2022届新高考开学数学摸底考试卷5

2022届新高考开学数学摸底考试卷5

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一个是符合题目要求的，请把参考答案添涂在答题卡相应位置上)

1.记全集U=R,集合人={%|炉之16},集合B={X|2—2},则(在A)p|B=

A.[4,+oo)B.(1,4]C.[1,4)D.(1,4)

2.已知。=log52,b=Iog72,c=0.5"",贝ij〃，儿c的大小关系为

A.b<a<cB.a<b<icC.c<b<aD.c<a<b

3ITSTT77

3.若cos(a+0=《，sin(7?--)=-^,a,/3e(0,―),则cos(a+a)=

33335616

A.-----B.——C.——D.------

65656565

4.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2〜3艘驱逐舰，1〜2艘核潜艇.

船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为

A.30B.60C.90D.120

5.函数/(x)=2sin(s+0)(o>O，M<7)的部分图像如图所示，且/(x)的图像过A(1,

71

1),B(y,-1)两点，为了得到g(x)=2sinox的图像，只需将/(x)的图像

A.向右平移一B.向左平移一C.向左平移'D.向右平移二

1212

第6题

6.《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、

兑八卦)，每一卦由三根线组成(-表示一根阳线，-表示一根阴线)，从八卦中任取一卦,

这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为

7.设H,F2分别为双曲线C：二—二=l(a>0,方>0)的左、右焦点，过Fi的直线/与圆

cTb"

0:无2+>2=/相切，/与c的渐近线在第一象限内的交点是p,若PF2，X轴，则双曲

线的离心率等于

A.6B.2C.272D.4

8.对于函数>=/(%),若存在区间［。，b］,当x€［a,6］时的值域为［桁，肪］(斤>0),则称

y=/(x)为无倍值函数.若/(x)=e、+2x是左倍值函数，则实数上的取值范围是

,,12

A.(e+1,+oo)B.(e+2,+℃)C.(eH—,+8)D.(eH—，+8)

ee

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项

中，至少有两个是符合题目要求的，请把参考答案添涂在答题卡相应位置上)

9.下列说法正确的是

A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数。后，方差也变为原来的a倍

B.设有一个回归方程y=3-5x,变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位

C.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

D.在某项测量中，测量结果J服从正态分布N(l,(72)(a>0),则P(J>l)=0.5

10.已知抛物线C：V=2px过点p(i,1),则下列结论正确的是

3

A.点P到抛物线焦点的距离为一

2

B.过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则AOPO的面积为工

32

C.过点P与抛物线相切的直线方程为x-2y+l=0

D.过P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M,N,则直线MN的斜率为定值

11.在AABC中，已知加osC+ccosB=26,且--1------二---,贝ij

tanAtanBsinC

A.a,b,c成等比数列B.sinA：sinB：sinC=2：1：J]

C.若a=4,贝USAABC=J7D.A,B,C成等差数列

12.已知函数/(x)=xlnx,若0<玉<々，则下列选项正确的是

./-(%,)-/(x)

A.2<U

王一々

B.%,+f(xt)<x2+f(x2)

C.x2/(x,)<xl/(x2)

D.当*2>〉」时，*/(X】)+X2f(x,)>x2f(x})+xj{x,)

e

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把参考答案填写在答题卡相应

位置上)

13.高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的工，而且三好学生

6

中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条

件下，选上的是三好学生的概率为.

14.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

15.己知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则而•福的取值范围是.

16.椭圆与双曲线有相同的焦点Fi(-c,0),F2(C,0),椭圆的一个短轴端点为B,直线BB

与双曲线的一条渐近线平行.若椭圆与双曲线的离心率分别为q,e2,则qe?=

且3e；+e；的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知函数/。)=2内sinxcosx+2sin2尤一1.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

兀

(2)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/(A)=2,C=一,

c=2,求AABC的面积.

18.（本小题满分12分）

2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究

学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生

与女生的人数之比为11：13,其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线

上教育不满意.

满意不满意总计

男生

女生

合计120

（1）完成2X2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有

关”；

（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学

生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为4.求出彳的分布列及期望

值.

附公式及表：

„n(ad-bc)2甘广,,

K2=-----------------------------------,其中"=a+6+c+”.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线2/-2y2=l的焦点重合，点p(o,6)在

椭圆C上，动直线/：交椭圆于不同两点A,B,且0人-00=0(0为坐标原点).

(1)求椭圆的方程；

(2)讨论7〃产-12产是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

20.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=X?+〃x+c,且/(X)KO的解集为[-1,2].

(1)求函数/(x)的题目解析式；

(2)解关于X的不等式ITlf(x)>2(x—〃2—1)(阳20);

(3)设g(x)=2"*3xT,若对于任意的西，X2G[-2,□都有|g(X|)-g(w)|4M,

求"的最小值.

21.(本小题满分12分)

2%-1

已知f(x)=〃(x-Inx)H-----.

X

(1)讨论/(无)的单调性；

3

(2)当。=1时，证明/(幻>/'(1)+5对于任意的工£32]成立.

22.(本小题满分12分)

已知点P是抛物线CK丁2=4%的准线上任意一点，过点p作抛物线的两条切线PA、

PB,其中A、B为切点.

(1)证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；

x2y2

(2)若直线AB交椭圆C2：一+==1于C、D两点，S，S2分别是APAB,APCD

43

的面积，求T■的最小值.

S2

2022届新高考开学数学摸底考试卷5

(教师版)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一个是符合题目要求的，请把参考答案添涂在答题卡相应位置上)

1.记全集U=R,集合八={小2216},集合B={x|2，N2卜则&A)C|B=

A.[4,+8)B.(1,4]C.[1,4)D.(1,4)

参考答案：C

题目解析：•••集合人={.%2»16}={司尤之4或¥^},

^A=1x|-4<x<4},又,.•B={X|2*>2}={x|xN1},

(aA)nB=[l,4),故选C.

2.已知。=logs2,/?=log72,C=0.5"-2,则”，b,c的大小关系为

A.bV〃VcB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

参考答案：A

题目解析：.；log52<log；=l,.•.OS">。,；？，，c>2,

又logs2〉log：2,a>b,.\b<a<c,故选A.

371_./7T.

3.若cos(<z+0)——9sin(^-—)=—,a,0G(0,―),则cos(a+z)=

413

33335616

A.-----B.—C.—D.-----

65656565

参考答案：c

TT7T7T7T

题目解析：Ta,6w(0,1),・，・a+尸£(0,兀)，/3----G(------,—),

2444

sin(a+/)=《,cos(/?--)=—，

/.cos(6r+—)=cos[(a+£)—(^-―)]=cos(a+/?)cos(/?--)+sin(a+0)

3124556

sin('一?)-x_+_x_—__故选C.

513513-65

4.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2〜3艘驱逐舰，1〜2艘核潜艇.

船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为

A.30B.60C.90D.120

参考答案：B

题目解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰

和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和

1搜核潜艇，C；C；+C；C；=60,故选B.

5.函数/(x)=2sin(5+°)(CD>0,|^|<兀)的部分图像如图所示，且/(%)的图像过A(1-,

1)，B(乃，-1)两点,为了得到g(x)=2sinox的图像，只需将/(x)的图像

A.向右平移9卫B.

向左平移—C.向左平移—D.向右平移—

661212

参考答案：C

T7TJIJI5

题目解析：由题意知一=一T=71,/.co—2,2x—+e=—+2%乃，°=一二万+2攵万，

22266

一片万，J（x）=2sin（2x—：万）=2sin2（x—，乃），故选C.

♦陷<万，（p=

6.《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图（含乾、坤、舞、震、坎、离、良、

兑八卦），每一卦由三根线组成（-表示一根阳线，-表示一根阴线），从八卦中任取一卦,

这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为

参考答案：C

3

题目解析：P=—,故选C.

8

7.设Fi,F2分别为双曲线C：二一与=1（°>0,6>0）的左、右焦点，过B的直线/与圆

ab-

o：》2+>2=“2相切，/与c的渐近线在第一象限内的交点是P,若PF2，x轴，则双曲

线的离心率等于

A.6B.2C.20D.4

参考答案：A

be

22

题目解析：tan/PF；E=q=2,02=2/,c=3a,e=K，故选A.

~b2c

8.对于函数y=/（x）,若存在区间口，b],当0时的值域为人我]依>0）,则称

y=/(x)为k倍值函数.若f(x)=e'+2x是在倍值函数，则实数k的取值范围是

2

A.(e+1,+oo)B.(e+2,4-oo)C.(cd—,+8)D.(CH—,-HX))

ee

参考答案：B

e"+2a=ka

题目解析：/(x)=ev+2x是单调增函数，故〈，，故”，6是方程e*+2x=Ax

eb+2b=kb

的两个根，令g(x)=e*+(2—左)x,g'(x)=e*+(2—左)，当上>2,x=ln(k-2)时，

g(x)有最小值为g(ln(左一2))=%-2--2)ln(Z-2)<0,解得Qe+2,故选B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项

中，至少有两个是符合题目要求的，请把参考答案添涂在答题卡相应位置上)

9.下列说法正确的是

A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的。倍

B.设有一个回归方程y=3-5x,变量x增加1个单位时，v平均减少5个单位

C.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

D.在某项测量中，测量结果J服从正态分布N(l,a2)(cr>0),则P(J>l)=0.5

参考答案：BD

题目解析：选项A,方差变为原来的/倍，故A错误；线性相关系数r的绝对值越大，两

个变量的线性相关性越强；线性相关系数，•的绝对值越接近0,线性相关性越弱，由

此可见C错误，故选BD.

10.已知抛物线C：：/=2川过点P(l,1),则下列结论正确的是

3

A.点P到抛物线焦点的距离为一

2

B.过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则AOPO的面积为2

32

C.过点P与抛物线相切的直线方程为x-2y+l=0

D.过P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M,N,则直线MN的斜率为定值

参考答案：BCD

题目解析：..•抛物线c：y2=2px过点p(i,1),.♦.〃=；,;.y2=x,故该抛物线焦点坐

标为(L,0),准线方程为》=-1,故点P到抛物线焦点的距离为2,故A错误；

444

△OPQ的面积5=上二=4=±,故B正确；设过点P的直线方程为

2smezX一32

5

y=kx+l-kf与抛物线联立并化简得@2一丁+1一人=。，1—42(1—Q=0,解得

k=L故过点P与抛物线相切的直线方程为x-2y+1=0,C正确；设PM的斜率

2

为k,则PN的斜率为-4,求得M(支£,上吆)，N("竺，求得

k2kk2k

MN的斜率为——，D正确，故选BCD.

2

11.在aABC中，已知bcosC+ccosB=2b,且---1--------二---,则

tanAtanBsinC

A.Q,b,c成等比数列B.sinA：sinB：sinC=2：1：

c.若。=4,则SAABC=J7D.A,B,C成等差数列

参考答案：BC

〜111-cosAcosB1・4・门.2「口

题目解析：由-----+-----=-----得，-----+-----=-----，sinAsinB=sinC,故

tanAtanBsinCsinAsinBsinC

ab=c1,故a,c,b成等比数列，故A错误；*.*ZJCOSC+ccosB=2b,：,ci=2b,又ab

2

=C9•*•€=V2h,「.a：h：c=2：1：V?,AsinA：sinB：sinC=2：1：>/2,故B

a2+b2-c2_4+l-2_3不

正确；cosC

2ab2x2x14

—xax/jsinC=—x4x2x——二币故C正确；cosB=

224

a2+c2-b2_4+2-1

=----,故BW60°,故D错误,故选BC.

2ac2x2x\[5.8

12.已知函数/(x)=xlnx,若0＜玉＜々，则下列选项正确的是

/(再)一/(%2);0

王一工2

B.x,+f(xl)<x2+f(x2)

C.x2f(xl)<xlf(x2)

D.当工2>尤]>,时，芯/(玉)+元/(%2)>工2/(玉)+5/(々)

e

参考答案：CD

题目解析：首先注意到函数/(x)=%lnx,在(0,1)单调递减，在(1，+8)单调递增，故

ee

A错误，xJ(X])+x2f(x2)>x2f(x[)+xj(w)=(%一%)[/(3)-/(z)]>0，故

D正确：令g(x)=/(x)+x=xlnx+x,不是单调函数，故B错误；令

〃(幻=/3=lnx,是单调增函数，故C正确，故选CD.

x

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把参考答案填写在答题卡相应

位置上)

13.高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的2，而且三好学生

6

中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条

件下，选上的是三好学生的概率为.

参考答案：—

8

题目解析：P——=一.

408

14.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

参考答案：y=2x

题目解析：y=\nx+x+\,/=-+1,设切点横坐标为无0，—+l=2=>x0=l,所以切

点(1,2),故切线方程为y—2=2(x—1),即y=2x.

15.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则而•屈的取值范围是.

参考答案：(-2,6)

题目解析：点P与点F重合时，丽•陌有最小值为-2,当点P与点C重合时，APAB

有最大值为6,故而•通的取值范围是（-2,6）.

16.椭圆与双曲线有相同的焦点F|（-c,0）,F2（C,0）,椭圆的一个短轴端点为B,直线FiB

与双曲线的一条渐近线平行.若椭圆与双曲线的离心率分别为q,e2,则qe?=

且3e；+e；的最小值为.

参考答案：1；26

X2V2X2y2

题目解析：设椭圆方程为二+七=1,双曲线方程为二-3=1,则由直线BB与双曲线

a；b-a；优

的一条渐近线平行，得且=%=＞冬="=＞4I0_=＞』=4,ey,

Cae

C01cdz2\

=1；

（2走

所以3d+422任品=26,当且仅当（13取等号.

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知函数/（x）=2Gsinxcosx+2sin2x-1.

（1）求函数/（x）的单调递增区间;

(2)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/(A)=2,C=—,

4

c=2,求aABC的面积.

解：(1)V/(x)=2\[3sinxcosx+2sin2x_1=百sin2x-cos2x

cf万、

=2sin(2x---),

6

令2hi---<2x----<2kn-{—，keZ,解得攵兀----<x<kitH—,keZ,

26263

7T71

・•・函数/（X）的单调递增区间为：[E--,E+—],kez.

63

TC

(2)V/U)=2sin(24一一)=2,

6

71

sin(2A------)=1,

6

,TC71117T

VJe(0,7i),2A——e(-----，------),

666

71几

2A---=一,解得A

62

72xsin化+

「十eab-c-sin5I34)1/r

/.由正弦定理----=-----,可得b=-------------=------------7=---------=1+V3,

sinAsinBsinC，2

~T

11/7O_3+石

=—=—X-yOXI—X--------=---------------

22

：.S^ABCabsinC(1+^3)22.

18.(本小题满分12分)

2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究

学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生

与女生的人数之比为11：13,其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线

上教育不满意.

满意不满意总计

男生

女生

合计120

(1)完成2X2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有

关”；

(2)从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学

生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为求出J的分布列及期望

值.

附公式及表:

“2n(ad-bc)2,

K=----------------------------------,其中〃=〃+Z?+c+d・

(a+b)(c+d)(a+c)(b4-d)

2

P{K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：（1）因为男生人数为：120x—二=55,所以女生人数为120-55=65,

11+13

于是可完成2x2列联表，如下:

满意不满意总计

男生302555

女生501565

合计8040120

根据列联表中的数据，得到K2的观测值

人120x(30x15-25x5。)：幽。6.713〉6.635,

55x65x80x40143

所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关“

（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知J的可能取值为0』,2,3,并且J服

从超几何分布,尸（4=何=胃一化=。/，2,3），即

C35C2C'15

尸…)*喂%=D=管费,

「«=2)=卑=PC=3)=q=，

56Cl56

可得分布列为

竺+3」，

可得56568

19.（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线2/-2y2=l的焦点重合，点p（o,6）在

椭圆C上，动直线/：交椭圆于不同两点A,B,且0人-00=0（0为坐标原点）.

（1）求椭圆的方程；

（2）讨论7〃产-12产是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

解：（1）因为双曲线2/一2产=1的焦点为（1,0）,所以在椭圆C中。=1,

设椭圆C的方程为g+，^=l（a>0），

a2\）

由点P（0,6）在椭圆C上得滔—=1,解得〃2=40.=2,则8="^1=百，

所以椭圆C的方程为三+上=1

43

（2）7m2-12公为定值，理由如下:

设4（%,%）,3（%2，%），由函-0百=0可知XIZ+X%=°，

y=kx+m

联立方程组《%2)2=(3+4%2卜2+8神履+4疗—12=0,

---F--=1

143

由△=64Mz2—4(3+4kz)(4病_12)>0得加2<3+4左2,

8km4m2-12与

%%=------=------------，CD

123+4/123+4公

由玉马+/必=0及>=履+初得为毛+（例+加）（优+机）=0,

整理得（1+公）玉工2+初［（石+&）+〃22=0,

将①式代入上式可得（1+公）.-12-km-网"v+巾2=o,

,73+4/3+4公

同时乘以3+4公可化简得0+左）（4加2T2）-8-M+3M+4/〃*=0,

所以7.一12^=12,即7加一⑵2为定值

20.（本小题满分12分）

已知函数/。:）=炉+hx+c,且.f（x）W0的解集为［-1,2］.

（1）求函数/（X）的题目解析式;

(2)解关于x的不等式时(x)>2(x—m—l)(m2O)；

(3)设g(x)=2/")+3R若对于任意的演，X2H-2,1]都有卜&)一8(当人”，

求M的最小值.

解：(1)因为/(幻<0的解集为所以％2+反+。=0的根为—1，2,

所以一方=1,c=-2,即8=-1,c=-2；所以/(x)=x2—x—2；

(2)inf{x}>2{x-m-Y),化简有机(f一2)>2(x一1),整理

(/7tr-2)(x-l)>0,

所以当机=0时，不等式的解集为(一8,1),

当0<相<2时，不等式的解集为(—8,l)U[5,+8],

当机=2时，不等式的解集为(F/)U(l,+8)，

2

当机>2时，不等式的解集为(F,一)U(L+S)，

(3)因为xe[-2,l]时/(x)+3x—1=/+级—3,根据二次函数的图像性质，有

f(x)+3x-l=x2+2x-3e[-4,0],

则有g(x)=2""T=2，+2x-3,所以，g(x)w上,1,

因为对于任意的西,巧€[-2,1]都有|g(2)-g(x2)\<M,

即求lg(X1)-g(X2)lM“,f">转化为原初如一83肠.」《/，

而g(X)Mm=8⑴=1，g(X)Mi“=g(T)=J，所以，

lo

此时可得M>—,

16

15

所以"的最小值为16.

21.(本小题满分12分)

2r-1

已知f(x)=a(x-\nX)H....-

X

（1）讨论了（X）的单调性;

（2）当。=1时，证明/。）＞/'（幻+^对于任意的1£32］成立.

解：⑴蟠的定义域为他稠班

、a22(加—2)(1)

f(九)=Q-----7+―-

xxx

当蜥三蛹嘉宦阳驷娜寸，尸（幻＞0,.建成单调递增;

%£（1,+00）时,/（1）〈0,费磔单调递减.

当…时'小"等入+0（、$.

①电直锚F兽,

当版至蟆顾或三春礴时，/（%）＞0,y赚为单调递增;

当了£乳收：时，尸（x）vO,就嘘单调递减；

②蟒=甥时，区=筋在H麒能感呐，尸（幻之0,‘耀城单调递增;

VM

③蟒w翦时，顾，或Jf*：3,,

V僦

当屣蒯国或不£加啕时，/3＞。，,度瞬单调递增；

当了€子色,事时，尸（X）＜0,融鼎单调递减.

叫#'

综上所述，

当域三Ii时，函数■砥卷在燃意内单调递增，在nu他■内单调递减;

当助Y：猫Y延时，,群联在舞商内单调递增，在内单调递减，在押项内单调

递增；

当蝴=篝时，,耗墟在独#礴内单调递增；

当磔W兽，,箕廊在斜秒内单调递增，在《收》内单调递减，在®肃畸内单调递增.

(2)由(口)知，颌=?时，

,/a、,2x_1122312

(x)=x-lnx+---(1-----y+—r)=%-Inx+—+—7——r--l,