2022年上海市春季高考数学试卷

2022年上海市春季高考数学试卷

试题数：21,总分：150

1.（填空题，4分）已知z=2+i（其中i为虚数单位），则5=

2.（填空题，4分）已知集合八=（-1,2）,集合B=（1,3）,则AnB=_.

3.（填空题，4分）不等式泞<0的解集为

4.（填空题，4分）若tana=3,贝!!tan（a+4-）=_.

5.（填空题，4分）设函数f（x）=x3的反函数为fi（x）,贝HF1（27）=_.

6.（填空题，4分）在（x3+［）12的展开式中，则含f项的系数为

7.（填空题，5分）若关于x,y的方程组2有无穷多解，则实数m的值为_.

8.（填空题，5分）已知在^ABC中，zA=pAB=2,AC=3,则AABC的外接圆半径为_.

9.（填空题，5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134

大的数字个数为用数字作答）

10.（填空题，5分）在AABC中，ZA=9O°,AB=AC=2,点M为边AB的中点，点P在边BC

上，则而•丽的最小值为

2

11.（填空题，5分）已知Pi（xi,yD,P23,y2）两点均在双曲线一^-y=l（a>0）

的右支上，若xiX2>yiy2恒成立，则实数a的取值范围为

12.（填空题，5分）已知函数y=f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x=l对称，且当

xG（0,1］时，f（x）=lnx,若将方程f（x）=x+l的正实数根从小到大依次记为xi,X2,

X3,....Xn，则（Xn1-Xn）=—.

7118+

13.（单选题，5分）下列函数定义域为R的是（）

_1

A.y=%-2

B.y=xi

1

C.y=%3

1

D.y=%2

14.（单选题，5分）若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+c

B.a+c>b+d

C.ac>bd

D.ad>bc

15.（单选题，5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四

棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂

直的次数为（）

A.0

B.2

C.4

D.12

16.（单选题，5分）已知等比数列｛a。｝的前n项和为Sn，前n项积为「，则下列选项判断正

确的是（）

A.若S2022>S2021，则数列｛an｝是递增数列

B.若T2022>T2021，则数列｛an｝是递增数列

C.若数列｛Sn｝是递增数列，则32022>32021

D.若数列｛Tn｝是递增数列，贝Ua2022>a202i

17.（问答题，14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为0、01，AA1为圆柱的母线，

底面半径长为1.

（1）若AA1=4,M为AA1的中点，求直线M01与上底面所成角的大小；（结果用反三角函

数值表示）

（2）若圆柱过001的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积.

18.（问答题，14分）已知在数列｛aj中，az=l,其前n项和为Sn.

（1）若｛aj是等比数列，S2=3,求Sn：

71T8

（2）若｛aj是等差数列，S2n>n,求其公差d的取值范围.

19.（问答题，14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮

架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,

AD=15m.为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的

地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口为CD边上的点F,施工要

求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.（计算长度精

确到0.1m,计算面积精确到0.01m2）

（1）若NADE=20。，求EF的长；

（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

丫2

20.（问答题，16分）已知椭圆r：a+W=l（a>l）,A、B两点分别为r的左顶点、下顶

点，C、D两点均在直线1：x=a上，且C在第一象限.

（1）设F是椭圆厂的右焦点，且NAFB=g求「的标准方程；

（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆「上，

并说明理由；

（3）设直线AD、BC分别交椭圆「于点P、点Q,若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值.

21.(问答题，18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变换的操作：(p变换:

f(x)-f(x-t);3变换：|f(x+t)-f(x)I，其中t为大于0的常数.

(1)设f(x)=2x,t=l,g(x)为f(x)做(P变换后的结果，解方程：g(x)=2；

(2)设f(x)=x2,h(x)为f(x)做3变换后的结果，解不等式：f(x)>h(x)；

(3)设f(x)在(-co,0)上单调递增，f(x)先做<p变换后得到u(x),u(x)再做3变

换后得到hl(x)；f(X)先做3变换后得到V(X),V(X)再做(P变换后得到h2(X).若

hl(x)=h2(x)恒成立，证明：函数f(X)在R上单调递增.

2022年上海市春季高考数学试卷

参考答案与试题解析

试题数：21,总分：150

1.(填空题，4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位)，则5=_.

【正确答案】：

【解析】：根据已知条件，结合共轨复数的概念，即可求解.

【解答】：解：•；z=2+i,

：.z=2-i.

故答案为：2-i.

【点评】：本题主要考查共轨复数的概念，属于基础题.

2.(填空题，4分)已知集合人=(-1,2),集合B=(1,3),则AClB=_.

【正确答案】：[1](1,2)

【解析】：利用交集定义直接求解.

【解答】：解：•••集合人=(-1,2),集合B=(1,3),

•,.AnB=(1,2).

故答案为：(1,2).

【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.(填空题，4分)不等式曰<0的解集为

X

【正确答案】：[1](0,1)

【解析】：把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.

【解答】：解：由题意得X(x-1)<0,

解得0<xVl,

故不等式的解集(0,1).

故答案为：(0,1).

【点评】：本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.

4.(填空题，4分)若tana=3,则tan(a+-)=—.

4

【正确答案】：[1]-2

【解析】：由两角和的正切公式直接求解即可.

【解答】：解：若tana=3,

,.n

tana+tan-3+1c

则tan(a+-)_______________4----------=-Z.

41-tanatavP-1-3X1

4

故答案为：-2.

【点评】：本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题.

5.(填空题，4分)设函数f(x)=x3的反函数为Fi(x),则Fi(27)=_.

【正确答案】：[1]3

【解析】：直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值.

【解答】：解：函数f(x)=x3的反函数为fi(x),

整理得/T(X)=W；

所以fi(27)=3.

故答案为：3.

【点评】：本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维

能力，属于基础题.

6.(填空题，4分)在(X3+9)12的展开式中，则含1项的系数为

XX4

【正确答案】：[1]66

【解析】：求出展开式的通项公式，令x的次数为-4,求出k的值即可.

【解答】：解：展开式的通项公式为Tk+i=Cg(x3)12-k(1)k=c右x36-4k,由36-4k=-4,得

4k=40,

得k=10,

即Tn=C卷x-4=W即含2项的系数为66,

故答案为：66.

【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方

程是解决本题的关键，是基础题.

7.（填空题，5分）若关于x,y的方程组有无穷多解，则实数m的值为_.

\J1TX十Jioy-O

【正确答案】：[1]4

【解析】：根据题意，分析可得直线x+my=2和mx+16y=8平行，由此求出m的值，即可

得答案.

【解答】：解：根据题意，若关于x,y的方程组2有无穷多解，

J（mx+16y=8

则直线x+my=2和mx+16y=8重合，则有lxl6=mxm,即m2=16,解可得m=±4,

当m=4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，

当m=-4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，

故m=4.

故答案为：4

【点评】：本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题.

8.（填空题，5分）己知在AABC中，ZA=|,AB=2,AC=3,则4ABC的外接圆半径为_.

【正确答案】“呼

【解析】：直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果.

【解答】：解：在AABC中，zA=pAB=2,AC=3,

利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB»AC»cosA,整理得BC=V7,

所以巴=2R,解得R=字.

sinA3

故答案为：军.

【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维

能力，属于基础题.

9.（填空题，5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134

大的数字个数为_.（用数字作答）

【正确答案】：[1]17

【解析】：根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

【解答】：解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，

当其千位数字为3或4时，有2A3』12种情况，即有12个符合题意的四位数，

当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134,则有6-1=5个比2134大的四位数,

故有12+5=17个比2134大的四位数，

故答案为：17.

【点评】：本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题.

10.(填空题，5分)在^ABC中，z.A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点，点P在边BC

上，则丽•丽的最小值为

【正确答案】：[I]-?

【解析】：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出而•丽=2x2-3x,再利用二次

函数求最值即可.

【解答】：解：建立平面直角坐标系如下，

贝IB(2,0),C(0,2),M(1,0),

直线BC的方程为9+9=1,即x+y=2,

点P在直线上，设P(x,2-x),

MP=(x-1,2-x),CP=(x,-x),

MP•CP=x(x-1)-x(2-x)=2x2-3x=2(%-I)-,

・••丽.加的最小值为

故答案为：-J.

o

【点评】：本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题.

11.(填空题，5分)已知Pi(xi，力)，P2(X2,y2)两点均在双曲线r：叁旷=1(a>0)

的右支上，若xiX2>y】y2恒成立，则实数a的取值范围为—.

【正确答案】：口］口，+8)

【解析】：取P2的对称点P3(x2,-y2),结合x*2>yiy2，可得碉•西>0,然后可得渐

近线夹角NMONW90。，代入渐近线斜率计算即可求得.

【解答】：解：设P2的对称点P3(x2,-y2)仍在双曲线右支，由xiX2>yiy2,

得xiX2-yiy2>0，即OP；•OP；>0恒成立，

•••ZP1OP3恒为锐角，即4MoNS90。，

••.其中一条渐近线y=；x的斜率|<1,

之1,

所以实数a的取值范围为［1,+8).

故答案为：［1,+8).

【点评】：本题考查了双曲线的性质，是中档题.

12.(填空题，5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于x=l对称，且当

xG(0,1］时，f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+l的正实数根从小到大依次记为xi，x2,

X3,X,则(Xn+1-Xn)=—.

nn->oo

【正确答案】：口］2

【解析】：f(X)是周期为4的周期函数，作出图象，(Xn+1-Xn)的几何意义是两条渐近

71T8

线之间的距离，由此能求出结果.

【解答】：解：•.•函数y=f(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于x=l对称，且当xe(0,

1］时，f(x)=lnx,

・•.f(x)是周期为4的周期函数，图象如图：

将方程f（x）=x+l的正实数根从小到大依次记为Xl,X2,X3,

则（Xn+「Xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2,

71T8

**,（Xn+1-Xn）—2.

n->oo

故答案为：2.

【点评】：本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识,

考查运算求解能力，是中档题.

13.（单选题，5分）下列函数定义域为R的是（）

A.y=x~2

B.y=X'1

i

C.y=%3

i

D.y=xi

【正确答案】：c

【解析】：化分数指数幕为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案.

11

【解答】：解：y=,定义域为{x|x>0},

y=x-1=,定义域为{x|xHO},

y=x3=l/x,定义域为R>

y=xi=\fx,定义域为{x|x20}.

二定义域为R的是y=户.

故选：C.

【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.

14.（单选题，5分）若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（)

A.a+d>b+c

B.a+c>b+d

C.ac>bd

D.ad>bc

【正确答案】：B

【解析】：根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

【解答】：解：对于A,令a=2,b=l,c=-l,d=-2,满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A

错误，

对于B,va>b>c>d,即a>b,c>d,

••・由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故B正确，

对于C,令a=2,b=l,c=-l,d=-2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误，

对于D,令a=2,b=l,c=-l,d=-2,满足a>b>c>d,但ad<bc,故D错误.

故选：B.

【点评】：本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题.

15.（单选题，5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四

棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂

直的次数为（）

A.0

B.2

C.4

D.12

【正确答案】：B

【解析】：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直.

【解答】：解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直,

,.每天0点至12点（包含0点，不含12点），

相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,

故选：B.

【点评】：本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，

考查推理论证能力，是中档题.

16.（单选题，5分）已知等比数列｛a。｝的前n项和为Sn，前n项积为「，则下列选项判断正

确的是（）

A.若S2022>S2021，则数列⑶｝是递增数列

B.若T2022>T202V则数列⑶｝是递增数列

C.若数列｛Sn｝是递增数列，则a2022>a2021

D.若数列｛Tn｝是递增数列，则a2022>a2021

【正确答案】：D

【解析】：反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列

公比以及数列项的范围，即可判断D.

【解答】：解:如果数列由=-1,公比为-2,满足S2022>S2021，但是数列｛而｝不是递增数列，

所以A不正确；

如果数列a1=l,公比为彳，满足T2022>T2021，但是数列｛an｝不是递增数列，所以B不正确；

如果数列ai=l,公比为］Sn=—f^=2（1-玄）,数列国｝是递增数列，但是a2022V2021，

2

所以C不正确；

数列｛Tn｝是递增数列，可知Tn>Tmi，可得an>l,所以q?l,可得a20222a2021正确，所以D

正确；

故选：D.

【点评】：本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题.

17.（问答题，14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为0、Oi，AAi为圆柱的母线，

底面半径长为1.

（1）若AA】=4,M为AAi的中点，求直线MOi与上底面所成角的大小；（结果用反三角函

数值表示）

（2）若圆柱过OOi的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积.

o7A

【正确答案】：

【解析】：（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解.

【解答】：解：（1）因为AAi为圆柱的母线，所以AAi垂直于上底面，

所以NMOiAi是直线MOi与上底面所成角，tan/MOiAi=碧=：=2,

01A11

所以4M0iAi=arctan2.

（2）因为圆柱过001的截面为正方形，所以AA1=2,

所以圆柱的体积为V=Trr2h=TT»l2«2=2TT,

圆柱的侧面积为S=2Ttrh=2TT«l»2=4TT.

【点评】：本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档

题.

18.（问答题，14分）已知在数列｛aj中，a2=l,其前n项和为S2

（1）若｛aj是等比数列，S=3,求Sn；

271T8

（2）若｛a,J是等差数列，S2n>n,求其公差d的取值范围.

【正确答案】：

【解析】：（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案;

（2）求出等差数列的前2n项和，代入S2n>n,对n分类分析得答案.

【解答】：解：（1）在等比数列｛aj中，a2=l,S2=3,则ai=2,

松比q=?则%=华声=4（1一幼,

・•・Sn=lim4（1-：）=4；

n-*0071T8X乙/

（2）若｛aj是等差数列，

则S+a2;-i"2n—/）>,

s2n==2dn2+Q3cnn

即（3-2n）d<l,当n=l时，d<l；

当n22时，d2―--恒成立，r--—€[-1,0）,•1•d>0.

3-2n3-2nL

综上所述，de[O,1].

【点评】：本题考查等差数列与等比数列前n项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数

特性及应用，是中档题.

19.（问答题，14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮

架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,

AD=15m.为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的

地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口为CD边上的点F,施工要

求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.（计算长度精

确到0.1m,计算面积精确到0.01m2）

（1）若4ADE=20。，求EF的长；

（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

AEB

【正确答案】：

【解析】：（1）作DHLEF,然后结合锐角三角函数定义表示出EF,

（2）设4ADE=。，结合锐角三角函数定义可表示AE,FH,然后表示出面积，结合同角基本

关系进行化简，再由基本不等式可求.

【解答】：解：(1)作DH_LEF,垂足为H,

则EF=EH+HF=15tan200+15tan50°*23.3m；

(2)设NADE=e,则AE=15tanE,FH=15tan(90°-26),

S四边；BADEF=2SAADE+SADFH=2X-X15xl5tan0+-x15x15tan(90°—20),

=—(3Otan0+15cot2e)=—(30tan9+15x1+taw'e)=—(3tan6+-L-)

222tan04VtaneJ3

当且仅当3tan8=,即tan8=半时取等号，止匕时AE=15tan8=5V5,最大面积为450・

tanO3

江为255.14m2.

2

【点评】：本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽

象出数学问题，属于中档题.

丫2

20.（问答题，16分）已知椭圆「：a+y2=l（a>l）,A、B两点分别为r的左顶点、下顶

点，C、D两点均在直线1：x=a上，且C在第一象限.

（1）设F是椭圆r的右焦点，且ZAFB=,求r的标准方程；

（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆「上，

并说明理由；

（3）设直线AD、BC分别交椭圆「于点P、点Q,若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值.

【正确答案】：

【解析】：(1)根据条件可得tan4AFB=L解出c,利用a?=b2+c2,求得a,即可求得答

C

案；

(2)分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；

(3)设P(acosO,sin0),Q(-acosQ,-sin0).表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D

坐标，表示出|CD|,再利用基本不等式即可求出答案.

【解答】：解：(1)由题可得B(0,-1),F(c,0),

因为NAFB=2,所以tanz_AFB=2=L=tan㊂=更，解得c=V5,

6cc63

一v-2

所以a2=l+(V3)2=4,故「的标准方程为?+y2=l；

(2)直线AD与直线BC的交点在椭圆上，

由题可得此时A(-a,0),B(0,-1),C(a,2),D(a,1),

£，白，满足驾+(丁=1,

则直线BC：y=^x-l,直线AD：y=^x+1,交点为

故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；

(3)B(0,-1),P(acos0,sin0),则直线BP：丫=k詈x-1,所以C(a,叼等-1),

acosdcosd

A(-a,0),Q(-acos0,-sin0),则直线AQ：y=------(x+a),所以D(a,——)，

JacosG-acos6-l

22.ee

sin6+l2sin0_2sin^cos^+sin^cos^4Astn-cos-

所以|CD|=-

COS0cos-—cos^-sin^-2sin2-

设tang=t,则|CD|=2(-+-)-2,

21—tt

因为H检系，所以士+法系=4

则|CD|N6,即|CD|的最小值为6.

【点评】：本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的

应用，属于中档题.

21.(问答题，18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变换的操作：＜p变换:

f(x)-f(x-t)；3变换：|f(x+t)-f(x)I，其中t为大于0的常数.

(1)设f(x)=2x,t=l,g(x)为f(x)做cp变换后的结果，解方程：g(x)=2；

(2)设f(x)=X2,h(x)为f(x)做3变换后的结果，解不等式：f(x)＞h(x);

(3)设f(