第2章地图的数学基础1

第二章地图的数学基础本章要点掌握地球椭球体、大地水准面、GPS、比例尺、地图投影的概念。认识地图投影的方法、过程、地图投影变形和地图投影选择。了解主要地图投影类型、变形分布规律及用途。一般了解地图投影判别一、地球椭球体

地球自然表面是一个起伏不平，十分不规则的表面。因此大地测量学家引入了大地球体的概念。大地球体是指由大地水准面包围而成的球状体大地水准面(geoids)是假定在重力作用下海水面静止时的平均水面，并设想此面穿过大陆与岛屿，连续扩展形成处处与铅垂线成正交的闭合曲面。（如图2.1）大地球体是地球形体的一级逼近。第一节地球椭球体与大地控制由于地壳内部物质密度分布不均等多种因素的影响而产生重力异常，致使铅垂线的方向发生不规则变化，所以大地水准面也有高低起伏，仍然是不规则的，不能用简单的数学公式表达。大地水准面从整体上看，起伏是微小的，极其接近于椭球体面。为了测量和制图需要，人们用一个表面与大地水准面相近的、可以用数学方法表达的旋转椭球体来代替大地球体。一、地球椭球体旋转椭球体是以地球的南北短轴为放置轴旋转而成的椭球形体，称为地球椭球体，或椭球体。椭球体面是一个规则曲面，所以也可称其为地球数学表面，它完全可以成为测量和制图的基准面；所以，地球椭球体在测量学和地图学的研究中有着十分重要的意义。地球椭球体是地球形体的二级逼近。一、地球椭球体地球椭球体有长半径a（赤道半径）和短半径b（极半径）之分，α=(a-b)/a为椭圆的扁率。a、b、α是其三要素，决定地球椭球体的形状和大小。因推算所用资料、年代和方法不同，许多科学家所测定地球椭球体的大小也不尽相同。我国采用的地球椭球体：1952年之前，采用海福特椭球体从1953年起，采用克拉索夫斯基椭球体（苏，1940）1980年，我国采用1975年第十六届国际大地测量及地球物理联合会(IUGG)推荐的参考椭球参数，建立了1980西安坐标系。一、地球椭球体一、地球椭球体一、地球椭球体由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km，在制作小比例尺地图时，因为缩小的程度很大，如制作1:1000万地图，地球椭球体缩小1000万倍，这时长短半径之差只是2.1mm，所以：制作小比例尺地图时，可忽略地球扁率，将地球视为圆球体,地球半径为6371km制作大比例尺地图时，必须将地球视为椭球体地球的形状确定之后，还需确定大地水准面与椭球体面之间的相对位置。

确定大地水准面与椭球体面之间的相对位置的方法在地球表面适当位置选择一点p,假设椭球体和大地球体相切于P’,P’位于P点的铅垂线上，过椭球体面上p’的法线与该点对于大地水准面的铅垂线相重合，椭球体的形状和大小与大地球体很接近，从而也就确定了椭球体与大地球体的相互关系。与局部地区的大地水准面符合得最好的一个地球椭球体，称为参考椭球体确定参考椭球体，进而获得大地测量基准面和大地起算数据的工作，称为参考椭球体定位。参考椭球体是地球形体的三级逼近一、地球椭球体二、大地控制大地控制的主要任务是确定地面点在地球椭球体上的位置。包括两个方面：一是：点在地球椭球体面上的平面位置，即经度和纬度；二是：确定点到大地水准面的高度，即高程。1.地理坐标系天文经纬度：天文经度即本初子午面与过观测点的子午面所夹的二面角；天文纬度即过某点的铅垂线与赤道面间的夹角。天文经纬度通过天文测量方法得到，可作为大地测量中定向控制及校核数据之用。大地经纬度：大地经度（L）指过参考椭球面上某一点的大地子午面与本初子午面之间的二面角，大地纬度（B）是指过参考椭球面上某一点的法线与赤道面的夹角。大地经纬度是以地球椭球面和法线为依据，在大地测量中得到广泛采用。地图学中常采用大地经纬度。地心经纬度：地心经度等同于大地经度，地心纬度是指参考椭球面上的任意一点和椭球体中心连线与赤道面之间的夹角。地理研究和小比例尺地图制图对经度要求不高时常采用此经纬度。地理坐标系：用经纬度表示地面点位的球面坐标系。在大地测量学中有三种描述：2.我国的大地坐标系统1954年北京坐标系：1954年，我国将原苏联采用克拉索夫斯基椭球元素建立的坐标系，联测并经平差计算引申到我国，以北京为全国大地坐标原点，确定了过渡性大地坐标系，称1954北京坐标系。缺点是椭球体面与我国大地水准面不能很好地符合，误差较大。2.我国的大地坐标系统1980年国家大地坐标系：1978年采用新的椭球体参数GRS(1975)，以陕西省西安市以北泾阳县永乐镇某点为国家大地坐标原点，进行定位和测量工作，通过全国天文大地网整体平差计算，建立了全国统一的大地坐标系，即1980年国家大地坐标系。优点：椭球体参数精度高；定位采用的椭球体面与我国大地水准面符合好；天文大地坐标网传算误差和天文重力水准路线传算误差都不太大，而且天文大地坐标网坐标经过了全国性整体平差，坐标统一，精度优良，可以满足1：5000甚至更大比例尺测图的要求等。与当今社会发展存在的矛盾：①坐标维的矛盾。随着卫星定位导航技术在我国的广泛使用，二维不能适应现代的三维定位技术；②精度的矛盾。卫星定位技术可达10-7～10-8的点位相对精度，而西安80系只能保证3×10-6；③坐标系统（框架）的矛盾。数字地球的发展要求用户需要提供与全球总体适配的地心坐标系统。3.高程系高程控制网的建立，必须规定一个统一的高程基准面。我国利用青岛验潮站1950～1956年的观测记录，确定黄海平均海水面为全国统一的高程基准面，并在青岛观象山埋设了永久性的水准原点。以黄海平均海水面建立起来的高程控制系统，统称“1956年黄海高程系”。1987年，因多年观测资料显示，黄海平均海平面发生了微小的变化，由原来的72.289m变为72.260m，国家决定启用新的高程基准面，即“1985年国家高程基准”。高程控制点的高程也发生微小的变化，但对已成图上的等高线的影响则可忽略不计。4．大地控制网大地控制网由平面控制网和高程控制网组成。包括具有精确测定平面位置和高程的典型的具有控制意义的点，它是测制地图的基础。平面控制网采用平面控制测量确定控制点的平面位置，即大地经度（L）和大地纬度（B）。其主要方法是三角测量和导线测量。4．大地控制网三角测量：在平面上选择一系列控制点，建立三角网，经测量由已知推算未知。为达到层层控制的目的，由国家测绘主管部门统一布设一、二、三、四等三角网。一等三角网是全国平面控制的骨干，由近于等边的三角形构成，边长在20～25km左右，基本上沿经纬线方向布设；二等三角网是在一等三角网的基础上扩展的，三角形平均边长约为13km，这样可以保证在测绘1:10万、1:5万比例尺地形图时，每150km2内有一个大地控制点，即每幅图至少有3个控制点；以此类推，保证不同比例尺地图的精度。三角测量示意图4．大地控制网导线测量：把各个控制点连成连续折线，然后测定这些折线边长和转角，最后根据起算点坐标及方位角推算其它点坐标。包括：一种是闭合导线；另一是附合导线。建立大地控制网时，通常要隔一定距离选测若干大地点的天文经纬度、天文方位角和起始边长，作为定向控制及校核数据使用，故大地控制网又有天文大地控制网之称。高程控制网是在全国范围内按照统一规范，由精确测定了高程的地面点所组成的控制网，是测定其它地面点高程的基础。表明地面点高程位置的方法有两种：绝对高程，即地面点到大地水准面的高度。相对高程，即地面点到任意水准面的高度。建立高程控制网的目的是为了精确求算绝对高程，即高程。水准测量借助水准仪提供的水平视线来测定两点之间的高差，是建立高程控制网的主要方法。两点之间的高差H=a-b，设HA为已知点的高程，则待求点的高程HB=HA+H三、全球定位系统GPS（globalpositioningsystem）是美国国防部开发的星际全球无线电导航系统，它可为全球范围的飞机、舰船、地面部队、车辆、低轨道航天器，提供全天候、连续、实时、高精度的三维位置、三维速度以及时间数据。GPS应用于测量工程与经典大地测量相比的优势：①观测站之间无需通视；②定位精度高；③提供三维坐标；④操作简便；⑤全天候作业。GPS的组成主要有：空间星座部分、地面监控部分和用户设备部分组成GPS的组成卫星导航系统工作原理1.空间星座GPS卫星星座由24颗卫星构成，均匀分布在6个轨道面内，每个轨道面有4个卫星；卫星轨道面与地球赤道面的倾角为60º；轨道平均高度20183km，卫星运行周期11小时58分。保证至少可以同时接收到4颗卫星的定位数据。2.地面监控部分监控站主控站注入站2.地面监控部分主控站一个，设在美国的科罗拉多的斯普林斯。主控站负责协调和管理所有地面监控系统的工作，包括：根据所有地面监测站的观测资料推算编制各卫星的星历、卫星钟差和大气层修正参数等，并把这些数据及导航电文传送到注入站；提供全球定位系统的时间基准；调整卫星状态和启用备用卫星等。2.地面监控部分注入站又称地面天线站，主要任务是通过一台直径为3．6m的天线，将来自主控站的卫星星历、钟差、导航电文和其它控制指令注入到相应卫星的存储系统，并监测注入信息的正确性。注入站现有3个，分别设在印度洋的迭哥加西亚、南太平洋的卡瓦加兰和南大西洋的阿松森群岛。2.地面监控部分夏威夷设有一个监测站。主要任务是连续观测和接收所有GPS卫星发出的信号并监测卫星的工作状况，将采集到的数据连同当地气象观测资料和时间信息经初步处理后传送到主控站。地面监控系统除主控站外均由计算机自动控制，勿需人工操作。各地面站间由现代化通讯系统联系，实现了高度自动化和标准化。3.用户设备部分GPS接收机GPS数据处理软件微处理机及终端设备欧洲伽利略卫星导航定位系统2002年3月24日，欧盟首脑会议批准了建设伽利略卫星导航定位系统的实施计划。由于在科索沃战争以及阿富汗战争期间，欧洲军队使用GPS技术事实上都受到了限制。因此，欧盟首脑们意识到：“如果放弃伽利略计划，我们将在今后20-30年间失去防务上的主动权。”此外，伽利略计划带来的经济利润也是不容忽略的。欧盟的一项研究预测表明，发展伽利略卫星导航定位技术，仅在欧洲就可以创造出14万多个就业岗位，每年创造的经济收益将会高达90亿欧元，到2020年，伽利略系统的经济收益将达到740亿欧元。2008年年底，建成（27+3）伽利略卫星工作星座。我国已成为建设伽利略系统的合作伙伴，并于2004年1月10日，在长江上进行了EG－NOS欧洲静地卫星导航重叠系统的动态应用测试，为合作建设伽利略系统进行科技准备。俄罗斯的GLONASS1995年俄罗斯耗资30多亿美元，完成了GLONASS导航卫星星座的组网工作。它也由24颗卫星组成，分布在3个轨道平面上，每个轨道平面有8颗卫星，原理和方案都与GPS类似。GLONASS一开始就没有加SA干扰，GLONASS导航定位精度较低，约为30-100米，测速精度0.15米/秒。其应用普及情况远不及GPS，这主要是俄罗斯没有开发民用市场；另外，GLONASS卫星平均在轨道上的寿命较短，由于经济困难无力补网，在轨可用卫星少，不能独立组网。“北斗一号”卫星导航定位系统我国独立自主的卫星导航定位系统；我国已建立完善的卫星导航定位系统；区域卫星导航定位系统2004年5月25日零时34分，“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心成功将第三颗“北斗一号”导航定位卫星送上太空。前两颗分别于2000年10月31日和12月21日发射升空。这两颗卫星运行至今，导航定位系统工作稳定，状态良好，取得了显著效益。这次发射的“北斗一号”是导航定位系统的备份星。它与前两颗“北斗一号”工作星组成了中国完整的卫星导航定位系统，确保全天候、全天时提供卫星导航信息。它标志着中国已建立了完善的第一代卫星导航定位系统。对中国国民经济建设和国防建设的进一步发展将发挥重要作用。“北斗一号”与GPS和GLONASS使用范围不同：“北斗一号”是区域卫星导航系统，只能用于中国及其周边地区；而GPS和GLONASS都是全球导航定位系统，在全球的任何一点，只要卫星信号未被遮蔽或干扰，都能接收到三维坐标。卫星数量和轨道不同：“北斗”是3颗，位于高度近3.6万Km的地球同步轨道。GPS和GLONASS是24颗，位于2万Km高度，分别在6个和3个轨道面上。定位原理不同：“北斗”是用户先发射需定位的信号，通过卫星转发至地面控制中心，控制中心解算出位置后再通过卫星转发给用户；而GPS和GLONASS只需要接收4个卫星的位置信息，由自己解算出三维坐标。“北斗”本身是两维导航系统，仅靠2颗星的观测量尚不能定位，观测量的取得及定位解算均在地面中心站进行，卫星和用户机需具有转发或收发信号功能，这实际上也就具有了一定的通信功能。GPS的应用主要体现在GPS卫星定位和导航：静态定位和动态定位。在飞机、轮船、车辆上广泛应用的导航就是一种广义上的动态定位。第二节地图比例尺地球与地图的大与小的矛盾一、地图比例尺的概念当制图区域比较小，景物缩小的比例也比较小时，这时不论采用何种投影，图上各处长度缩小的比率都可以看成是相等的，地图比例尺的含义可以理解为图上长度与地面相应水平长度之比。（1/M=d/D，d为地图上线段的长度，D为地面上相应直线距离的水平投影长度，M为比例尺分母）当制图区域相当大，制图时对景物的缩小比率也相当大，在这种情况下采用的地图投影比较复杂，地图上的长度也因地点和方向不同而有所变化。在这种情况下所注明的比例尺含义，其实质是在进行地图投影时，对地球半径缩小的比率，称为地图主比例尺，地图经过投影后，地图上只有个别的点或线没有长度变形。其它大于或小于主比例尺的比例尺称为局部比例尺。地图比例尺的精确定义：地图上沿某方向的微分线段和地面上相应微分线段水平长度之比。二、地图比例尺的形式传统地图上的比例尺通常有以下几种表现形式数字比例尺：如“1∶10000”文字比例尺：如“图上1厘米等于实地1千米”图解比例尺：直线比例尺斜分比例尺复式比例尺二、地图比例尺的形式直线比例尺是以直线线段形式标明图上线段长度所对应的地面距离。二、地图比例尺的形式斜分比例尺，是一种根据相似三角形原理制成的图解比例尺，利用这种斜分比例尺，可以量取比例尺基本长度单位的百分之一。它是由纵、横两种分划组成的复合比例尺，纵分划为斜线，横分划及其注记与直线比例尺相同。使用时，先在图上用量角规卡出欲量线段的长度，再到复合比例尺上比量。比量时：每上升一条水平线，斜线的偏值将增加0.01基本单位；量角规的两脚务必位于同一水平线上。二、地图比例尺的形式复式比例尺又称投影比例尺，是一种根据地图主比例尺和局部比例尺组合成的一种图解比例尺。地图投影使得不同部位长度变形程度不同，复式比例尺既有适用于没有变形的点或线上的直线比例尺（主比例尺），又有对每条纬线或经线单独设计的直线比例尺。

特殊比例尺变比例尺：当制图的主区分散且间隔的距离比较远时，为了突出主区和节省图面，可将主区以外部分的距离按适当比例相应压缩，而主区仍按原来规定的比例尺表示。无级别比例尺：是一种随数字制图的出现而与传统的比例尺系统相对而言的一个新概念，并没有一个具体的表现形式。在数字制图中，由于计算机或数据库里可以存贮物体的实际长度面积体积等数据，并且根据需要可以很容易按比例任意缩小或放大这些数据，因此没有必要将地图数据固定在某一比例尺上。三、地图比例尺的作用比例尺决定着地图图形的大小：同一地区，比例尺越大，地图图形越大，反之，则小。反映地图的量测精度：正常人的视力只能分辨出地图上不小于0.1mm的两点之间的距离，0.1mm是将地物按比例尺缩绘成图形时可以达到的精度极限，称比例尺精度或极限精度。1:1万，水平量测精度1m，比例尺越大，地图的量测精度越高。比例尺决定地图内容的详细程度：比例尺愈大，地图内容愈详细，符号尺寸亦可稍大些；反之，地图内容则愈简略，符号尺寸相应减小。第三节地图投影概述地球球面与地图平面之间的矛盾一、地图投影的概念1.地图投影研究的对象地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，已经形成了一门独立的学科。我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本的投影性质和特点以及他们的变形分布规律，从而能够正确的辨认、使用各种常用的投影。2.地图表面和地球球面的矛盾地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要直接展成平面，必然发生断裂或褶皱。将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，都是有裂隙的。3.地图投影的概念球面上任一点的位置用地理坐标（φ、λ）表示，而平面上点的位置用直角坐标（x,y）或极坐标（r，θ）表示，所以要将地球球面上的点转移到平面上，必须采用一定的数学方法来确定地理坐标与平面坐标之间的关系。地图投影就是研究解决把地球椭球体面上的经纬网按照一定的数学法则转绘到平面上的方法及其变形的科学问题。二、地图投影的基本方法1.几何投影（透视投影）：假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。地图投影面除平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫几何投影或几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平面矛盾的方法。二、地图投影的基本方法2.数学解析法：随着科学的发展，几何透视法远不能满足编制各类地图的需要，出现了解析法。解析法是不借助于几何投影光源（而仅仅借助于几何投影的方式），按照某些条件用数学分析法确定球面与平面点与点之间一一对应的函数关系。

X=f1(φ、λ)Y=f2(φ、λ)函数f1、f2的具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了这种对应关系，就可把球面上的经纬网交点表示到平面上了。球面上任意一点的位置决定于它的经纬度，实际投影时是先将一些经纬线的交点展绘在平面上，再将相同经度的点连成经线，相同纬度的点连成纬线，构成经纬线网。有了经纬线网，就可以将球面上的地理事物，按其所在经纬度，用一定的符号画在平面上相应位置处。地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平面上。经纬线网是绘制地图的“基础”，是地图的主要数学要素。二、地图投影的基本方法三、地图投影的变形1.地图投影变形的概念由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，无论采用什么投影，投影后经纬网形状与球面上的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发生了变形，而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物也必然发生了变形。为正确使用地图，必须了解投影后产生的变形，所以变形问题是地图投影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价值。2.研究变形的方法研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。为了研究变形，首先让我们分析一下地球仪上经纬网的特点：所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。经线表示南北方向；纬线表示东西方向。经线和纬线是相互垂直的。同一经线上纬差相等的经线弧长相等，同一纬线上经差相等的纬线弧长相等；不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极缩小。同一纬度带，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等；同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小,由低纬向高纬逐渐缩小。比较地图投影变形的性质，可分为3个方面：长度变形面积变形角度/形状变形3.地图投影变形的性质长度变形是地面上实际长度按主比例尺缩小后与图上相应长度之比。长度比是投影面上一微小线段和椭球面上相应线段长度之比。设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds，则平面上微小线段与球面上相应微小线段之比为长度比。用公式表示为：μ=ds’/ds长度比是一个变量，无正负。它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。dsds’（1）长度比和长度变形：长度变形即长度比（μ）与1之差，用V表示长度变形则：Vμ=μ-1长度变形Vμ有正负之分:

Vμ

>1，表示投影后长度拉长；

Vμ

<1，表示投影后长度缩短；

Vμ

=0，表示投影后某特定方向长度无变形。同一点上，一般不同方向上长度变形也不同。因此，研究长度变形，不是逐一研究各个方向的长度比，而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a）和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。投影后经纬线成正交，经纬线长度比就是最大和最小长度比（a和b）投影后经纬线不正交，其夹角为θ,则经纬线长度比m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系：

m2+n2=a2+b2

m·n·sinθ=a·b（1）长度比和长度变形abcda’（d）oo’b’（a）c’（b）d’（c）在主方向上，具有极大和极小长度比。当经纬线投影后为正交垂直，经纬线方向就是为主方向，如高斯-克吕格投影。但也有一些投影后经纬线斜交，因此，主方向与经纬线方向并不一致。（1）长度比和长度变形面积变形是地面上实际面积按祝比例尺缩小后与图上相应面积之比差面积比是投影平面上的微小面积dF’与球面上相应微小面积dF之比设面积比为P，则面积变形VP=P-1，亦即面积比与1之差面积比是个变量，它随点位置不同而变化。有P>1、P<1、P=0的情况，但没有负数。面积变形有正负：VP=0，表示投影后面积无变形；VP>1，表示面积变形为正，投影后面积增大；VP<1，表示面积变形为负，投影后面积缩小。(2)面积比与面积变形：(3)角度变形：投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差，称为角度变形（ω）。过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。(3)角度变形：角度变形是投影后平面上任意两方向线夹角与椭球面上相应两方向线夹角之差形状变形是地图上物体轮廓与相应地面物体轮廓形状的不相类似。实际上，角度如果没有变形，形状变形也就不会发生。某定点上，方位角的变形，随不同方向而变形，所以，在一定点上，不同方向角的角度变形是不同的。研究角度变形，主要是研究最大角度变形。在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除在接触点位置外，一般情况下为椭圆，下面我们用数学方法验证一下。

（1）变形椭圆

3.变形椭圆与等变形线

设左图为球面微分圆，右图为投影到平面上的相应椭圆。A位于以经纬线为直角坐标轴X、Y的坐标系上，X’、Y’为投影后坐标轴，A’(x’，y’)是A(x，y)的投影，令经线长度比为m，纬线长度比为n，则:x’=mx，y’=ny，即x=x’/m，y=y’/n，将其代入圆的方程，x2+y2=r2，得：(x’/m2)+(y’/n)2=r2，两边都除r2，得：

(x’/mr)2+(y’+nr)2=1,mr为椭圆的长半径a，nr为椭圆的短半径b，因此，上式可写成x’2/a2+y’2/b2=1，这正是椭圆的方程式。这就证明了椭球体面上的微小圆，投影后为椭圆。故叫做变形椭圆。(1)变形椭圆研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，说明变形性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为b<μ<a;椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。(1)变形椭圆(2)等变形线：在各种投影图上，都存在着变形，并且不同点的变形数量常常是不一样的。为了便于观察和了解绘制区域变形的分布，常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线，它是根据计算的各种变形的数值（如P,ω）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。

等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状，因投影中心无变形，当从投影中心向外变形逐渐增大时，等变形线成同心圆状分布，如方位投影

等变形线通常是用点虚线来表示的

dabcd’oo’a’b’c’（3）主方向由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微小线段投影后一般不一定正交，例如设o是球面上一点，过o作两条垂线ac和bd，投影后为a’c’和b’d’。即地球面上角aob和角boc为直角，投影后分别为锐角a’o’b’和钝角b’o’c’。abcda’（d）oo’b’（a）c’（b）d’（c）（3）主方向设想ac、bd二垂线相对位置保持不变，并绕o点顺时针旋转，当旋转90度时，直角aob转到原来boc的位置，这时投影由原来的锐角转变成钝角；同样的，直角boc转到了cod的位置，它的投影由原来的钝角变为锐角。由此可见，一个直角在不同的位置下的投影有着不同的的大小，可以由锐角变为钝角，或者相反。那么在变化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保