高数课后习题难点345章

第三章

1不用求出函数F(X)=(AD(A2)(X-3)(X-4)的导数，说明方程f，(x)=0有儿

个实根，并指出它们所在的区间.

解由于F3在［1,2］上连续，在(1,2)内可导，且f⑴=f(2)=0,所以由罗

尔定理可知，存在。w(l,2),使/©)=0.同理存在哉e(2,3),使尸(6=0;存

在家(3,4),使f，(约=0.显然品费、编都是方程f'(1=0的根.注意到方

程f«x)=0是三次方程，它至多能有三个实根，现已发现它的三个实根，故它们

也就是方程/''(x)=0的全部根.

2设a>b>0,n>\,证明：

〃/尸(a-6)<a"-b"<〃aj(a-。).

证明设/U)=x",则/V)在",a］上连续，在(&a)内可导，由拉格朗日中值

定理，存在生(仇a),使

f{a)-M=f'(。)(a-力，即i(a-6).

因为n『(a-6)<n40-1(a-6)<n，(a-6),

所以〃/尸(a-6)nar,~l(a-Z?).

3证明下列不等式：

⑵当x>l时，e>e-x.

(2)设f(x)=e；则/'(x)在区间［l,x］上连续，在区间(l,x)内可导，由拉格朗日中

值定理，存在白(1,才)，使

/(^)-/(1)=/*(T-1),即e-e=^(矛一1).

因为百>1,所以

e-e=e^(Al)〉e(Al),即e>e-x.

4.证明方程f+x-1=0只有一个正根.

证明设/'(才)=炉+矛-1,则f(x)是［0,+8)内的连续函数.

因为y(0)=-i,*1)=1,r(0)AD<0,所以函数在(o,D内至少有一个零点,

即Ax-i=o至少有一个正根.

假如方程至少有两个正根，则由罗尔定理，f'(X)存在零点，但f

«x)=5f+lM,矛盾.这说明方程只能有一个正根.

5.设f(x)、g(x)在［a,8］上连续，在(a,6)内可导，证明在(a,力)内有一点£

使

/(«)于出)=(b-a"W

g⑷g(b)tJg(a)g@,

解设夕(x)=H/%则夕(x)在[a,8]上连续,在36)内可导,由拉格朗

g(a)g(x)"

日中值定理，存在亚(a,b),使

双力一夕(2)="(9(Z>-a),

即f(a)/例」/3)/3)-』UW/(d.!/(«)八明

g(a)g(b)||g(a)g(a)[|[g(。)]'g(占)|卜3)g‘鬲|」.

因此f(a)f(h),f(a)/'(J

因此g(“)g(b)-(j)g(a)g,(〃

6.证明：若函数.F(x)在(-叫+oo)内满足关系式f6x)=F(x),且A0)=l则

f(x)=e".

证明令e(x)=1^,则在(-8,+oo)内有

ex

..)=—)—一/a%、=/(x)"—/(x)〃二0

e2xe2x

所以在(-8,+8)内9(X)为常数.

因此°(x)=0(O)=l,从而/'(x)=e*.

7.设函数产/U)在m0的某邻域内具有n阶导数，且/•(())=「(0)=•••=f

""(0)=0,试用柯西中值定理证明：

3=5(0<6kl).

xnn\

证明根据柯西中值定理

3=叫@=甯(。介于0与，之间),

xnx-0啕t

r砥)打%-尸⑼r'&)

(。介于0与刍之间),

f"&)/"©2)-/”(0)广6)

(。介于0与。之

n(n-l)^-2〃(“_1)基-20"-2-1)(/7-2)町7

间)，

依次下去可得

产1•1).严尸1)(0)/⑺(幻仁介于0与

〃(〃一1)・・・2・4_]〃(〃-1)・..2刍_[_〃(〃_1)・・・2.0n\~

之间)，

所以回呼.

xn几!

由于,可以表示为多=，X(0<41),所以华=匕"(0<&1).

xnn\

8求limm(l+x)

Dsecx-cosx

1.ln(l+x2)cosxln(l+x2)x2

lim——-----=lim---------——-=limr---------z—

Dsecx-cosxiol-coszxlOl-COS’X

=lim----^7~：—-=lim—=1.

“fo-2cosx(-sinx)文->°sinx

(注：cos^ln(l+/)x)

9应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差:

(1)V30；

(2)sinl8°.

解(1)设/(%)=我，则Ax)在m=27点展开成三阶泰勒公式为

।_2।5

-_2

y(x)=^=V27+4-273(x-27)+4-.(-f273)(x_27)

3Z!7

-34

+1-(^-273)(X-27)+1.(-^^)(X-27)6介于27与x之间).

J!Z/4!o1

于是胸=啰+427-•3+4•(—.(兴.274>33

32).93!2/

划+/-/+品。3.10724,

其误差为

45

展(30)呜.(-*号时七.翳27省-3=^T=1.88X10-.

(2)已知

sinx=x—4x3+（J介于0与*之间），

所以sin18』i端端-女（寺3。0.3090,

其误差为

,•7T_

展借）日零（岩尸|＜苧（%）4=2.03x10-4

10.利用泰勒公式求下列极限：

(1)lim(Vx3+3x2-Vx4-2x3);

Xf+<»

X2

cosx-e2

⑵lim,,

iox2[x+ln(l-x)]

l+!-2-Jl+%2

(3)lim——2--------------

zo(cosx-e，)sinxz

解⑴lim(牛]3+3X2一一工4_2]3)=iim\-11111

Xf+8x―+001T+0t

X

因为的+3f=l+f+o(f),加一2=l-；f+o(f),所以

------------履--------口+/+。(/)]-口-如。()

lim(Vx3+3x234—2r)=lim------------------2--------

Xf+00Z->+0t㈣耳竽$

[l-^2+^x4+o(x4)]-[l-lx2+1-1x4+o(x4)]

=!嗝T

⑵ash)]x3[l+ln(l-x)^]

1x।。(却

=lin/次’工=3=。.

XTO11+6-1

l+ln(l-x)v

⑶Hm14Glim1+旷-呜，犷+。2]

-o(cosx-e巧sinx?A^°[(l-lx2+^x4+o(x4))-(l+x2+^x4+o(x4))]x2

蓊+o(x，3JQ4)3

=lim--——^-r-：-----------=lim4!V=JL=—J_

4-

xf0j411A.9/4x311.oU)_3_12'

-2X24x+x)r2

224x22

11利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：

(1)+(A>0,Z>0,胖匕/7>1);

rvx+y

⑵/_〉e丁(x»)；

(3)xlnx+ylny〉(x+y)ln*；)(x>0,y>0,胖力.

证明(1)设/U)=/，则fO=A尸,f"(t)=n(n-l)t"-2.因为当i>0时,f

〃⑺〉0,所以曲线/U)=〃在区间(0,+oo)内是凹的.由定义，对任意的A>0,J>0,

“处有

J/(x)+/(y)]>/(竽，

即l(x«+/)>(I|Zr.

⑵设则/'，1)=3,/•〃")=/.因为/>〃⑺>0,所以曲线fU)=e'

在(-8,+oo)内是凹的.由定义，对任意的x,ye(-00,+oo),胖y有

31/(x)+/(y)]>/(岁)，

即T〉e等(“y).

⑶设/U)=blnt,则/1,(t)=lnt+1,/"«)=：.

因为当>0时，fn(i)>0,所以函数F(t)=tInt的图形在(0,+8)内是凹

的.由定义，对任意的A>0,»0,胖y有

即xlnx+ylny>(x+y)ln.

12设户/U)在mx°的某邻域内具有三阶连续导数，如果/'〃(即)=0,而尸〃(苞)工0,

试问(题F(x。))是否为拐点？为什么？

解不妨设二''(m)>0.由尸〃(x)的连续性，存在照的某一邻域(吊-育荀+黝，

在此邻域内有F'''(x)>0.由拉格朗日中值定理，有

f"(才)一，"(Xo)=f'''(,(X—荀)(J介于Xo与X之间)，

即F〃(*)=，'〃(J)(矛—向).

因为当Xo-&X<Xo时，f"(T)<0；当xtt<x<xn+S时，f"(x)>0,所以(孙f(荀))

是拐点.

13选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：

设在［0,1］上/3>0,则尸(0),尸(1),川)与0)或，0)T⑴几个数的大小顺序为

().

(A犷⑴k'(o)/i)do)；⑻r⑴决i)do)>r(o)；

(Q/U),0)k'⑴k'(0);(0T⑴次0)dDk'(0)・

解选择6.

提示：因为尸(x)>0,所以广(x)在［0,1］上单调增加，从而广⑴寸(戏叶(0).

又由拉格朗日中值定理，有人1)/0)寸，©,生［0,1］,所以

广⑴>川厅(0)才'(0).

14列举一个函数/(x)满足：/U)在&/上连续，在他力)内除某一点外处处可导，但

在(a,。)内不存在点使加)力(4)叶©(人a).

解取於)=lxl,xw［-l,1］.

易知於)在［-1,1］上连续,且当x>0时尸(x)=l;当第>0时，/(x)=—l;1(0)不存

在，即“r)在［-1,1］上除x=0外处处可导.

注意网)4H)=0,所以要使川)TiTH'©(l-(-D)成立，即广(J=0,是不可

能的.

因此在(-1,1)内不存在点〈，使yu)d-i)4'©(i-(T)).

15设段)、g(x)都是可导函数，且I/(x)l<g，(x),证明：当x>a时,Hx)V(a)l<g(x)-g(a).

证明由条件广(x)l<g<x)得知，|倦卜1,且有g，(x)>0,g(x)是单调增加的，当

x>a时，

g(x)>g(a).

因为/(%)、g(©都是可导函数，所以/(x)、g(x)在［a,x］上连续，在(a,x)内可

导，根据柯西中值定理，至少存在一点兵(a,x),使/⑸四.

gCr)-g⑷g⑹

因此，军1曰=陪卜,\f(x)-f(a)\<g(x)—g(«).

g(x)-g(a)|g©|

16求数列｛后｝的最大项.

解令/(x)=V7=x*(x>0),贝U

In/(x)=—Inx,

x

•7^7•/(x)=-4-Vlnx=A(l-lnx),

/(x)x2/x2

--2

f'[x)=xx(1-lnx).

令/(x)=0,得唯一驻点x=e.

因为当0<x<e时,/(x)>0;当x〉e时，尸(x)<0,所以唯一驻点x=e为最大值点.

因此所求最大项为max{△病=次.

17设尸(沏)存在，证明]而"而+")+〃丁一")一2『(而),,

/:->0力2

证明+〃)+/(「、一「)-2/(尤0)]imf'ao+〃)-f'(Xo-4)

力-0〃2202h

lf'(Xo+h)-「(Xo-h)

=­rlim-------------------

24->oh

1[f'(x+h)-f(x)]+[f(x)-f'(x-h)]

——iim------o----------0--------0--------0----

2力->oh

/，

1rr/Vo+O-/(xo)f(x)-f'(x-/?)1„„、]„

=2^-------h-----------+------0-----h---0----1=尹"。)+，、。)]力(X。)

18.设严(沏)存在，且/(劭)才5))=…4")(沏)=0,证明%)=O[(XTO)"](X->XO).

证明因为

/(X)f'(x)

lim--------=hm---------—

w

XfX。(1一与)"XT%)n(x-x0)

../"(x)y(n-l)(x)

=lim---------------二•••=lim--------

mon(n-1)(x-xQ)XT/n!(x-x0)

尸⑴一厂(.)斗叫50,

所以/(x)=o[(x-xo)"](x->xo).

19.设危)在(a,b)内二阶可导，且f"(尤)X).证明对于(a,。)内任意两点x\,X2及

0<f<l,有咒(1T坨+应|«(1-M沏)+兆2).

证明设(lT)Xi+fX2=X0.在X=Xo点的一阶泰勒公式为

/(x)=/(Xo)+/(Xo)(x-Xo)+与之(x-Xo)2(其中4介于x与Xo之间).

因为/〃(x)2O,所以

/(X)次Xo)4/'(xo)(x-xo).

因此

段应/3))4/'的)(为-向)，於2)次0X)4/'(X0)(X2T0).

于是有

(1-须为)+如2以1-凯/0)4/'。0)3-必)]+£[/(必)4/'(冲)。2-&)]

=(lT)/(Xo)+f/(Xo)V(X())[(lT)Xl+f必]-/'(沏)[(1-，)即+£-Vo]

=fi.xo)+f'(.xo)xo-f'(xo)xo

Wo),

即/(Xo)4(lT次11)+代2),

所以咒(1-以]+比2区(1-43)+爪X2)(0W0).

20.试确定常数a和b,使/(x)=x-(a+/?cosx)sinx为当x->0时关于x的5阶无穷

小.

解7U)是有任意阶导数的，它的5阶麦克劳公式为

/'(0)工2।尸〃(。)]3।f(4)(0).।/⑸①)

/«=/(0)+//(0)x+X5+0(九5)

2!3!4!5)

.a+4b3-a-\6b

=(1一Q-Z?)x+--------X+/+。*5).

3!5!

要使於)=x-(a+匕cosx)sinx为当xf0时关于x的5阶无穷小，就是要使极限

/(X)\-a-b〃+4Z7-a-\6bo(x5)

lim=lim[+------+-+1

x->0x5.10x43!x25!x5

存在且不为0.为此令

l-a-b=O

a+4b=0

解之得W，一

因为当"?公：时,

f(x)_-a-16b_1

lim工0

x->0~~5!--30

所以当〃=g,b=时,兀1)=%-(〃+6cosx)sinx为当x-»0时关于工的5阶无穷小.

第四章

1.

(•dx

.rlnxlnlnx

dx

解=f-------------^lnx=f---------t/lnlnx=lnllnlnxl+C.

xlnxlnlnxJlnxlnlnxJlnlnx

x

JtanJl+x2.dx；

71+x2

2X22

角星JtanVl+x-jrdx=Jtany]\+xdyll+x=

J1+/cosVl+x2

dx.

sinxcosx'

ha3rdxrsec2X,r1…,

解I-----------=I--------dr=I------dtanx=lnltan^l+C.

Jsinxcosx'tanx'tanx

=-lnlcosvl+x2l+C.

dx；

—arcsin—+—79-4X2+C.

234

解芸T此代言必♦)=如2-9皿9+/)l+c.

arctanVx,

~i=-------dx；

y/X（l+X）

小2p^£^=2[arctan以

解arctanVx=（arctanVx）2+C

JV7（i+x）」（1+R）」

Intanx

------------dfx；

cosxsinx

ATJrIntanx,Intanx,Intanx,

用隼-----------dx-f----------sec2xax=f---------atanx

Jcosxsin犬JtanxJtanx

=JintanxdIntanx=—（Intanx）2+C

dx

x+yll-x2

•dx令x=sinz.1,1cosr+sin/+cos/-sinr,

----I---------costdt=-f--------------------dt

2JJ

x_1_J|_x------------sin/+cos/2sin/+cosz

—[dt-v—f----!----rf(sinr+cos/)=—z+—Inlsinr+cosrl+C

2J2Jsinr+cosr22

=—arcsinx+—Inlvl-Jt2+xl+C.

22

2.

cosxdx；

解因为

cosxdx=\e~xdsinx=e-Asinx-jsinxt/e-vsinx+sinxdx

=efsinx-Je-'dcosx=e~xsinx-^-rcosx+Jcosxde~x

=e~xsinx-e~xcosx-卜一"cosxdx,

所以cosxJx=-^-(e-Asinx-e-xcosx)+C=^-e-J(sinx-cosx)+C.

p-2vsin^Jx；

解因为

\e~2xsin—Jx=2f^-2vJcos—=2e-2Acos--2[cos—J^-2v

J2J22J2

=2e-2rcos—+4\e~2xcos—dx=2e~2xcos—+8f^~2vJsin—

2J22J2

=2e~2xcos—+8(?-2rsin--8[sin—Je-2x

22J2

=2e-2rcos—+8^-2rsin—+16fe~2xsin-Jx,

22J2

所以fe~2tsin—dx=--—e~2x(cos—+4sin—)+C.

J21722

jxtan2xdx

解jxtan2xdx=jx(sec2x-1)dx=jxsec2xdx-JxJx=——x2+卜dtanx

=--x2+xtanx-ftanxt/x=--x2+xtanx+lnlcosxl+C.

2」2

jin2xdx；

解jin2xJx=xln2x-p-21nx«—dr=xln2x-2jlnxJx

=xln2x-2xlnx+2Jx--Jx=xln2x-2xlnx+2x+C.

Je^dx；

］四公咨三3“2储〃=3『应’

解

=3〃，-6,'力=3/，-6仅/，

=3r2e’-6招'+6,力

=3t2e'-6te'+6e'+C

=3e1(行-2盯+2)+C.

「osInxdx；

解因为

jcoslnxt/x=xcoslnx+jx-sinlnx-rfx

=xcoslnx+Jsinlnxdx=xcoslnx+xsinlnx-jx-cosln^•一dx

=xcoslnx+xsinlnx-jcoslnxt/x,

所以JcosInxdx=(cosinx+sinInx)+C.

习题4-4

求下列不定积分:

言;

1.

(x+3)(\x+9)-27/

解

x+3

=-1x3,--3x20+9x-271nlx+3l+C.

32

2x+3

2.dx；

X2+3X-10'

r2x+3dx=k：~!-----d(x2+3^-10)=lnlx2+3x-10l+C.

解>+310

JX2+3X-10

-X5+X4-8

3.dx；

x3-x

篦+/82

解dx=j(x+x+l)dr+J，8dx

x3-x

」/+>+工+dx

32

1.1

=—x3+—x~94-x+81nlxl-41nlx4-ll-31nlA'-ll+C.

32

3」

4.F—dx；

x3+l

>3—x+212x-l31

解"可士不不+了三不)dx

x3+l

=lnlx+ll-；J1抬2—+1)+方——Ld

乙X—A+1乙2+争

lx+11

=ln+V3arctan+C

7X2-X+1V3

xdx

5.

(JV+1)(X+2)(X+3)

rxdx1413

解)dx

(X+1)(X+2)(X4-3)2Jx+2x+lx+3

=-(lnlx+2l-31nk+3l-lnlx+ll)+C.

2

6.J、：+ldx；

Ja+i）2（x-i）

T—dmR-L+LJ___二

解]dx

(x+l)2(x-l)J2x+\2x-1(x+1)2

=-lnlx-ll+-lnlx-ll+—+C

22x+1

11

=-lnk92-ll+—+C.

2x+1

7.dx；

V2

解J(1—―6LI=j(-■一9)6tr=lnlxl-^ln(l+x)+C.

0rdx

(x2+l)(x2+x)

rdx_rl1X+111

解J2=

(?+i)u+x)与WTTTIK"

=lnlxl—^-Inlx+ll—j-A—J-JX

111

=lnlA"l—lnlx+11—ln(x74-1)—arctanx+C.

242

dx.

9.

(厂+1)(/2+X+1)

dxx+1x

解)dr

+l)(x2+x+l)」x2+x+\x2+]

2x4-11

=lf2x+l+lf__L_dx--ln(x2+l)

23X2+X+\2Jx2+x+l

=—lnlx~+x+ll—ln(x~+1)H—f-z-----dx

222JX2+X+1

10.J-

r1

解-dx

x4+l+V^x+l)(x2—^2^c+l)

61V21

—Xd—----XH—

_f42，

J2dx+C,4-2dx

X+V2X+1JX2-V2X+1

_V2；(2x+及)+五〈（2x-夜）

V2x+1

V2rJ(X2+V2x+l)口(12一亚X+l)Jrdxrdx

8」x2+41x+\」X2-V2X+1+4\2+V2X+1+'X2-V2X+1

=^-lnlA+3.X+'l+^-arctan(V2.r+l)+^-arctan(-y2x-l)+C.

8x2-y/2x+\44

解三产店强产房才

=2J,：二产V%，产-—-----dx

x+x+\

3

[——!—-----dx,

2x2+x+l2J(x2+x+l)}x2+x+l

因为

而

由递推公式

rdxxdx

+(2n-3)J-],

(x2+a2)"~2a2(n-\)(x2+a2)"-1(x2+a2)"-'

得J_5-------彳dx=f----------------7=dx

…°©+产+争]2

]_

I,A+21fdx、12x+\222x+l

:-------------------1-----------------------[-I--------------------)=一-----------1------arctan--=-,

^32x~+x+lx~+x+l3x+x+l3yf3v3

2啜)

—x~-21112x+l22x+l22x+l

所以----------彳dx-------------------------------------zzrarctun—尸-----arctan—尸—FC

(厂+x+l)~2x"+x+l2_x~+1x+lv3y/3v3y/3

x+\

尸+X+1

dx

12.

3+sin2x

=二

解~~^~J----~dx=J-——5——dtanx

3+sinx4-cosx4tanx+3

1.12tanx-

z/tanx=—尸arctan—=-+C・

253J3

tan2x+

13.[---------dx；

J3+cosx

解—2—

J3+cosx2,2工2X/i।2A

1+cos—cos—(1+sec—)

222

xx

dtan—]tan—

=f-----------^arctan—3+C

2+tan^^陋

2

14.dx；

2+sinx

dx

解=J-

2+sinxXY•2尢/2xX、

2+2sin'cos'sin~(esc—+cot)

22222

,X1

d(cot^)d(zcot-+-)x

=-1-----------------------=22

2xx1-J-2+(f/

COt4-COt+1(cot

222

2cot—+1

22

=--^arctan

々u=tan土

1,2

或----------dx=r-j-j

2+sinx2+2",1+"-

1+w*2

-----------------=-du

(«4)2+(T)2

2tan—+1

22〃+l「22

=-^=7arctan-^=-+C=-y=rarctan+c.

6

dx

15.

l+sinx+cosx

J(tanV)

dxdx

解=-f-=f----------=lnltan—l+C.

1+sinx+cosx2工.冗2

cos2却+ta吗)1+tan—

2

☆〃=tan'

°]

或f—-f-~^du

J1+sinx+cosxJ2〃1-l+〃2

1+

l+w21+M2

总d"=ln"l心inlta吟+U+C.

dx

16.

2sinx-cosx+5

解

令〃=lan土

dx2

3Tdit

2sinJ-COSX+51+M2

5+2N+2

W+3)+

cXI

irii3tan—Fi

13w+l-12「

=—^arctan-T=^+C=—^arctan----=——+C.

7575V5V5

7.1也提出(x-1)*(x+1)

Jy(X+l)2(X-l)4

解令彳咫=“，则》=中，dx一—J,代入得

332

Vx-1M-1(H-1)

•dx3f.33Jx+1

i-=—\du=——u+C=——l------FC.

V(x+l)2(x-l)42J22Vx-1

总习题四

1+cosx,

----------dx；

x+sinx

解J"'。"dx=f---——J(x+sinx)=lnlx+sinxl+C.

Jx+sinxJx+sinx

Inlnx,

-------dx；

x

解jlnlnxJlnx=lnxlnlnx-jinx——-t/x=lnxlnlnx-lnx4-C.

Jtan4xdx;

、♦4

n

解[tan4xdx=\'1Jdtanx=ftan2xsin2xt/tanx

Jcos2x

rtanxe2i1、」

=I--------dtanx=J(tan~x—1+--------)dtanx

Jtan2x+1tan-x+l

1313

=-tanx-tanx+arctantanx+c=—tanx-tanx+x+c.

33

S2除以1

解[——7^——=—[(----——)Jx=-Inlxl一一—ln(x6+4)+C.

J6J6

X(X+4)4xX+4424

fa+x,,八、.

・L---dx(a>0),

Va-x

=«arcsinj2*+c.

a

dx

Jx(+x)

解j=2f1=dV7=21n(V7+Jl+(V7)2)+C=21n“7+Jl+x)+C.

Jx(l+X)Jjl+g2

dx

x4>/l+x2

解£dx令工=tanf-—sec2tdi

xM+d-tan4r-seer

Jsinr

11.,.11.

(z—2------—)dsmr=------r-+--+C

sinrsin"r3sinfsinr

J(l+，)3Vl+X2„

---------1-------FC.

3x3元

Aprsin2x,rsin2x.e.tanx.,

JBT---；—dx=-----6/tanx=(tanx-----------)dtanx

cosXcosxtan2x+l

11,2

=~tan2~x—-ln(t3n-x+l)+C.

Vl+cosx

-dx；

sinx

V2cos—

解vl+cosx■dx=J-----------dx=V2ji(csc—J—=V2Inlcsc--cot—l+C.

sinjvc.XX2222

2sin—cos—

22

X3

/x；

(1+X8)

4

v3x

解&dx4=~-[—+arctanx4]+C.

T小421+xo

提示：已知递推公式

dxxdx

+(2--3)]].

+a2)n2a2(〃一1)(公+02广1(x2+a2rl

sinx.

-------dx；

l+sinx

解产。一广巾(1--dx=「inx-：in2Xdx

J1+sinx1—sin~xcos-x

rsinx1、，「

=1(-------1+-----)Jx=secx-x+tanx4-C.

)cos-xcos2x

x+sinx.

------dx；

1+cos.r

hjirx+sinx.rx+sinx.1rx,1rsinx.

解-----dx=-------dx=-------dx+-------dx

J1+COSX\2克2J2%2J2X

2cos—cos—cos—

222

=xtan--\tan—dx+ftan—Jx=xtan—+C.

2」2」22

cos2x

s,nv

解Jesmx“cosxsinx公_fsmx,co$xdx-\e-tanx-secxdx

cos2x

=^xesmxdsinx-j^s,nYJsecx

=\xdesinx-secx-esinv+Jsecx^sinx

=xesinx-^nxdx-secx-es[nx+fsecxesinx-cosxJx

=xesinx-secx-esinr+C.

dx

(l+ex)2'

解卜七处—jq._L八卜11一!辿

2

J(l+e*)2Jjt_[Jt-\tt

=ln(/-l)-lnr+—FC

t

=x-ln(l+e%)+—!—+C.

\+ex

=arctan(er-e~x)+C

=arctan(2shr)+C.

解[——―z-dx=[——---d(ex+1)=-\xd--

———+lneA-ln(eA+l)+C

ex+]

至二Tn(/+1)+C.

ex+\

jln2(x+Vl