 B．2 C．4 D．53．已知向量，，若实数λ满足，则（

）A． B． C． D．14．已知，，，则下列结论错误的为（

）A．， B．，C．， D．，5．已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：（，当时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足2023年初的时，的最小值为（参考数据：）（

）A．16 B．17 C．18 D．196．已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（

）A． B． C． D．7．正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为A． B． C． D．二、多选题9．下列说法中，正确的是（

）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1B．一组数据的第60百分位数为14C．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差10．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（

）A．B．C．函数在上单调递减D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为11．已知直线：与圆：，若存在点，过点向圆引切线，切点为，，使得，则可能的取值为（

）A．2 B．0 C． D．三、填空题12．已知数列满足，设数列的前项和为，则=13．在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．14．已知函数，若，则关于的不等式的解集为．四、解答题15．某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．(1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率；(2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望．16．设函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求；(2)证明：.17．如图，AB是半球O的直径，，依次是底面上的两个三等分点，P是半球面上一点，且．(1)证明：；(2)若点在底面圆上的射影为中点，求直线与平面所成的角的正弦值．18．已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）(1)求证：点E恒在一条定直线L上；(2)若两直线与L交于点N，，求的值；(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．19．若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.(1)判断无穷数列和是否是数列，并说明理由；(2)若是数列，证明：数列中存在小于1的项；(3)若是数列，证明：存在正整数，使得.参考答案：1．A【分析】化简复数，继而求模即可.【详解】则，故选：A.2．A【分析】将的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合，即可得集合的元素个数.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故，共三个元素.故选：A.3．A【分析】先表示出的坐标，然后根据垂直关系得到的方程，由此求解出结果.【详解】因为，且，所以，所以，故选：A.4．D【分析】举例即可判断ABC；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A，当时，，，此时，所以，，故A正确；对于B，当时，，，此时，所以，，故B正确；对于C，当时，，，此时，所以，，故C正确；对于D，当时，，当且仅当，即时取等号，，由，得，而，所以当，即时，，所以，当且仅当时取等号，而，所以，，故D错误.故选：D.5．D【分析】确定2023年初的种群数量为时的函数值，根据题意可列不等式，结合对数运算即可求得答案.【详解】由题意可知2023年初的种群数量为时的函数值，故令，即，则，，由于，故n的最小值为19，故选：D6．B【分析】数列是公比为2的等比数列，可得，则有，累加法结合等比数列求和公式，计算.【详解】，数列是公比为2的等比数列，则，即，.故选：B【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列的通项得到，用累加法即可计算.7．C【分析】设四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，当为内切球的直径时，最长，再化简可求得其最大值.【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，则.因为正四面体的棱长为3，所以，所以，设内切球的半径为，则，，解得，当为内切球的直径时最长，此时，，，因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为.

故选：C8．A【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，设点，，则，因为为的重心，所以，因为轴，所以点横坐标也为，，因为为的角平分线，则有，又因为，所以可得，又由角平分线的性质可得，，而所以得，所以，，所以，即，因为即，解得，所以答案为A.【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解.（2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合.9．AC【分析】由古典概型的概率可判断A，根据百分位数定义可判断B，由数据的平均数和方差的定义可判断C,D.【详解】选项A：个体m被抽到的概率为，故A正确；选项B：由于，第六个数为14，第七个数为16，则第60百分位数为，故B错误；选项C：设数据的平均数为，方差为，则数据的平均数为，方差为，所以，故C正确；选项D：设第一层数据为，第二层数据为，则，，所以，，，总体平均数，总体方差因为，则，所以，故D错误.故选：AC.10．ACD【分析】令求得根据求得，根据求得的解析式，再逐项验证BCD选项.【详解】令得，或，，由图可知：，，，所以，，所以，所以，故A选项正确，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B错误.当时，，因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确；将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），为偶函数得，，所以，，则的最小值为，故D正确.故选：ACD.11．BCD【分析】先确定出直线所过的定点以及圆心和半径，根据条件分析出，由此确定出所满足的不等关系，则的取值范围可求，故的可取值可确定.【详解】因为即，令，解得，所以过定点，圆，圆心为，半径为，由切线性质可知：当时，，，因为存在使得，所以，记到的距离为，又因为，当最大时，此时，所以，所以，所以，解得，又因为，所以可取，故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的综合运用，涉及圆的切线相关问题，着重考查学生分析转化问题的能力，难度较大.解答问题的关键在于分析的取值范围并将其正弦值与圆心到直线的距离联系在一起，从而求出参数的可取值.12．【分析】根据给定的递推关系求出，再利用等差数列前项和公式求出即可.【详解】数列满足，当时，，两式相减得，因此，而满足上式，于是，显然，即数列是等差数列，所以.故答案为：13．【分析】取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，设，内切球半径为r，根据题意求出侧棱长以及，，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可.【详解】如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r，所以，，同理．因为内切球与平面相切，切点在上，所以①，在等腰梯形中，②，由①②得．在梯形中，③，由②③得，代入得，则棱台的高，所以棱台的体积为．故答案为：.

14．【分析】计算出，函数关于点中心对称，得到有唯一的解，求出函数的单调性，结合题目条件得到，进而得到分段函数解析式，计算出，故，结合函数单调性得到不等式.【详解】由题意，得，，所以，即函数关于点中心对称．因为恒成立，所以当时，，当时，．所以有唯一的解．，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递增，又，，故在R上单调递增，，由对称性可知，下面证明，过程如下：若时，则，且，则，，，此时，同理可得当时，，当，即时，，，满足，即．故，当时，，当时，令，解得，当时，，又不等式，所以．由，得．由，得．所以原不等式的解集为．故答案为：【点睛】函数的对称性：若，则函数关于中心对称，若，则函数关于对称15．(1)(2)分布列见解析，数学期望为【分析】（1）分甲乙全胜两种情况相加得结果；（2）利用分布列步骤求解并求得期望.【详解】（1）甲3局全胜的概率为,乙3局全胜的概率为，进行3局比赛决出冠亚军的概率为（2）的可能取值为1，2，，，故的分布列为：12故．16．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.【详解】（1）函数的定义域为.将代入，解得，即，由切线方程，则切线斜率.故，解得.（2）证明：由（1）知，从而等价于.设函数，则.所以当时，，当时，.故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，从而在上的最大值为.故，即.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意证明面，得到，再结合线面垂直的判定定理得证；（2）根据题意建立空间直角坐标系，结合线面角的空间向量计算公式进行求解即可.【详解】（1）连接，因为依次是底面上的两个三等分点，所以四边形是菱形，设，则为中点，且，又因为，故是等边三角形，连接，则，又因为面，，所以面，因为面，所以，因为依次是底面上的两个三等分点，所以，所以，又因为AB是半球O的直径，P是半球面上一点，所以，因为面，，所以面，又因为面，所以（2）因为点在底面圆上的射影为中点，所以面，因为面，所以，又因为，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，设平面的法向量，则，令，则，设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为18．(1)证明见解析(2)0(3)存在【分析】（1）设，由题意可证得点A，B都在直线上，直线l过点，可得，即可证明点E恒在定直线上．（2）法一：设，由可得，将其带入双曲线方程可得，同理可得，由根与系数的关系可得．法二：由题意知，设l的方程：，联立直线与双曲线的方程，设，由可得，同理，将韦达定理代入即可得出答案.（3）设，与联立，设，表示出，将韦达定理代入化简即可得出答案.【详解】（1）证明：设，由题意得：切线EA的方程为：，将点E带入得：，同理可得：，易知点A，B都在直线上，所以直线l的方程为：，因为直线l过点，所以，

所以点E恒在定直线上．（2）法一：设，因为，所以整理得因为点在双曲线上，所以，整理得，同理可得，所以，是关于x的方程的两个实根，所以．法二：由题意知，l的斜率存在，设l的方程：，联立得：，所以，设，因为，所以，所以，同理，所以.（3）设，与联立得：，，因为直线L的方程为，所以，所以，同理，所以，故存在，使得．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.19．(1)是数列，不是数列，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）代入定义计算即可得；（2）借助题目条件，借助放缩将等式转换为不等式后结合数列的函数性质即可得；（3）由题意将表示