甘肃省平凉市庄浪县紫荆中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题（含答案）

紫荆中学2024年高考第一次模拟考试试题（卷）高三数学高三数学备课组一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=()A．{-1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{-1,4}2．若p：x2－4＜0，q：log2x＜1，则p是q的 （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．已知a>b,则下列不等式中一定成立的是()A．1a<1bB．a2>b2C．lna>lnb D．2a-4．方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是()A．1B．2C．3D．45．已知a＝0.22，b＝30.3，c＝log40.4，则 （）A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.c＜a＜b D.c＜b＜a6．函数的大致图象是（

）A．B．C．D．7．溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，已知胃酸中氢离子的浓度为[H＋]＝2.5×10－2摩尔/升，则胃酸的pH约为（参考数据：lg2≈0.301） （）A.0.398B.1.301C.1.398 D.1.6028．已知函数在上单调递减，则的取值范围()A． B． C． D．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．已知x>0,y>0,且2x+y=2,则下列说法中正确的是()A．xy的最大值为12B．4x2+y2的最大值为2C．4x+2y的最小值为4D．2x+10．已知函数f(x)=lnxA．f(x)在R上为增函数B．f(e)>f(2)C．若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≤-1或a≥0D．当x∈[-1,1]时,f(x)的值域为[1,2]11．函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论是()A．B． C．D．12．已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则下列结论正确的是()A．函数的图象关于直线对称B．当时，的零点有6个C．D．若，则三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中横线上)13．已知函数，则______．14．已知幂函数f（x）＝mxn的图象过点（2，22），设a＝f（m），b＝f（n），c＝f（ln2），则a、b、c的大小用小于号连接为____________．15．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________．16．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设f(x)=log（1）求实数a的值及f(x)的定义域；（2）求f(x)在区间[0,318．(本小题满分12分)盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．(1)求取到2个标有数字1的球的概率；(2)设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)已知等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，，记．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：．20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2．(1)若A+C=120°，a=2c，求边长c；(2)若A−C=15°，a=csinA，求△ABC的面积．21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，CD⊥AD，AD＝CD＝2BC＝2，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD．(1)求证：CD⊥PA；(2)求二面角C­PA­D余弦值．22.(本小题满分12分)已知函数是奇函数．（1）求实数，的值；（2）若对任意实数，都有成立．求实数的取值范围．参考答案单选题：BBDBCDDB多选题：ACDBCACDAC填空题：-1c＜a＜b[1,2](1,2]解答题：17.解：（1）∵f（1）＝2，∴loga4＝2（a＞0，且a≠1），∴a＝2.由1+x>0,3−x>0,得－1∴函数f（x）的定义域为（－1，3）.（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）＝log2[（1＋x）（3－x）]＝log2[－（x－1）2＋4]，∴当x∈[0，1]时，f（x）单调递增；当x∈1,32时，f（x）故函数f（x）在0,32上的最大值是f（1）＝log24＝19.20.21.[解](1)证明：在四棱锥P­ABCD中，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又因为CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因为PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA．(2)取AD中点O，连接OP，OB，因为PA＝PD，所以PO⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，因为PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OA，PO⊥OB．因为CD⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC，所以BC∥OD，BC＝OD，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB⊥AD．如图建立空间直角坐标系O­xyz，则Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，0))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，1)).eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2，0))，eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，1)).设平面PAC的法向量为n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y，z))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up8(→))·n＝0，,\o(AP,\s\up8(→))·n＝0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋2y＝0，,－x＋z＝0.))令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，1)).因为平面PAD的法向量eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，0))，所以cos〈n，eq\o(OB,\s\