第三章 哥西定理

第三章哥西定理哥西积分(Gauchytheorem,Gauchyintegration)学习要求1理解复变函数积分的概念；了解复变函数积分的基本性质；掌握计算复变函数积分的一般方法。2理解哥西定理。3理解复合闭路定理和闭路变形原理，并能灵活应用。4掌握哥西积分公式和高阶导数公式；了解解析函数具有无穷可微性。5掌握综合利用上述定理和公式计算积分的方法。

考核知识点1.有向曲线的定义，正方向的规定。2.复变函数积分的定义、积分存在的条件。3.复变函数积分的一般计算方法。4.复变函数积分的基本性质。5.哥西定理。6.原函数的概念。7.哥西积分公式。8.解析函数的平均值公式。9.解析函数的高阶导数公式。10.综合利用上述定理和公式计算积分。

同微积分一样，在复变函数中，积分法也是研究复变函数性质十分重要的方法．在解决实际问题中也是有力的工具．本章先介绍复变函数积分的概念，性质和计算方法然后介绍关于解析函数积分的柯西－古萨基本定理及其推广，有了这些基础，我们建立柯西积分公式，最后证明解析函数的导数仍是解析函数，从而导出高阶导数公式有向曲线：平面上一条光滑曲线（或按段光滑曲线）可理解为带有方向的曲线．如果从A到B的方向定义为C的正向．则从B到A的方向就是C的负方向，记为规定：正方向总是指从起点到终点的方向§1复变积分的概念及其简单性质§3.1.1复变积分的定义及其计算方法围线:

分段光滑的简单闭曲线简称围线.当观察者绕围线环行时,如果围线内部在观察者的左手方,就规定这个环行方向为围线的正向,反之就叫负向.正围线负围线其中当分点增多,而这些弧段长度的最大值趋于0时,如果和数Sn的极限存在(与弧段的分法及的选取均无关),则称f(z)沿C可积,而称Sn的极限为f(z)沿C的积分,C为积分路径,记为一、复变积分的定义:

设C是一条以z0为始点,z´为终点的有向曲线,函数f(z)在C上有定义.顺着C的正向依次取把曲线分成若干个弧段,在从zk-1到zk的每一弧段上任取一点,作求和分割求和求极限二、复变函数积分的存在条件及计算方法一个复变函数积分即是两个实变线积分的有序组合.因此，实积分存在，则存在.三、复变函数积分的性质(1)若沿可积，且由L1和L2连接而成，则(2)常数因子k可以提到积分号外，即(3)函数和(差)的积分等于各函数积分的和(差),即(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即为的负向曲线．(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即这里表示弧长的微分，即(6)积分估值定理若沿曲线，连续,且在上满足，则其中为曲线的长度．三、复变函数积分的性质

例1.

试证

证设C的方程为当且为整数时,这时C表示以a为中心ρ为半径的圆周.

例2.计算积分,其中积分路径C如图所示:(ⅰ)C为连结O点到1+i点的直线段.(ⅱ)C为连结O点到1点再到1+i点的折线.xy01解

(ⅰ)的情形C可表为(ⅱ)的情形可将C分为两段,即oxy例3解例4计算，其中C为从原点到点3+4i的直线段．解

直线的方程可写成则于是根据高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以的值不论是怎样的曲线都等于，这说明此函数的积分值与积分路径无关．由注．§3.2哥西积分定理及其推广提示复变Cauchy定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系，与涉及的区域有关。区别两种区域：单连通区域：在区域中作任何简单闭合围道，围道内的点都属于该区域。复连通区域，或称多连通区域。一、单连通区域上的Cauchy定理

1851年，黎曼在附加假设“在D内连续”的条件下，得到一个如下的简单证明．黎曼证明且满足C—R方程：由格林公式：定理又称为柯西－古萨特定理.内连续”的假设，发表上述定理新的证明方法．因此，1900年,法国数学家古萨（Goursat）免去“在D

解析函数在单连通域内的积分与路线无关．由定理得即：如图，则关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域Ｄ的边界,(2)如果曲线C是区域Ｄ的边界,定理仍成立.

哥西也是有史以来最伟大的数学家之一，他与同时代的高斯被公认是当时精通所有数学的最后两位大师，不像高斯，他发表无数的论文，在789篇作品中，内容涵盖光学、电学、微分方程、力学、行列式论、排列群以及机率学。他也是复变量函数理论的创始者。此外他也写过三本有关分析的传统教科书，这几本书的编写非常严谨，其立论的准则仍为近代数学所尊为圭臬。在代数方面，哥西最为人称道的是他最先将他早年所研究的排列理论用代数的方法加以具体化，以建立了排列群的正式学说。也由于他的创见，引导后来的Cayley（在1854）建立抽象群的近世概念。哥西出生在巴黎，他曾参加拿破仑的工兵部队，退役后专心从事数学的研究，26岁时他就已经是法国有名的Ecole理工学院的一名教授，不久他马上就建立了法国最具知名的头衔，他很喜欢教书，不吝提携后进。我们现在仍然沿用的极限与连续记号是他首创的，另外一方面，他同时也是一位虔诚的天主教徒，在68岁那年他突然弃世，留给后人无限的哀思。

思考：分析：在l内有二奇点，无法用Cauchy定理。由柯西积分定理，1.变上限的积分:解析函数在单连通域内的积分与路线无关．则§3.2.2.不定积分2、定理一3、原函数之间的关系:它就有无穷多个原函数,那么其全体原函数可表示为4、定理二(复积分的Newton-Leibnitz公式)例解例解例使用:“分部积分法”课堂练习答案解§3.2.3.哥西积分定理推广到复围线的情形

考虑n+1条围线其中中每一条都在其余各条的外部,而它们又全都在C0的内部.在C0内部同时又在外部的区域,构成一个复连通区域D,其边界是一条复围线,它包括取反时针方向的C0以及取顺时针方向的,即观察者沿C绕行时,区域D总在它的左边.复连通区域上的Cauchy定理设D是由C0,C1,C2,…,Cn围成的多连通区域，函数f(z)在D内解析，在上连续，则有定理:设D是由复围线所围成的复连通区域,f(z)在上解析,则有或写成

证取n+1条互不相交的全在上的辅助线用它们顺次地连结

(右图),分D成两个单连通区域D1,D2,其边界为由定理3.1得把这两个等式相加,并注意到沿着辅助曲线的积分正好沿不同的方向各取一次,在相加的过程中互相抵消,于是得到改写成将上面等式左端后面的n项移到等式右端即得所证.L3C0L0C2L2L1其中：a为围线内一点例3当且为整数时,当n=1时,

证设C的方程为

L计算积分CZ=-1Z=1例4又最后得到同理在圆|z|<2内,函数除外均为解析.今以为中心以1/2为半径作两个圆周C1,C2,则复通区域的境界线为解柯西定理所阐述的问题Cauchy定理的积分意义对于某个闭单通区域或闭复通区域上的解析函数,只要积分的起点和终点固定不变，当积分路径连续变形(即不跳过“孔”)时,函数的路积分值不变，即积分与路径无关.闭复通区域上的解析函数沿所有境界线的正方向积分为零;闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零.路积分与积分路径的关系附沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和.小结与思考1.通过本课学习,重点掌握柯西积分定理:并注意定理成立的条件.常用结论:2.本课介绍了原函数、的定义以及牛顿—莱布尼兹公式.在学习中应注意与《高等数学》中相关内容相结合,更好的理解本课内容.1.应用柯西–古萨定理应注意什么?思考题思考题答案1.应用柯西–古萨定理应注意什么?(1)注意定理的条件“单连通域内处处解析”.(2)注意定理的不能反过来用.设为一单连通区域，为内一点，则虽然在内解析，但在内不解析，所以积分但由闭路变形原理，此积分的值沿任何一条围绕的简单闭曲线都是相同的第三节哥西积分公式及其推广现在来求这个积分的值，取以为心，半径为的很小的周围，由于的连续性，在上的函数的值将随着的缩小而逐渐接近于它在圆心处的值，从而有第三节哥西积分公式及其推广定理3.3.1哥西积分公式这就是哥西积分公式,右边的式子叫哥西积分.定理:

设区域D的边界是围线C,f(z)在上解析,则Cz作为的函数在D上除z点以外均解析.今以z点为心和充分小的这半径作圆周,使及其内部均含在D内(右图).对于复围线及函数应用定理得证任意固定,则上式右端表明的半径无关,因此我们只要证明注意到f(z)与积分变量无关,而于是有(3.11)就够了.(3.12)根据的连续性,对于任意,只要充分小,就有利用积分的估计式知(3.12)式右端不超过于是证明了(3.11)式.定理证完

哥西积分公式可以改写成例7.

设C为圆周

,则按上式这个公式表明:对于在某界闭域上解析的函数,它在区域内一点的值可用它在边界上的值表示出来.这是解析函数的一个基本性质.借用此公式可以计算某些围道积分.例：求下列积分（沿圆周正向）的值

§3.3.2.解析函数的无限次可微性解:

I例8.

计算,其中C是由|z|=a(>1)确定的区域.

定理:

在定理3.4的条件下,函数f(z)在区域D上有各阶导数定理：解析函数的导数仍为解析函数其阶导数为：其中c为的解析区域Ｄ内围绕的任何一条正向简单闭曲线，它的内部全含于Ｄ此定理作用：不是通过积分来求导数，而是通过导数来求积分

§3.3.2.解析函数的无限次可微性§3.3.3.模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理

在公式(3.8)中,令为一闭圆,z为圆心,并设则得这个公式表明,f(z)在圆心之值等于它在圆周上的算术平均值,这就是所谓平均值定理.利用平均值定理,可以建立起解析函数理论中一个非常重要的原理:

模的最大值原理.

若f(z)在闭区域解析,且不为常数,则只能在边界上达到最大值.事实上,由(3.15)式,即得其中M(r)为f(z)在上的最大值哥西不等式.

f(z)