线性代数 课件 第四章 相似矩阵

相似矩阵第四章高等职业教育公共基础课新形态教材线性代数向量组的正交规范化014.1.1向量内积及其性质

定义1：若有n维向量，则称为x与y的内积。4.1.1向量内积及其性质

内积的性质：（1）（2）（3）（4）当且仅当时，4.1.1向量内积及其性质

定义2：

称为n维向量x的长度（或范数）。

向量的长度具有如下性质：（1）非负性，当且仅当时，（2）齐次性（3）三角不等式4.1.2正交向量组及其性质

定义3：若n维向量是一个非零向量组，且其中向量两两正交，则称

该向量组为正交向量组。

正交向量组的性质：

定理1：若n维向量是一个正交向量组，则线性无关。4.1.3规范正交基及其求法

定义4：设n维向量是向量空间中的一个基，若

两两正交且均为单位向量，则称是V中的一个规范正交基。一个向量空间的正交基或规范正交基均不是唯一的。4.1.3规范正交基及其求法规范正交基的求法：（1）正交化4.1.3规范正交基及其求法规范正交基的求法：（2）单位化则是V中的一个规范正交基。4.1.4正交矩阵雨正交变换

定义5：若n阶方阵A满足，则称A为正交矩阵。

正交矩阵具有以下性质：（1）或，即（2）若A与B都是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵。（3）若A是正交矩阵，则（或）也是正交矩阵。（4）若A是正交矩阵，则detA=1或detA=-1.4.1.4正交矩阵雨正交变换

定理2：方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量组式单位正交向量。4.1.4正交矩阵雨正交变换

定义6：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。方阵的特征值与特征向量024.2.1特征值与特征向量的概念

定义：设n阶方阵A及数λ，若存在n维非零向量x，使得Ax=λx成立，则称λ为A

的一个特征值，称非零向量x为A的对应于特征值λ的特征向量。4.2.2特征值与特征向量的基本性质

定理1：n阶方阵A与它的转置矩阵有相同的特征值。

定理2：设n阶方阵A有互不相等的特征值，则其对应的特征向量

线性无关。

定理3：设n阶方阵A的特征值为b，则有：（1）（2）相似矩阵的概念、性质及应用034.3.1相似矩阵的概念

定义：设A、B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使，则称B是A的相似

矩阵，并称矩阵A与B相似。对A进行运算称为对A进行相似变换，称可逆矩阵P为相似变换矩阵。4.3.2相似矩阵的性质

定理1：（1）反身性：A~A.（2）对称性：如果A~B，那么B~A.（3）传递性：如果A~B，B~C，那么A~C.

定理2：若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦

相同。推论1：若n阶方阵A与对角矩阵相似，则是A的n个特征值。推论2：若n阶方阵A与B相似，则它们有相同的迹。4.3.3矩阵与对角矩阵相似的条件

定理3：n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

推论3：若n阶方阵A有n个互异的特征值，则A与对角矩阵

相似。实对称矩阵的性质与对角化044.4.1实对称矩阵的性质

定理1：实对称矩阵的特征值为实数。

定理2：设、是实对称矩阵A的两个特征值，P1、P2是对应的特征向量，

若，则P1与P2正交。

定理3：设A为n阶实对称矩阵，λ是A的特征方程的r重根，则矩阵A-λE的秩R（A-λE）=n-r,从而对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量。4.4.2实对称矩阵的对角化

定理