专题05数列第一讲数列的递推关系（解密讲义）-2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测

专题05数列第一讲数列的递推关系01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析·解密高考03高频考点·以考定法考点一由的关系求通项命题点1等差数列命题点2等比数列考点二由累加法或者累乘法求通项命题点一由累加法求通项命题点二由累乘法求通项考点三其他常用方法04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）02考情分析·解密高考数列作为高考必考题，高考题型一般作为客观题、解答题出现，数列的递推关系经常在考题中出现。高考要求：递推关系与通项公式的运用：考查学生对数列递推关系和通项公式的理解和应用能力，要求学生能够掌握的关系求通项、累加与累乘法求通项以及其他常用方法。考点考向考题平面向量①由的关系求通项②由累加法或者累乘法求通项③其他常用方法2023年全国甲卷·T17，2023年新课标全国Ⅰ卷·T7、T20，2023年新课标全国Ⅱ卷·T8、T18，2022新高考全国I卷·T17，2022年新课标全国Ⅱ卷·T17、T3，2022年高考全国甲卷数学·T17，2021年新课标全国Ⅰ卷·T16、T17，2021年新高考全国Ⅱ卷T12、T17，2020年高考课标ⅢT17卷，2020·全国Ⅱ·理·T4、T6，2019·全国Ⅰ·T9考点一由的关系求通项命题点1等差数列典例01(2023年全国甲卷理科·第17题)设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．(2)因为，所以，，两式相减得，，，即，．典例02(2022年高考全国甲卷数学（理）·第17题)记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】(1)解：因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．(2)解：由(1)可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．典例03（2023年新高考1卷第7题）记Sn为数列an的前n项和，设甲：an为等差数列；乙：{A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】甲：an为等差数列，设其首项为a1，公差为则Sn因此{S反之，乙：{Snn}为等差数列，即即nan+1−S两式相减得：an=nan+1因此an所以甲是乙的充要条件，C正确.故选：C已知Sn求an的三个步骤(1)利用a1＝S1求出a1．(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))命题点2构造等比数列典例01(2021年高考浙江卷·第20题)已知数列前n项和为，，且．(1)求数列通项；(2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)当时，，，当时，由①，得②，①②得，又是首项为，公比为的等比数列，；(2)由，得，所以，，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；所以．预计2024年高考仍会从的关系求通项方向进行命制.1．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一））已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，若对任意正整数n，Sn+1A．−1,32 B．−1,52【答案】C【解析】因为Sn+1=−3当n=1时，S2=−3a当n≥2时，Sn=−3a即2an+1−所以2an+1−an所以2an+1−an所以2n则2nan所以Sn+1+a则Sn+a所以3−1当n为奇数时，3−12n−1>−a，而3−1当n为偶数时，3−12n−1>a，而综上所述，实数a的取值范围为−2,5故选：C2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，，解得，当时，．可得，整理得：，从而，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；所以，所以，经检验，满足，综上，数列的通项公式为；（2）略考点二由累加法或者累乘法求通项命题点一由累加法求通项典例01（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，易得，依次类推可得由题意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B．命题点二由累乘法求通项典例01【2022年新高考1卷17】记Sn为数列an的前n项和，已知a1(1)求an(2)证明：1a【答案】(1)an【解析】(1)∵a1=1，∴S1又∵Snan∴Snan∴当n≥2时，Sn−1∴an整理得：n−1a即an∴a=1×3显然对于n=1也成立，∴an的通项公式a(2)1a∴1a1典例02（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．（1）处理累加累乘法求通项，注意递推公式的形式特点；（2）注意检验是否符合预计2024年高考仍会从求数列通项的基本方法：累加与累乘法方向进行命制1．(江苏省南京市临江高级中学2023届高三下学期二模拉练)已知数列an的前n项和为Sn，满足(1)求a2,a(2)令bn=12n【答案】(1)a2=3，(2)T【解析】（1）∵a∴当n=2时，a2=3；当∵n−∴a∴=1又∵（2）由（1）得bn∴T12T=122．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由，则，两式相减得：，整理得：，即时，，所以时，，又时，，得，也满足上式．故．（2）由（1）可知：．记，设数列的前项和．当时，；当时，综上：考点三其他常用方法典例01（2020·全国·统考高考真题）数列满足，前16项和为540，则.【答案】【解析】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，.故答案为：7.预计2024年高考仍会从数列递推关系入手探求数列求和的方向进行命制1.（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考）已知数列满足：.则的前60项的和为（）A．1240B．1830C．2520D．2760【答案】D【解析】由，故，，，，….故，，，….从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；，，，….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.故.故选：D.2.（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）记数列的前项和为，且满足(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，证明对任意，；(3)某铁道线上共有列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数，试估算的值（结果保留整数）.参考数据：，，【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)5【解析】（1）因为，当时，，即，当时，，则整理得，当为偶数时，，，，……，累加得，即，当为奇数时，，，，，……，累加得，即，综上，可得，所以由可得；（2）设，则所以设，设函数，所以所以当时，，故可得，故设，所以恒成立，可知，则，令可得所以，则累加得：，所以，故，原不等式得证.（3）略（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）A·A·新题速递1．（2023·高三校考）已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由①得②，①—②可得：，所以（），又，，则，因此是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时也满足该式，所以.故选：C.2．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）记数列的前n项和为，，数列是公差为7的等差数列，则的最小项为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，因数列是公差为7的等差数列，则，因此，当时，，而不满足上式，当时，，即当时，，于是当时，数列是递增的，而，，则，所以的最小项为.故选：C3．（2023·高三校考）若数列满足：，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由①得，当时②由①②得当时也满足上式故选：D4.（2023·山东日照·高三一模）已知数列的前项和为，且满足，，设，若存在正整数，使得，，成等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】数列满足，，当时，，解得：；当时，，因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，，若存在正整数，使得，，成等差数列，则，所以①因为数列是单调递减数列，当时，由，解得：，舍去；当时，则，；当时，，，所以，①式不成立，所以，则有，解得：，故选：B.5．（2023秋·高三校考）（多选）在数列中，其前的和是，下面正确的是（）A．若，则其通项公式B．若，则其通项公式C．若，则其通项公式D．若，，则其通项公式【答案】BCD【解析】A：时，，当时，，而，故错误；B：由题设，，，，，…，则，故正确；C：由题设，，而，则，即，故正确；D：假设成立，当时，，即成立；若时，成立，则时，，此时，则也成立，故正确.故选：BCD6．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）（多选）已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.数列是等差数列 B.C. D.【答案】ABC【解析】因为，所以，所以，且，所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为，所以，所以选项AB正确；因为，所以，所以，所以，所以选项C正确，D错误．故选：ABC．7．（2023秋·山东德州·高三期中统考）设数列满足，，则______．【答案】1036【解析】且,当时，则有：①得，当时也符合上式，所以,故答案为：1036．8．（2023秋·高三校考）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，当时，；当时，，也满足，所以，所以，所以，又对一切恒成立，所以，整理得，解得或.即实数的取值范围为.故答案为：9．（广东省执信、深外、育才等学校2024届高三上学期12月联考数学试题）已知正项数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，求的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，且，则，可知数列为常数列，且，则，即，当时，，且也符合上式，所以.（2）由（1）可得，则，设的前n项和为，则，所以的前n项和为.BB·易错提升1．（2023秋·高三校考）已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由①得②，①—②可得：，所以（），又，，则，因此是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时也满足该式，所以.故选：C.2．（2022秋·江苏南通·高三期末改编）设数列首项，前n项和为，且满足，则满足的所有n的和为（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】由，得，两式相减得，则，当时，，所以，所以数列是以为首项为公比的等比数列，则，，故，由，得，所以，所以或5，即所有n的和为.故选：A3．（2023·河南开封·统考三模）已知数列的前n项和为，满足，函数定义域为R，对任意都有，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，可得；当时，，（），两式相减并化简得（），所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，则，所以，由，，可得，，，，的函数值以为周期，则故选：B4.（2023·广东肇庆·统考二模）设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（）A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4【答案】A【解析】，时，，相减可得：，即又时，，解得，满足，数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以．对任意正整数n，都有成立，得①，又②，②－①×3得：，又，所以，得，进而，由，得，即，记，则，以下证明时，，因为，即时，单调递减，，综上可得，满足等式的所有正整数的取值为1或3．故选：A．5．（江苏省宿迁市沭阳高级中学2023届高三下学期阶段检测一）（多选）设Sn是数列an的前n项和，且a1>0,aA．a1=13B．数列C．数列1Sn的前5项和最大【答案】AC【解析】∵a∴3a2=2又3an+1=2∴数列1Sn是