2021年中考数学复一轮复习：图形的相似 易错题专项练习题（含答案）

2021年中考数学复一轮复习：图形的相似易错题专项练习题

1.如果a=b那么么的值为（）

a+bb+cc+a

A.-1B.AC.2或-1D.蝮-1

22

2.若》=」_=工=_^,则x等于（）

b+ca+ca+b

A.-1或上B.-1C.AD.不能确定

22

3.已知a,b,c为△ABC的三边，且2a=2b=2c=卜,则上的值为（）

b+ca+ca+b

A.1B.康-1C.-2D.1或-2

2

4.如图，四条线段的长分别为9,5,x、1（其中x为正实数），用它们拼成两个相似的直

角三角形，且AB与8是其中的两条线段，则x可取值的个数为（）

C.6个D.9个

5.如图，点。、E分别在AABC的边A3、AC上，下列条件中能够判定OE〃BC的是（）

AAD-DEBAP—AE「BD—CEnAD=AB

'ABBC-BDAC,AB-AE,AEAC

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6.直线。E交4ABC中的A8于。点，交AC于E点，那么能推出£>E〃BC的条件是（）

AD,2DE,2B.DB1AC3

AB3，BC3AD2，AE2

AD,2EC,3D.酗,4AE,4

DB3，AC4AD3，EC3

7.我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1：1000万的地图上的面积约是（）

A.960平方千米B.960平方米

C.960平方分米D.960平方厘米

8.在一张比例尺为1：50000的地图上，一块多边形地区的面积是320C〃?2,这个地区的实

际面积是（）

102H2

A.8X107%2B.8X108nz2C.8X10mD.8X10n7

9.如图，在△ABC中，NB=80°,ZC=40°,直线/平行于BC.现将直线/绕点A逆

时针旋转，所得直线分别交边A8和AC于点M、N,若AAMN与△ABC相似，则旋转角

为（）

A.20°B.40°C.60°D.80°

10.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是

3、4及x,那么x的值（）

A.只有一个B.可以有2个C.可以有3个D.无数个

11.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,AD<BC,NABC=90°,且AB=3,点E是边

AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，则AE=（）

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D

CD.3或1

招2

12.如图，已知像这样由7个全等的正六边形组成的图形叫做“二环蜂窝”，每个正六边形

的顶点叫做格点，顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形.已知△A8C为该二环蜂窝

一个格点三角形，则在该二环蜂窝中，以点4为顶点且与△48C相似（包括全等但不与

△ABC重合）的格点三角形最多能作的个数为（）

A.18B.23C.25D.31

13.若（ZWO）,则y=&+/-2一定经过第象限.

cab

14.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.a

知△ABC是比例三角形，A8=2,BC=3,则4c的长为.

15.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图，若舞台

A3长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得

体？（结果精确到0.1米）.

0

A~B

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16.ZVIBC中，AB=6,AC=9,点P是直线A8上一点，且AP=2,过点P作BC边的平

行线，交直线AC于点M,则MC的长为.

17.在1X3的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边与大

矩形的一条边平行.

(I)如图①放置时，两个小矩形周长和(两个小矩形重叠的边要重复计算)为.

(II)怎样放置才能使两个小矩形周长和最大？在图②中画出图形,其最大值为.

图①图②

18.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆''，点A,B,C,

。分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为尸储-3x-8,A8为半圆的直

径，点M为半圆的圆心，点P为x轴正半轴上的一点，若LCOPsACPD,则点尸的坐

标是.

19.如图，等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点尸是边BC上不与点B,C重合的一个

动点，直线QE垂直平分BF,垂足为D当△ACF是直角三角形时，8。的长为.

20.如图，在正方形48CD中，点G在边BC上(不与点8,C重合)，连接AG,作。E_L

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AG于点E,BF1AG于点F,设a=上设线段AG与对角线BD交于点H,△AHQ和

BC

S

四边形CDHG的面积分别为&和S2,求一&9的最大值是

21.如图，小明把小球竖直向上抛起，当小球到达最高点时球的最高点正好处于距离屋顶白

炽灯10C7W的位置，且灯与球心所在直线垂直于地面，这时小球在地面的影子的面积为

1.92-ir/n2.已知I,灯与地面的距离为2.4〃?，小球的半径为cm.

22.如图，线段A3端点8的坐标分别为8(8,2),以原点O为位似中心，在第一象限内

将线段AB缩小为原来的上后得到线段CD,则端点D的坐标为.

2

23.已知三=2,求的值.

y3x+2y

24.已知：线段a、b、c,且3=»=£•.

234

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(1)求史主的值.

b

(2)如线段〃、b、c满足〃+b+c=27,求〃-b+c的值.

25.材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：

“如图月DC3,点c把线段AB分成两条线段AC和BC,如果至=坨,

ABAC

那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，22=近二叫做黄

AB2

金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD,

满足照=殁，所以点。也是线段AB的黄金分割点.

ABBD

材料二：对于实数：。1<。2<"3<a4，如果满足(的-“I)2=(。4-。3)(。4

52)J-«1)(。4-41)则称。3为。1，44的黄金数，“2为。1，"4的白银数.

请根据以上材料，回答下列问题

(1)如图月DC8,若AB=4,点C和点。是线段A8的黄金分割点，

贝|JAC=,CD=.

(2)实数0<a<b<l,且〃为0,1的黄金数，a为0,1的白银数，求b-a的值.

(3)实数f=2因，m,〃分别为晨f的黄金数和白银数，求典的值.

n

26.如图，在四边形A8CD中，AD//BC,3A和CD的延长线交于尸，AC和8。交于点O,

连接P。并延长分别交A。、BC于M、N.求证：AM=DM.

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27.已知矩形ABC。中，AD=3,AB=\.

(1)若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABC。相似.求

AF-.A。的值：

(2)若在矩形ABCD内不重叠地放两个长是宽的3倍的小长方形，且每个小长方形的每

条边与矩形ABCQ的边平行，求这两个小长方形周长和的最大值.

28.已知，如图，△ABC中，AC=4、2c=3、AB=5.若△ABCs^A'B'C，且A'B'

=15.求aA'B'C的周长及/C'的度数.

29.如图，在△ABC中，AB=8cvn,BC=16cm,动点尸从点4开始沿AB边运动，速度为

2cm!s-,动点。从点B开始沿8c边运动，速度为4cw/s；如果P、。两动点同时运动，

那么何时△QBP与△A8C相似？

30.如图，四边形A8C£＞是的圆内接四边形，OE〃AC交8c的延长线于点E.

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(1)求证：AB・DE=BD,DC；

（2）如果AO=C£>,求证：OE为OO的切线.

31.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞.小

聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是，两人在灯

下沿直线N。移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影

长AO恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影

长8E恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地而专铺成，小聪的身高

AC为1.6米，MNLNQ,AC±NQ,BELNQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的

长.（结果精确到0.01米）

32.如图是一个3X8的网格图，每个小正方形的边长均为1,三个顶点都在小正方形的顶

点上的三角形叫做格点三角形，图中格点AABC的三边长分别为血,2、氏,请在网

格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△4BC相似的格点三角形

的最大面积.

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月c

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参考答案

I.解：当a+6+crO时，根据比例的等比性质得到：一出也一=a+b+c=l=jt.

a+b+b+c+c+a2(a+b+c)2

当〃+Z?+c=O时,a+b=-c,Z=—2—=_£_=-1.

a+b-c

因而上的值是」-1.

2

故选：D.

2.解：2尸-g-=-^-=c,

b+ca+ca+b

/.当a+b+c^O时，x=—可比+。_=工；

2(a+b+c)2

当a+h+c=O时，x=a，=-3-=-1,

b+c-a

故选：A.

3.解：根据题意有:2a—k(l+c),2b=k(q+c),2c=k(〃+b),

.*.2(a+h+c)=2k(〃+〃+c),

•・Z、b、c,为△ABC的三边，

〃+什c#0,

"=L

故选:A.

4.解：过3作3E〃CQ交AO的延长线于

根据题意得：BE=CD,DE=BC,ZE=90°,

：.AB2=(AD+DE)2+B£2=(AQ+BC)2+CZ)2,

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VZADC=ZC=90°,

...AB是最长边，长为9或x,

若AB=x,CD—9,则x=4117=3百§；

若AB—x>CD=5t则x="\j125=5^/"^；

若AB=x,CD=1,则x=N197；

若AB=9,CD—x,贝iJx=J^=3遥;

若AB=9,CD=5,则x=U81-25-l=2g-1：

若AB=9,CD—l,则x=Y8]_]-5=4代_5.

5.解：A.由包二堕，不能得到。E〃8C,故本选项不合题意;

ABBC

B.由坦=也，不能得至iJOE〃BC,故本选项不合题意;

BDAC

C.由毁=生，不能得到DE〃BC,故本选项不合题意;

ABAE

D.由他=&殳，能得到OE〃BC,故本选项符合题意;

AEAC

故选：D.

6.解：A.由地上些=2不能得到对应线段成比例，即不能推出DE//BC,不合题意;

AB3BC3

B.由理工，空■=3可得到对应线段成比例，即可推出。E〃8C,符合题意;

AD2AE2

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C.由m=2,或用不能得到对应线段成比例，即不能推出QE〃BC,不合题意;

DB3AC4

D.由坐=鱼，胆=4不能得到对应线段成比例，即不能推出。E〃3C,不合题意;

AD3EC3

故选：B.

7.解：960万平方千米=9.6X1（）16平方厘米，

设画在地图上的面积约为x平方厘米，则

x：9.6X1016=（1：1000万）2,

解得x=960.

则画在地图上的面积约为960平方厘米.

故选：D.

8.解：设这个地区的实际面积是xc»?2,由题意得，

320：x=（1：50000）2,

解得，x=8X10”，

11272

8X10CTO=8X10,

故选：A.

9.解：如图，直线/绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边A8和AC于点M、N,

若△AMNsaACB,则NAMN=NC=40°,

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又•.•直线/平行于BC,

.,.NA£>E=NB=80°,

AZDFM=AADE-ZAMN=SO0-40°=40°,

即直线/旋转前后的夹角为40°,

...旋转角为40。，

故选:B.

10.解：•••一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形的边长

分别是3和4及x,

.••X可能是斜边或4是斜边，

.'.x=5或夜.

.•.X的值可以有2个.

故选：B.

11.解：分两种情况：

①当NCEQ=90°时，如图1,

过E作EFLCD^F,

AD

旦

B图］C

■:AD//BC,AD<BC,

与CQ不平行，

...当△AOE、△BCE、△COE两两相似时，

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ZBEC=ZCDE=/ADE,

VZA=ZB=ZCED=90°,

・・.NBCE=/DCE,

:・AE=EF,EF=BE,

:.AE=BE=1AB=^

22

②当NCDE=90°时，如图2,

•・•当△AOE、△BCE、△0£)£：两两相似时，

；・NCEB=NCED=NAED=60°,

・・・NBCE=NDCE=30°,

VZA=ZB=90°,

:・BE=ED=2AE,

VA^=3,

：.AE=lf

综上，AE的值为2或1；

2

故选：D.

12.解：:7个全等的正六边形，

J△ABC三个内角分别为30°,60°,90°,

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①如图1,与△ABC全等时，在正六边形ACEFG”中，

以AF为斜边的有4个：△AFG,△AFH,/XAFE,△AFZ）,

以DG为斜边的有△ADG,以EH为斜边的有△AE”,

同理另外以点A为顶点的两个正六边形各有6个全等的三角形，去掉△ABC本身，所以

一共有17个三角形，

②如图2,与△ABC相似的，以44为斜边的有4个，以AO为斜边的有4个，

以为斜边的有△A8C,以82,为斜边的有△A83,以077为斜边的有△4H。，以EH

为斜边的有△/!£：〃，以FG为斜边的有△AFG,以0G为斜边的有△0AG,所以一•共有

14个，

综上所述，以点A为顶点且与△ABC相似（包括全等但不与aABC重合）的格点三角形

最多能作的个数为：17+14=31（个）；

故选：D.

B'

A'

得％=2(a+b+c)

13.解：根据比例的等比性质,

a+b+c

当a+匕+c#0时，k=2,

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•••直线解析式是y=2x,

图象经过一、三象限.

当a+b+c=O时，a+b=-c,

“=也=工=-1,

CC

...直线解析式是y=-X-3,

图象经过二、三、四象限.

综上所述，直线一定经过第三象限，

故答案为：三.

14.解：•.'△ABC是比例三角形，且AB=2,BC=3,

①当4B2=8C»C时，得：4=34C,

解得：AC=^；

3

②当8c时，得：9=2AC,

解得：/1C=—；

2

③当AC^uAB^BC时，得：AC2=6,

解得：AC=V6(负值已舍去)；

.•.当河t,ZVIBC是比例三角形.

32

故答案为：或船企.

32

15.解：根据黄金比得：20x(1-0.618)*7.6米,

•••黄金分割点有2个，

.,.20-7.6=12,4,

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由于7.6C12.4米

...主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体.

故答案为：7.6米.

16.解：如图1,当点尸在边AB上时，

,：AB=6,AC=9,AP=2,

：.BP=AB-AP=6-2=4,

••..B.P”=.C.M,

ABAC

BP：里9，

69

；.CM=6；

如图2,当点尸在边A8的延长线上时,

：AB=6,AC=9,AP=2,

，BP=AB+AP=6+2=8,

■:PM//BC,

•BPCM

••——~9

ABAC

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即：旦旦，

69

：.CM=\2；

，CM的长为6或12.

故答案为：6或12.

17.解：(I)设小矩形的宽为x,

•••小矩形与大矩形相似，

•_x_=_l_

解得x=工，

3

所以，两个小矩形周长和=2X2(1+1)=11；

33

(II)

两个矩形的放置方式情况有如下几种:

①两个小矩形都“竖放”，在这种放法下，周长和最大的两个小矩形边长分别为1和工,

3

周长和的最大值为」旦；

3

②两个小矩形都“横放”,

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(10

3(1-。)

(K

这时两个小矩形的周长和的最大值为:

2(a+3a)+2[1-a+3(1-a)]=8a+2(1-a+3-3a)=8a+8-8a=8；

③两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，这时两个小矩形的周长和为:

2(a+3a)+2(3-a+3-a)=8a+6-2“+2-&=8+侬,

333

因为0<3a〈l,即OCaWL,

3

故当”=工寸，此时两个小矩形的周长和最大为8+----女=毁.

339

故答案为：旭；骂.

39

18.解：如图所示，连接CM,

令y=0,贝-3x-8=0,

2

解得刁=-2,12=8,

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：.A0=2f3。=8,

：.AB=\OfCM=5,0M=3,

•••氐△COM中，OC=4,

令x=0,则y=-8,

・•・00=8,

若△COPs^CPD,则NCOP=NCP£>=90°,

又〈OPLCD,

:.OP2=COXOD,

即0P=#4X8=4&,

又：点P为x轴正半轴上的一点，

.♦.点P的坐标为（4加,0）,

故答案为：（4&,0）.

19.解：（1）当/AFC=90°时，AF±BC,

：AB=AC,

：.BF=lj3C：.BF=4

2

•••OE垂直平分BE

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VBC=8

:.BD=LBF=2.

2

（2）当NCAF=90°时，过点A作AMLBC于点M,

'：AB=AC

:.BM=CM

在RtZ\AMC与RtZXEAC中，ZAMC=ZFAC=90°,ZC=ZC,

：.XMACs△fkC,

•AC=MC

,♦而AC

：.FC=^2

MC

"."AC—5,MC—^-BC—A

2

：.FC=^-

4

：.BF=BC-FC=8-空=工

44

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故答案为：2或工.

8

20.解：如图,

设正方形的边长为1,

连接8。交AG于H,过“作MN_LBC交于M,BC于N,

设HN=h,HM=h',

：.h+h'^l,

♦.坐=大，

BC

：.BG=k,-^—=^-=k,

h'AD

S2=XBCXCD-Lxh=工-Lh,

2222

Sx^lADXh'^lji',

22

kh

.S2J4

,"s7i,/

17h

=1_kh

丁丁

=h+h'_kh

-h7―丁

=h+[-hXk

h，h，

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=-（A：-A）2+A,

24

.•/=2时，包的最大值为互.

2sl4

21.解：如图，•.•灯与球心所在直线垂直于地面，

J.ACLBC,

：小球在地面的影子的面积为1.92m/,

如，

解得BC=-1代，

根据勾股定理，AB—dAC2+BC2="y2~42+1_92

•.•光线48与球相切，

：.OD±AB,

.•./A£>O=N4CB=90°,

又,.•NBAC=/OA£>,

：./\ABC^^\AOD,

♦BC=AB,

**0D而，

ODOD+IO

解得OD=10cm.

故答案为：10.

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22.解：\•线段A8端点B的坐标分别为8(8,2),以原点。为位似中心，在第一象限内

将线段AB缩小为原来的上后得到线段CD,

2

端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，

••・端点。的坐标为:(4,1).故答案为：(4,1).

24.解：(1)VA=k,

23

.曳=2,

,••-a--+--b-———5；

b3

(2)设包=且=£=左，则a=2k,b=3k,c=4k,

234

•.•。+6+。=27,

・・・2攵+3攵+4攵=27,

：.k=3,

.••4=6,b=9,c=12,

:・a-b+c=6-9+12=9.

25.解：(I)・・・A8=4,点C和点。是线段A8的黄金分割点,

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：.AC=BD=J^~-AB=2/lzlx4-2J5-2,

22

；.DC=AC+BD-AB=2(2疾-2)-4=4遥-8；

故答案为：2。"^-2,4。^-8；

(2)•••/>为0,1的黄金数，且实数0<6<1,

(*-0)2=(1-/,)(1-0),

b2+h-1=0,

&1=-1-75<0(舍)，fc2=-lW5>0)

22

为0,1的白银数，且实数

(1-4)2=(4-0)(1-0),

d~-3。+1=0,

+y

ai=?l3.>l(舍)，/=，_«.<］，

22

:.b-a=T+娓-丝叵=娟-2；

22

(3)-：m,〃分别为&,f的黄金数和白银数,实数后

.(nrk)2=(t-m)(t-k)①

、(t-n)2二(n-k)(t-k)②

分两种情况：

i)当左20时，t=2kf

由①得：(m-%)2=(2k-m)(2k-k),

m2-km-k2=0,

=1±

2

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由②得：(2k-n)2=(n-D(2k-k),

n-5k〃+5铲=0,

2

k<n<m<t9

.•.〃?=1/k,〃=5-娓k

22

I-H/5__

...jn_2_1-H/5_5+3^5.

n5~A/5,5-V^10

n)当&V0时，t=-2k,

由①得：(m-k)2=(-2k-m)Q-2k-k),

m-5km-5产=0,

m-.5...±..3、V°k5；t

2

由②得：(-2k-n)2="k)(-2k-k),

n2+lkn+l^=0,

尸二7±3&>0,

2

k<n<m<t,

・••心0,

"=5-狙,n=-7+3辰k,

22

5-375__

•jn=___2____=5_3^/^=5+3*/^.

n-7+3泥-7+3A/52'

2

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综上，处的值是笆运或笆匹.

n102

26.证明：'：AD//BC,

AAM=AO；

•.而co'

"."AD//BC,

...AO=AD=PD=MD,

^OCBCPCNC'

•AM=MD

"NC而，

：.AM=MD.

27.解：(1)设AF=x,

:矩形A8EF与矩形ABC。相似，AO=3,AB=1,

.•.姻_=竺，即工=三，解得*=工，

ADCD313

：.AF：AD=1.：3=1：9；

3

（2）解：两个小矩形的放置情况有如下几种:

①两个小矩形都“竖放”，如图（一），在这种放法下，周长和最大的两个小矩形，边长

分别为1和1,

3

故此时周长和的最大值为些.

3

3

(―)

②两个小矩形都“横放”，如图（二）及图（三）所示，这时两个小矩形的周长和的最大

值是

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2(〃+3〃)+2[1-a+3(1-a)]=8.

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