第2章 质点组力学

由多个有相互作用的质点所构成的力学体系。一、质点系动力学的依据

依然是牛顿力学的基本出发点——牛顿运动定律。质点系内各质点间的关联遵从牛顿第三定律,牛顿第三定律显示了它作为牛顿力学基本出发点的重要作用。

质点系模型概括了宇宙中各种各样的客体。§2.1质点系第二章质点系力学三、质点系动力学的研究方法

研究质点系动力学问题有两种方法。一种方法是对质点系内每一个质点建立其运动微分方程：

共3n个标量的二阶微分方程，内力使得各质点的运动相互关联,必须联立求解(计算机数值解)。

当质点系构成后,就有内、外之分；质点系内质点所受的力也就有了内力和外力之分。二、质点系的内力和外力

另一种方法是从整体上对质点系进行研究,讨论质点系存在哪些普遍规律。

一个内力及其反作用力都是质点系内质点所受的力,所以内力成对出现。

根据牛顿第三定律,一对内力大小相等、方向相反、沿相互作用两质点的连线方向。四、质点系内所有质点所受全部内力矢量和为零

显然不可称为合内力五、对任意参考点,质点系内所有质点所受全部内力矩的矢量和为零

不失一般性地设这一对内力和为引力显然六、质点系内所受全部内力做功之和一般不为零

一对内力做功之和为零的条件为:

由于刚体内任意两个质点间的距离均保持不变,所以刚体内力做功之和为零。

例题1

可在水平面上滑动的尖劈2上,有一可沿斜面以相对尖劈的速度滑动的重物1.以重物和尖劈为质点系,试分析两者间内力做功情况。

解：把重物和尖劈间的一对内力沿斜面和垂直斜面方向分解。七、耗散力

在非保守力中,有一类力为耗散力,如滑动摩擦力即为耗散力。但滑动摩擦力不一定做负功!

耗散力的正确定义:

若一个力和它的反作用力做功之和永远为负值,则该力称为耗散力。

一对作用力和反作用力做功之和与参考系无关!

在讨论不同形式的能量相互转化的问题时,机械功必须用一对作用力与反作用力做功之和来度量。

从严格意义上讲,动能与势能的转化必须用一对保守力做功之和来度量,所以势能实质上为以保守力相互作用的体系共有。

一、质点系的动量

质点系的总动量定义为质点系内每个质点动量之和

二、质点系的动量定理

质点系的动量定理表述为:在惯性系中,质点系总动量的时间变化率等于质点系所受外力的矢量和,与内力无关,即：§2.2动量定理与动量守恒律

证明因：故：

三、质点系的动量守恒定律

作为质点系动量定理的推论，质点系的动量守恒定律表述为：

若在某一过程中，质点系所受外力矢量和恒为零即：

则在该过程中质点系的总动量守恒

四、质点系沿固定方向的动量定理和动量守恒定律

设为表示固定方向的单位矢量,用点乘则得到：

若在某一过程中，质点系所受的外力沿方向的分量和恒为零，即：则在该过程中质点系总动量沿方向的分量守恒：

五、质心运动定理

质心运动定理是质点系动量定理的另一种等价表述。建立质心运动定律的基本思想是把质点系“假想质点化”令质点系总质量则令

定义位于矢端的几何点为质心,称为质心的位置矢量、为质心速度、为质心加速度,则

为质心运动定理。1.

是质点的位置矢量以其质量为权重的平均值，直角坐标分量为：

对质量连续分布的物体,上式中的求和应改为积分。2.

质心相对质点系的位置与各质点质量及分布情况有关,与参考系及参考点的选取无关。

(1)

两质点的质心在两质点的连线上,到两质点的距离与质点质量成反比。

(2)

两质点系的质心即为分别位于两个质点系质心、质量分别为两质点系总质量的两个假想质点的质心。(3)

质量均匀分布的物体,其质心与几何中心重合(4)

若重力加速度为常矢量,则质心与重心重合3.

质点系总动量的另一等价表述：4.

质点系动量守恒定律的另一种等价的表述形式:若在某一过程中,质点系所受外力的矢量和恒等于零,即：则在该过程中点系心速度等于常矢量,即。5.

质心和质心运动定理在从整体上研究质点系的运动中起着重要作用。

六、质心系

我们定义原点位于质心,随质心平动的坐标系Cx’y’z’为质心系,一般情况下质心系是非惯性系

显然在质心系中质心速度恒为零,,所以在质心系中，质点系的总动量恒为零

例题2

质量为m的滑块1,放在质量为m0倾角为α的直角尖劈2上,尖劈放在光滑水平面上,初始时滑块与尖劈均静止,在重力作用下,滑块相对尖劈以匀加速度a沿斜面下滑,求尖劈的加速度和桌面对尖劈的支撑力。

解：

以由滑块和尖劈构成的质点系为研究对象,建立与水平面固连的坐标系Oxyz如图。系统受外力和以及支撑力如图.因沿Ox方向不受外力,故质点沿x轴方向动量守恒,即:对上式求时间导数可得：由于则：

由y轴方向的动量定理及y2=常量和即可求出

用质点系动量定理解决问题可使未知内力不在方程中出现,因而使求解得以简化。

一、质点系的角动量

1.

质点系角动量的定义

质点系对O点的总角动量定义为质点系内每个质点对O点角动量的矢量和：质点系对过O点的轴的角动量Ll定义为：

§2.3动量矩定理与动量矩守恒律

2.

一个重要关系式

证明:

由图显见注意到质心系为平动参考系,则故：

质心的位置矢量定义式对任何坐标系均成立由于：于是：

例题3

半径为R，质量为m的均匀细圆环,在Oxy面内沿x轴做无滑滚动,环心速度为,求圆环对O点的角动量。

解：环心即为圆环质心,建立质心系如图。则：

二、质点系在惯性系中对固定点和固定轴的角动量定理

1.

质点系对固定点的角动量定理

质点系对固定点O的角动量定理表述为:在惯性系中,质点系对固定点O的角动量的时间变化率等于质点系所受对O点的外力矩的矢量和,与内力矩无关,即：

式中为第个i点所受合外力。证明:由于则2.

质点系对固定轴的角动量定理

在固定轴上取固定点O,用点乘则

3.

质点系的角动量守恒定律

（1）在某一过程中,质点系所受对固定点O的外力矩的矢量和恒为零,即则在该过程中质点系对固定点O的角动量守恒，常矢量

(2)

在某过程中,质点系所受对固定轴的外力矩之和恒为零,即则在该过程中点系对固定轴的角动量守恒。常量

三、质点系在质心系中对质心的角动量定理1.

质点系在质心系中对质心的角动量定理为

式中为质点系在质心系中对质心的角动量,为质点系所受外力对质心力矩的矢量和。与惯性系中对固定点的角动量定理形式相同,均与内力矩无关。

证明:

由于各质点所受惯性力对质心力矩的矢量和因此惯性力不在方程中出现,定理有与惯性系内定理相同的形式。2.

质点系在质心系中对质心的角动量守恒定律

在某一过程中则常矢量

质点系在质心系中对过质心固定方向轴的角动量定理（略）

例题4

质量为m、长度为l的匀质杆被抛出后在竖直平面内运动。已知抛出时质心速度为角速度为试大致分析杆的运动。忽略空气阻力。

解:

由质心运动定理可知,质心C沿抛物线,做初速为的抛体运动。即。根据质点系在质心系中对质心的角动量守恒定律可知常矢量,即,可见运动中角速度ω保持不变

杆所受外力只有重力

作用于质心C,对质心C力矩为零,

四、有关质心与内力的讨论

根据质心运动定理易于确定质心的运动;在质心系中以质心为参考点可以使问题得以简化；因此把质点系的运动分解为以质心为代表的“平动”和相对质心系的运动给研究问题带来方便。

2.

内力的作用

质点系总动量和总角动量的时间变化率与内力无关决非表明内力对质点系的运动没有贡献,也不表明内力对和的演化过程没有影响。1.

利用质心系分解质点系的运动

质点间有内力相互作用是构成质点系的条件。

质点系内的质点是在外力与内力的共同作用下运动的；对质点系内各质点的运动来说,内力与外力有等同的作用。

质点系内一对对的内力造成了各质点间动量与角动量的等量转移,内力对质点系的运动至关重要

质点的动量和角动量分别从线运动和角运动的角度描述质点的运动。质点的动量定理和角动量定理指出,力是质点动量变化率的度量,力矩是质点角动量变化率的度量。

进一步考虑由和两个质点构成的,不受外力的质点系,则：

上述二式指出动量和角动量都既不会凭空产生，亦不会凭空消失,它们只是在不同质点间流动。

力描述了动量的流动,力矩描述了角动量的流动。于是我们可以认为力就是动量“流速率”(单位时间的流量),力矩就是角动量“流速率”,由此内力的作用得到了形象地述。xo选逆时针为正方向注：也可用对通过滑轮中心水平轴的动量矩定理绳对质点组的力为内力

一、质点系的动能

1.

质点系动能的定义

质点系的总动能T定义为质点系内每个质点动能之和,即：

2.

柯尼希定理式中Tc为位于质心的假想质点的动能,T’为质点系在质心系中的动能。§2.4动能定理与机械能守恒定律

证明:所以

由于则因为

例题5

质量为m、半径为R的匀质圆盘,在Oxy平面沿x轴做无滑滚动,盘心速度为,如图所示,求圆盘动能。

解：盘心即为圆盘质心,建立质心系Cx’y’如图。则：

二、质点系在惯性系中的动能定理和机械能守恒定律

1.质点系的动能定理

质点系的动能定理表述为:在惯性系中,质点系动能的微分等于质点系所受所有外力和内力的元功之和,即：证明:质点系内第i个质点的动能定理为：质点系动能的微分与内力元功有关。对n个质点求和,则：

由于刚体内力做功之和为零,即所以刚体动能的微分与内力元功无关。

2.内势能

从严格意义上讲动能与势能的转化,要用一对保守力做功之和来度量由于一对内力所做元功之和,已归结为其中一个力在其受力质点相对另一质点的相对位移中所做元功,即：

则这一对内力为保守内力

与质点力学中讨论的外势能V(e)

区分,一对内保守力的势能记为V(i),称为内势能。若：

外势能是对势能的一种理解方式,是简化功能关系的一种方法。外势能的概念又必须存在,否则完整的质点动力学就不能建立。3.质点系的机械能定理和机械能守恒定律.

对于第i个质点所受保守外力,可引入外势能则质点系总外势能：对于第i个质点与第j个质点间的一对保守内力,可引入内势能。则质点系总内势能

把第i个质点所受非保守外力所做元功记为把第个i质点与第个j质点间的一对非保守内力所做元功记为，则由质点系的动能定理可导出：定义质点系总势能：上式称为质点系的机械能定理。总机械能：

质点系的机械能守恒定律表述为:若在某一过程中,质点系所受非保守外力均恒不做功：每一对内非保守力做功之和均恒为零：则在该过程中质点系的总机械能守恒。

质点系机械能守恒说明,在运动过程中质点系的动能与势能可以相互转化,但没有机械运动与其他形式的运动之间的能量转化。

三、质点系在质心系中的动能定理

质点系在质心系中的动能定理为：亦与惯性系中的动能定理形式相同,与内力元功有关。

证明:

在作为非惯性系的质心系中讨论质点系运动时,需考虑惯性力,且视惯性力为外力。由于各质点所受惯性力在质心系内做功之和为零,即：

所以惯性力不在方程中出现,定理形式与惯性系内定理形式相同。

解：质点组没有受外力作用，两质点相互作用的内力为保守力，质点组动量守恒、机械能守恒。（1）（2）例6

质量为m1和m2的两质点以万有引力吸引，开始时两质点静止且距离为。求两质点相距为时两质点的速度。联立方程（1）、（2）解得方程（2）也可用质点组的动能定理代替（3）

研究两个质点仅在相互作用下发生的运动,称为二体问题。不作任何近似,二体问题通过适当的方法可化为单体问题,利用前面取得的结果,使问题得到彻底的解决。

一、二体运动的分解

二体运动可以分解为二体质心的运动加上它们相对质心的运动。其质心相对惯性系做匀速直线运动。因此,只需求两质点相对质心的运动。§2.5两体问题

m2相对m1的位矢根据质心定义可得说明二体相对质心的运动可以通过二体的相对运动求得。

二体相对惯性系Oxyz的运动。

质心的运动由初始条件确定

是质心的初位矢和初速度。剩下的问题是求二体的相对运动。

二、二体的相对运动、约化质量

现在来建立两体相对运动的方程。考虑一般情况,设质量为m2的质点受到m1的作用力为F,则二质点相对惯性系的运动方程为:两式相减,得若定义约化质量μ为则得m2相对m1的运动方程:这是质点m2相对于原点建立在m1上的平动坐标系的运动方程。此坐标系为非惯性系,相对它,牛顿第二定律应作修正,这个修正表现在质点所受的力中需补充惯性力,通过这种修正应能得到上式。

上式说明修正的方法还可采取另一方式进行,即只要以约化质量代替原来的质量m2,在质点所受的力上就无需修正,这种方法带来很大的方便。

二体问题化为单体问题!

如果m1>>m2,则,即质量不需要修正,意味着此时与m1一起运动的动坐标系可看做为惯性系。此时m2

不修正

三、对开普勒第三定律的修正

按二体问题考虑,太阳不是不动的,行星对太阳的运动方程应修正为：于是与认为太阳静止时行星的运动方程进行比较,如果把右端仍看做为“万有引力”,这相当于太阳质量应修正为。

将开普勒第三定律中的M=ms

用替换,便得到修正后的开普勒第三定律。

但是,对于质量相近的双星系统,则必须考虑修正。修正后的开普勒第三定律给我们提供了计算某些双星中一个星体的质量的依据。

双星系统中可能有一颗星为暗星,可以根据二体理论,由亮星的运动导致暗星的发现。

所以,严格说T2/a3

这一比值并不是对所有行星都相同,但实际上对太阳系九大行星来说,这比值的差别非常小,即使对质量最大的木星,两者质量之比

ms/m=1/1047<<1,这种修正是非常小的。

研究粒子散射时,假如靶核(或称中心粒子)量不是非常大,则当入射粒子与之相互作用后,不仅入射粒子的出射方向发生偏转,靶粒子也将获得一个反冲运动,入射粒子的运动与靶粒子的运动互相影响、互相耦合,这种情况称为两体散射。只研究弹性散射的情况,碰撞前后两粒子的动能之和相等。

质心系——靶粒子系——实验室参考系

一、在质心坐标系中两体碰撞的规律

取质心系为参考系。以,表示二粒子在碰撞前的速度。§2.6实验室坐标系与质心坐标系

以,表示二粒子在碰撞后的速度。因质点系对质心系的总动量为零(质心系又称零动量系),故有：得

在质心系中两质点的动量总是等值反向的。

因弹性碰撞故碰撞前后动能相等。

在上式中消去v’r2和vr2,得同理可得每个粒子在碰撞前后速度大小不改变。

因为相对质心系的散射角等于相对靶粒子参考系的散射角,所以求经碰撞后粒子速度转过的角度,即质心系中观察到的散射角,可由相对靶粒子参考系的散射角得出

因此,如果两粒子间的相互作用力为(斥力),则可通过下式求得(由单体散射角公式）其中μ为约化质量,v0

为入射粒子相对靶粒子的初速。

二、从质心坐标系到实验室坐标系的变换

实验室参考系即通常进行实验观察的惯性参考系。以,表示二粒子在碰撞前相对此参考系的速度,以

,表示它们碰撞后相对此系的速度。以表示质心相对此系的速度,则：先求实验室参考系中的散射角θ1和θc

的关系。所以而质心速度为C以及就可求得两散射角的变换关系从上式看出:(1)当,则;(2)当,则。再从求出将和代入,得

最后再求靶粒子在碰撞后的反冲运动。由于靶粒子初始静止,所以。而反冲速度与入射方向的夹角为所以

为等腰三角形,于是反冲速度的大小为

当入射粒子与靶粒子质量相等,靶粒子初始静止,散射后,于是即二粒子的散射方向必互相垂直。这一结果为质子—质子碰撞实验所证实,在照相乳剂中可清晰显示二质子碰撞后的径迹相互垂直。1.变质量质点的运动微分方程

设t时刻,中心质点(即我们要研究的质点)量为m,速度为,有质量为dm的小质点以速度加入到中心质点上来.该过程在dt时间内完成,在t+dt时刻中心质点质量变为m+dm,速度为

以中心质点和小质点构成质量不变的质点系进行研究.根据质点系的动量定理,有：

略去高阶小量

则：

§2.7变质量物体的运动

着眼于中心质点,视m为时间t的函数m=m(t),dm/dt为中心质点的质量变化率,则得到：

即为变质量质点的运动微分方程

注意:

(1)

导出过程简单巧妙。

(2)

为中心质点与小质点所受外力矢量和。(3)

小质点质量dm已被理解为中心质点质量的增量,则dm可正可负。

令为小质点相对中心质点的速度,可以得到另一种表达形式：式中两个特例:若：若：则：则：可视为由于质量改变而受到的“附加力”——“推力”

例题7

一球型雨滴在均匀重力场中下落时，由于不断吸收周围的水分而逐渐变大。设雨滴吸收水分的速率与该时刻的表面面积成正比，开始下落时雨滴半径近似为零。试求t时刻雨滴的加速度。忽略空气阻力。

解:

因为周围水分是静止的,即故雨滴的运动微分方程为:

所受外力为重力以竖直向下为运动正方向,则运动微分方程可化为标量形式。设雨滴半径为r,比例系数为α,由题意可知:设ρ为雨滴密度,则于是得到:由于r是t的函数,先求出r的变化规律r=r(t),为此把代入(1)式得到:

（1）（2）积分上式,并依初始条件t=0时r=0,得：把代入(2)式,则得到：此方程的解为：即由初始条件t=0时v=0,定出积分常数c=0,故：所以有：结果表明,雨滴将以g/4的加速度匀加速地下落。

解法一：用变质量物体的动力学方程求解

补充例题1长为L的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌面边缘垂直，开始时链条静止，一半从桌上下垂，如下图所示。求链条末端滑到桌子边缘时链条的速度V？xo竖直方向分量形式：

即:因为：方程变为：(1)

设线质量密度为λ，对桌面上一段用变质量物体的动力学方程(2)

将（2）代入（1）,得

注意：化简得两边积分：得：即：

拉力做功之和为零，只有空中部分链条的重力做功，故系统的机械能守恒以桌面为零势能位置解法二：用机械能守恒定律求解

(1)

受力分析：空中部分链的重力，桌面上链条的重力，桌面对其上链条的支撑力以及链条内部的拉力(内力)。初状态：末状态：代入方程(1),得化简，得即：解法二：用动能定理求解

分析：

,只有空中部分链条的重力做功y

补充例题2

火箭在t时刻质量为m0(1-αt)，从t=0时静止铅直上升，喷射气体相对火箭的速率为4g/α。设大气阻力为2m0αv(v为火箭速度)。试证火箭到达高度时g/(3α2)时，火箭只有原来质量的一半。(设g恒定，α为常数)。(2)参照系：地面；建立oy坐标系。y

(3)受力分析解：

(1)研究对象：火箭(4)列出运动微分方程

即：即：得：积分：解：(1)

设人、船最初静止，跳起瞬时，人的绝对速度为

,船的绝对速度为V。(2)

水平方向动量守恒补充例题3

一人从船上向岸上跳，是大船上跳容易，还是小船上跳容易？（不计水的阻力）(3).由动能定理

要保持一定的速度向岸上跳，M越大，W越小，M越