直线的交点坐标与距离公式-高二数学教材学案（人教A版）

2.3直线的交点坐标与距离公式

圜］目标导航

1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.

3.掌握两点间距离公式并会应用.

4.用坐标法证明简单的平面几何问题.

5.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.

6.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离.

矢嫉髀

赢点上两条直线的交点

1.两直线的交点

已知直线/i：A|x+Biy+Ci=O；，2：Air+&y+C2=0.点A(a,b).

(1)若点A在直线东4x+Biy+G=0上，则有.

(2)若点A是直线/)与12的交点，则有.

2.两直线的位置关系

[Aix+Biy+Ci—0,

方程组L…“一、的解一组无数组

[+。2=0—

直线与/2的公共点的个数一个—零个

直线与/2的位置关系—重合—

Aia+B［Z>+Ci=O,

【答案】,一八无解无数个相交平行

lA2a+B2b+C2=0.

知识点二两点间的距离

公式：点P1(X［,力),P2(X2,多)间的距离公式|PP2|=.

特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关.

(2)原点。(0,0)与任一点P(x,y)的距离|0口="/+,

［答案］-Xi))+(%-yi)2

知识点三点到直线的距离、两条平行线间的距离

点到直线的距离两条平行直线间的距离

定义点到直线的——的长度夹在两条平行直线间_________的长

知识点四对称问题

1.点关于点的对称

点P(xo,yo)关于4(。力)的对称点为P'(2a-xo,2gb).

2.点关于直线的对称

设点P(如泗)关于直线丁=匕1+。的对称点为P(x,y),则有1,X一龙。,，可求出x',y.

3.直线关于直线的对称

(1)若已知直线/1与对称轴/相交，则交点必在与对称的直线，2上，然后再求出/|上任一个已知点Pl

关于对称轴/对称的点那么经过交点P及点P1的直线就是12.

(2)若已知直线Z,与对称轴/平行，则与lx对称的直线和/!分别到直线/的距离相等，由平行直线系和两

条平行直线间的距离即可求出的对称直线.

/］跟踪训练

一、单选题

1.若点(根,〃)在直线/：3x+4y-13=0上，贝M+1的最小值为()

A.3B.4C.2D.6

【答案】B

【分析】根据(机-1『+〃2的几何意义为点(八〃)到点(1,0)距离的平方，其最小值即可转化为点(1,0)到直线

/：3x+4y-13=0的距离的平方.

【详解】由已知(根-丁+n2的几何意义为点(m,〃)到点(1,0)距离的平方，

故其最小值为点（1,0）到直线/：3x+4y-13=0的距离的平方，

即储二叶0-13|]=*

故选：B.

2.经过两直线4：2x-y+3=O与，2：x+2y-l=0的交点，且平行于直线3x+2y+7=0的直线方程是（）

A.2无-3y+5=0B.2x+3y-1=0

C.3x+2y-2=0D.3x+2y+l=0

【答案】D

【分析】首先求两直线的交点坐标，再设直线方程为3x+2y+相=0,将交点坐标代入方程，即可求出参数加

f2x—y+3=0[x=—1

的值，即可得解；【详解】解：由《二，八，解得,，所以直线4：2x-y+3=O与4：x+2y—1=0的

[x+2y-l=0[y=l

交点为（T，l），设与直线3x+2y+7=0平行的直线为3x+2y+加=0（m/7）,所以3x（-l）+2xl+m=0解得

〃z=l，所以直线方程为3x+2y+l=0；故选：D

3.在平面直角坐标系X。），中，已知直线x-2y+m=0（m＞0）与直线3=0互相平行，且它们间的距

离是石，贝卜〃+〃等于（）

A.-6B.1C.0D.2

【答案】C

【分析】先由直线x—2y+m=0（帆＞0）与直线x+/y-3=0互相平行，得至队=-2,再根据两平行线之间的

距离为际求解.

【详解】直线》一2丫+6=0（帆＞0）与直线工+〃丫-3=0互相平行，

所以〃=-2,

因为两平行线之间的距离d=x/5,

r-|/n+3|

所以6=L,

Vl+22

解得M+3]=5,

整理得2或-8（负值舍去）,

故zn+〃=2+（-2）=0.

故选：C.

4.点P为x轴上的点，A（l,2）,3（3,4）,以A,B,P为顶点的三角形的面积为8,则点P的坐标为（）

A.(7,0)或(—9,0)B.(7,0)或(—11,0)

C.（7,0）或（9,0）D.或（-9,0）

【答案】A

【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解.

【详解】设P（x,0）,直线AB的方程为*-y+l=0,

点尸到直线A8的距离4=中，|AB|=2a,

所以S=gx2女=8,解得：x=-9或x=7,

所以点P的坐标为（7,0）或（-9,0）.

故选：A

5.光线从点A（-3,5）射到x轴上，经x轴反射以后过点3（2,10）,光线从A到8经过的路程为（）

A.2立B.2逐C.5>/10D.106

【答案】C

【分析1先求出点A（-3,5）关于x轴的对称点为4（-3,-5）,再计算何回即为所求.

【详解】点4（-3,5）关于x轴的对称点为4（-3,-5）,则光线从A到8经过的路程为48的长度，即

|AB|=,J（-3-2）2+（-5-10）2=5J10.

故选：C.

6.已知6（44）与右侬也）是直线丫=履+1（改为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组

[a.x+b.y=l

1?­,的解的情况是（）

[a2x+b2y=\

A.无论％,6，鸟如何，方程组总有解

B.无论％,《，？如何，方程组总有唯一解

C.存在火，P\,p2,方程组无解

D.存在&,P,,P2,方程组无穷多解

【答案】B

【分析】通过耳（4，々）与6（生也）是直线y="+i上，推出对“2在也的关系，然后解方程组即可.

【详解】已知耳（4，々）与2（生也）是宜线丫=履+1（&为常数）上两个不同的点，

.b-,b,

=

所以"----，即qw%，并且a=k0K+1也=ka?+1,a2bl-aAb2=ka1a2-kaxa2+a2-a]=a2-a{.

a\~a2

所以依+打=1①

[a2x+b2y=1®

①x〃2-②xb[得：（cM-a2bJx=b2-%即（a,-a2）x=b2

所以方程组有唯一解.

故选：B

7.过点P（Ll）引直线，使A（2,3）,8（4,-5）到它的距离相等，则该直线的方程是（）

A.4x+y-5=0B.x+4y-5=0

C.x+y-2=0或4x+y-5=0D.x+y-2=0或x+4y-5=0

【答案】C

【分析】当直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离相等求

解即可.

【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为x=l,A（2,3）,3（4,-5）到它的距离分别为1,3,不合题意；

当直线斜率存在时，设直线方程为y-l=Mx-l）,即H-yT+l=O,由A（2,3）,8（4,—5）到它的距离相等

得必：3T+l|=|4"5k+l|,解得上=_i或T,即直线方程为x+y_2=0或4x+y_5=0.

VA:+1+1

故选：C.

8.已知直线/经过点23,1）,且被两条平行直线rx+y+l=O和3x+y+6=0截得的线段长为5,则直

线/的方程为（）

A.x=2B.x=3

C.y=oD.y=2

【答案】B

【分析】根据已知条件分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，直线/与直线4和4相交，联立方程组求

出交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求解.

【详解】直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=3,

此时/与直线44的交点分别为A（3,-4）1（3,-9）,

截得的线段长|A@=|1-4+9|=5,符合题意.

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-1=%（》-3）,

且设直线/与直线4和12的交点分别为AB.

y-l=fc(x-3)3k-2-4Z+1y-1=Z:(x-3)3k-7-9A+1

解方程组，解得a解方程组,解得B

x+y+l=Ok+14+1x+y+6=0k+1'k+\

山|AB|=5,得(听/3氏-7丫j-4k+l

k+1J[k+1

解得％=0,即所求直线/的方程为y=l.

综上所述，所求直线/的方程为x=3或y=L

故选：B.

二、多选题

9.下列说法中，正确的有（）

A.直线》="+2«+3（4€尺）必过定点（一2,3）

B.直线y=2x-l在y轴上的截距为1

C.直线+2=0的倾斜角为60°

D.点（1,3）到直线y+2=（）的距离为1

【答案】AC

【分析】对A,化简方程令”的系数为0求解即可.对B,根据截距的定义辨析即可.对C,求出直线的斜率再根据

斜率与倾斜角的关系辨析即可.对D,利用横纵坐标的差求解即可.

【详解】对A,化简得直线y=a（x+2）+3.故定点为（-2,3）.故人正确.对8,y=2x-I在y轴上的截距为T.

故B错误.对C,直线-y+2=0的斜率为6,故倾斜角。满足tan6=后，e［。，180。），即。=60°.故C正确.

对D,因为直线y+2=0垂直于y轴,故（1,3）到y+2=0的距离为3-（-2）=5.故D错误.故选：AC.

10.设直线4：y=px+q,4：y="+6,则下列说法错误的是（）

A.直线4或4可以表示平面直角坐标系xoy内任意一条直线

B.4与4至多有无穷多个交点

c.4〃4的充要条件是p=z

D.记4与4的交点为M,则y-px-q+〃y-丘-。）=0可表示过点M的所有直线

【答案】ACD

【分析】利用反例判断A,根据两直线的位置关系的充要条件判断B、C,根据交点直线系方程判断D；

【详解】解：对于A：当直线的斜率不存在时，直线方程为*=帆（阳为直线与x轴的交点的横坐标）此时

直线4或4的方程无法表示，故A错误；对于B：当。=4且勺=匕时，两直线重合，此时两直线有无穷多个

交点，故B正确；对于C：当。=%且4=匕时/"4,故C错误；对于D：记4与4的交点为“，则M的坐

标满足4：y=px+g且满足4：y=履+匕，则y-px-q+/i（y-"-。）=0不表示过点M的直线4，故D错误；

故选：ACD

11.下列说法中，正确的有（）

A.点斜式y-x=k（x-xj可以表示任何直线

B.直线y=4x-2在y轴上的截距为—2

C.直线2x-y+3=0关于x-y=0对称的直线方程是x-2y+3=0

D.点P（2,l）到直线的火+（4-1）），+4+3=0的最大距离为2所

【答案】BD

【分析】点斜式方程不能表示斜率不存在的宜线判断A；直接令x=0求解直线在y轴上的截距判断B；结

合关于直线尤-y=0对称的点的关系求解判断C；结合直线过定点。（-4,3）求解即可判断D.

【详解】解：对于A选项，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故错误；对于B选项，令x=0得y=-2,

所以直线y=4x-2在y轴上的截距为_2,正确；对于C选项，由于点（乂力关于直线x-y=0对称的点为

（y,x）,所以直线2x-y+3=0关于x-y=0对称的直线方程是x-2y-3=0,故错误；对于D选项，由于直

线依+（a-l）y+a+3=a（x+y+l）-（y-3）=O,即宜线过定点Q（Y,3）,所以点尸（2,1）到直线的

or+（a—l）y+a+3=0的最大距离为|PQ|=2而，故正确.故选：BD

12.下列结论错误的是（）

A.过点A（l,-3）,B（-2,0）的直线的倾斜角为45

B.直线x-2y-2=0与直线2x-4y+l=0之间的品巨离为百

C.已知点A（3,l）,3（2,3）,点尸在y轴上，贝”/科+归用的最小值为病

D.已知两点A（-3,4）,B（3,2）,过点P（l,0）的直线/与线段AB没有公共点，则直线/的斜率的取值范围是

（-OO,-1）5L+O°）

【答案】ABD

【分析】求出直线A8的斜率，再由斜率的定义求出倾斜角可判断A；根据两平行线间的距离可判断B；点

5（2,3）关于V轴的对称点为C（-2,3）,则|R4|+|PB|=|R4|+|PC|N|AC求出最小值|AC|可判断C；求出临界

值%，和即B，由原,<《<即8可判断D,进而可得符合题意的选项.

【详解】对于A,因为A（l,-3）,B（-2,0）,所以勤=匚厂］=-1,因为直线的倾斜角的范围为［0/80）,

所以直线的倾斜角为135,故选项A错误；对于B,由2x-4y+l=0可得x-2y+；=0,与x-2y-2=0平

1-（-2）厂

行，则两条平行直线间的距离为［=_?_______=至，故选项B错误，

2

对于C,点8（2,3）关于。轴的对称点为（7（-2,3）,则|P8|=|P。，所以

I+1PB\=\PA\+\PC\>\AC\=^（-2-3）2+（3-1）2=729,1PAi+|冏的最小值为朝，故选项C正确，

对于D,kpA==j=T,即s=二=1，又因为直线/与线段48没有公共点，所以一1<%<1，故选项D

错误，故选：ABD.

三、填空题

13.直线4：x+y+2=0与直线/2：2x+2y-1=0之间的距离为.

【答案】—

4

【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案.

【详解】因为直线4：x+y+2=0与直线份+29=0平行,

而直线，2：2x+2y-l=0可化为£x+y-^=O,

故直线0x+y+2=0与直线/,：2x+2y-l=0之间的距离为受了一二科5金,

V24

故答案为：逑

4

14.点尸在函数y=e'的图象上.若满足到直线y=x+”的距离为④的点户有且仅有3个，则实数。的值为

【答案】3

【分析】要满足到直线的距离为夜的点尸有且仅有3个，则需要直线与函数y=e'的图象相交，而

且点尸在函数y=e'的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为收，另外一侧两个点到直线距离为

夜.利用导数的的几何意义和切线的斜率，求出切点尸的坐标，再根据点到直线的距离公式即可求出结果.

【详解】过函数y=e，的图象上点P（%%）作切线，使得此切线与直线y=x+a平行，又了=^,于是e~=l,

则超=0,%=1；所以P（O,1）,于是当点P到直线y=x+a的距离为&时，则满足到直线V=x+”的距离为

0的点尸有且仅有3个，

所以”=百言=加,解得。=-1或〃=3,

又当。=-1时，函数y=e，的图象与宜线y=x-l没有交点，所以不满足；故“=3.

故答案为：3.

15.已知直线4：爪-3y+9b=0与4：2x+y+〃+3=0,其中已匕eR.若直线4〃4，则：与4间距离的最小

值是.

【答案】史

20

【分析】先由4〃，2求出/的值，再由两平行线间的距离公式表示出《与4间距离，从而可示出其最小值

【详解】因为4：米-3y+9b=0与4：2x+y+）+3=0,且4〃4，

所以（=-2,得k=-6,

所以直线4：-6x-3y+9b=0,ER2x+y-3h=0,

所以4与4间距离为_忙+3+3._（"2）+4,

所以当b=时，d取得最小值4_3>/5

2店一方

故答案为：拽

20

16.设M(x,x+1),N(l,-1),则|MN|的最小值为；已知x、y满足x-y+l=0,若

d=ylx*2+y2+6x-l0y+34+^x2+/-4x-30y+229，则d的最小值______.

［答案］述腐

2

【分析】利用两点间的距离公式及二次函数的性质即可求解IMN|的最小值；将已知转化为

d=7(x+3)2+(y-5)2+7(x-2)2+(y-15)2,可看作点A(-3,5)和B(2/5)到直线x-y+l=。上的点的距离之和,

求出点A关于直线的对称点A的坐标，则d的最小值为IABI,计算可得结论.

【详解】解：因为—,N(l,-1),

则|MN\=7(x-l)2+(x+l+l)2=x/2x'+2x+5=

即IMN|的最小值为乎；d=y/x2+y2+6x-lQy+34+ylx2+y2-4x-30y+229

=J(x+3>+(y-5)2+J(x-2)2+(y-15)2，

可看作点A(-3,5)和8(2,15)到宜线x-y+1=0上的点的距离之和，

A(-3,5)关于直线x-y+1=0的对称点设为A5,%),

-3+%0_5+>>0+1=()

22

则1、，s，解得%=4,y0=-2,

%+3

所以A'的坐标为(4,-2),

则d的最小值为|A'8|=J(2-4)2+(15+29=呵

故答案为：—;V293.

2

四、解答题

17.已知点A(0,2),直线/|：x-y-l=0,直线右：x-2y+2=0.

(D求点A关于直线4的对称点B的坐标;

(2)求直线/,关于直线乙的对称直线方程.

【答案】⑴(3T)；(2)2x-y-5=0

“丝-1=0

【分析】(1)设点8(x,y),则由题意可得、，解方程组求出乂儿从而可得点8的坐标,

.0

(2)先求出两直线的交点坐标，再在直线4上任取一点，求出其关于直线4的对称点，从而可求出直线4关

于直线4的对称直线方程

“工1=0

22

【详解】(1)设点B(x,y)，则由题意可得

匕…

x-0

x=3

解得

y=-l

所以点8的坐标为(3,-1),

x-y-l=0.x=4

⑵由x-2y+2=0'f'J；一。，所以两直线交于点C(4,3),

)=3

在直线4：x-2y+2=0上取一点DQ1),设其关于直线4的对称点为E(x0,%),则

22x0=2

,解得,,即E(2,-1),

)'。-1%=T

-1=-1

%-0

而I”L-3-(一1)_

川「以k-―—―=2,

4—Z

所以直线CE为y—3=2(x—4),即2x—y—5=。,

所以直线4关于直线4的对称直线方程为2x-y-5=0

18.已知AABC的三个顶点是A(-2,3),巩-3,-2),C(l,2).

(1)求边8C的垂直平分线方程:

⑵求J8C的面积.

【答案】⑴x+y+i=o；⑵8.

【分析】(1)利用中点坐标公式可求得BC中点，结合垂直关系可得所求直线斜率，由此可得直线方程;

(2)利用点到直线距离公式和两点间距离公式可分别求得点A到边BC的距离d和忸C|,山S.c=^\BC\-d

可得结果.

7+2

【详解】(1)由优。坐标知：BC中点为(-1,0)；又怎。=心

•••边BC的垂直平分线的斜率左=一1,

所求垂直平分线方程为：y=—(x+l),即x+y+l=O；

⑵由⑴知：L=1，则直线BC方程为：y-2=x-l,即x-y+l=O；.•.点A到边5c的距离

公匕尹=2夜，

72

又忸C|=J(l+3)2+(2+2『=4应,...SiABC=1|BC|.J=1X4V2X2V2=8.

19.已知直角坐标平面xOy内的两点A(5,-3),B(l,l).

(1)求线段A8的中垂线所在直线的方程；

(2)一束光线从点A射向y轴，反射后的光线过点8,求反射光线所在的直线方程.

【答案】⑴x-)'-4=0；⑵2x-3y+l=0

【分析】(1)求出A8的中点坐标及A3中垂线的斜率，进而求出方程：

(2)求出A关于y轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程.

【详解】(1)：A(5,-3),8(1,1)

•••中点为(3,—1).且口"=翌=-1.

•••线段48的中垂线的斜率为1,

由直线方程的点斜式可得线段A5的中垂线所在直线方程为y-(-1)=x-3即x-y-4=0.

(2)：A(5,-3)关于y轴的对称点4(一5,-3),

-3-12

AB-5-13

9

所以直线A8的方程为：y-l=j(x-l),

即反射光线所在的直线方程为2x-3y+l=0

20.已知直线，：3x+4y-1=0和点尸(1,1).

(1)求经过点P,且与直线/平行的直线的方程；

(2)求经过点尸，