第1章 数字逻辑的基础知识-zy

数字逻辑电路张艳

电信楼4241第1章数字逻辑的基础知识1.1数字电路的信号1.2数字电路所用的数制1.3数字电路常用的码制与编码1.4逻辑代数基本知识2模拟量：在时间上和数值上连续变化的物理量。数字量：在时间上和数值上都不连续的（离散的）物理量。1.1数字电路的信号1.1.1模拟量与数字量信息：声音、图形、图像、视频影像、文字、符号等。信号：以电压或电流的量表示（或约定）的信息，分模拟信号和数字信号两种。3

数字信号：表示数字量的信号。 如电压的高低、晶体管的饱和与截止、开关的通断等等。 在数字运算时采用二进制数制。相对模拟电路而言，数字电路具有误差小、抗干扰性强、精度高、容易保存等优点。工作在数字信号下的电子电路叫做数字电路。1.1.2

数字电路及其信号1.1数字电路的信号41.2.1二进制数1.2

数字电路所用的数制十进制数(n位整数、m位小数）：(D)10=kn–1×10n–1+kn–2×10

n–2…+k1×101+k0×100+k–1×10–1+k–2×10–2+…+k-m×10–m

例如：(1234．056)10=1

103

2

102

3

101

4

100

0

10–1

5

10–2

6

10–3数制：用一组数码采用一定的计数规则表示数量。常用数制：十进制，二进制，八进制，十六进制5十进制，二进制，八进制，十六进制逢二进一逢八进一逢十进一逢十六进一6N进制数(n位整数、m位小数）

：(D)N=kn–1×Nn–1+kn–2×N

n–2+…+k1×N1+k0×N0+k–1×N–1+k–2×N

–2+…+k–m×N–m二进制数(n位整数、m位小数）

：(D)2=kn–1×2

n–1+kn–2×2

n–2+…+k1×21+k0×20+k–1×2–1+k–2×2

–2+…+k–m×2–m十进制数：(D)10=71.2.2二进制数和十进制数的互相转换1.二进制数-十进制数转换将二进制数按位权展开相加即可例1-4将二进制数(11010.011)2转换成十进制数。解：(11010.011)2=1

24+1

23+0

22+1

21+0

20+0

2

1+1

2

2+1

2

3=1

16+1

8+0

4+1

2+0

1+0

0.5+1

0.25+1

0.125=(26.375)1081.2.2二进制数和十进制数的互相转换2、十进制数-二进制数转换

整数部分的转换：例1-1将十进制数(27)10转换成二进制数。解：按连续除以2的步骤进行得(27)10=(11011)2。对整数部分和小数部分分别进行转换9小数部分的转换：例1-2将十进制小数(0.8125)10转换成二进制小数。解：按连续乘以2的步骤进行(0.625)10=(0.101)2

10例1-3将(0.4)10转换成二进制小数。解：按连续乘以2的步骤进行结果是无限循环，取所需要的位数即足够精度，得(0.4)10=(0.011011…)2111.2.3八进制数和十六进制数每3位二进制数对应转换成1位八进制数，整数和小数应分别转换。例1-5将(10110.01011)2转换成八进制数。解：得(10110.01011)2=(26.26)81、八进制数与二进制数的转换121.2.3八进制数和十六进制数每4位二进制数对应1位十六进制数例1-6将二进制数(1011010.01111)2转换成十六进制数。解：得：(1011010.01111)2

=(5A.78)162、十六进制数与二进制数的转换131.2.3八进制数和十六进制数将八进制和十六进制转换成十进制，只需像二进制转换时那样，按位权展开求和即可。例1-7将十六进制数（5A.78）16转换成十进制数。3、十六进制数——十进制数的转换4、八进制数——十进制数的转换14例1-8将(43.3125)10转换成八进制和十六进制数解：(43.3125)10=(101011.0101)2=(53.24)8=(2B.5)16可以将十进制数先转换成二进制数，然后再转换为八进制或十六进制数。1.2.3八进制数和十六进制数5、十进制数——八进制数、十六进制数的转换15十进制数二进制八进制十六进制00000000001000101102001002203001103304010004405010105506011006607011107708100010809100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F不同进制数的对照表161、写出4位二进制、4位八进制数和4位十六进制数的最大数。2、与4位二进制、4位八进制数和4位十六进制数的最大数等值的十进制数各为多少？3、怎么实现八进制和十六进制之间的相互转换？思考题17编码：确定代号的过程。码制：编码所依据的规则。代码：用数码来作为不同事物的代号。1.3

数字电路常用的码制与编码18二进制算术运算的特点算术运算：1：和十进制算数运算的规则相同

2：逢二进一特点：加、减、乘、除全部可以用移位和相加这两种操作实现。（举例说明）简化了电路结构所以数字电路中普遍采用二进制算数运算19201、原码：在定点运算中，以最高位作为符号位，

0表示正数，1表示负数;其绝对值在符号位之后用二进制数表示。例：正数原码N1=(+1100101)2=

(01100101)2

负数原码N2=

(−1100101)2=

(11100101)21.3.1

原码、反码和补码+89=(01011001)2-89=(11011001)2212、反码：以最高位作为符号位，0表示正数，1表示负数，其绝对值在符号位之后;正数同原码；负数用0、1互换（取反）的二进制数表示。例：正数反码N1=(+1100101)2=

(01100101)2

负数反码N2=

(−1100101)2=

(10011010)222计算机中以有限的二进制位来表示数据，假定参加运算的数为n位二进制数，共能表示2的n次方个不同的数据，其模便为2n。一般的，假定M为模，若数a和b满足a+b=M，则称a，b互为补数。

a+b=256=255+1=a+[a]补[a]补=255+1-a=255-a+1取反3、补码：23补码：最高位为符号位（0为正数，1为负数），其绝对值在符号位之后正数的补码和它的原码相同负数的补码=数值位逐位求反(反码)+1例：正数补码 N1=(+1100101)2=

(01100101)2负数反码N2=

(−1100101)2=

(10011010)2

负数补码 N2=

(−1100101)2=

(10011011)224补码的应用主要应用于两个数的减法运算。当两个数做减法运算时，可转化为被减数与减数补码的加法运算。25不考虑符号位2627例1-11有两个数N1=+1011000，N2=+0100110计算N1

N2的值。解：[N1

N2]补=[N1+(

N2)]补=N1补+(

N2)补

=01011000+11011010用竖式表示

01011000

+11011010100110010(58)16(88)10(26)16(38)10(32)16(32)16=(3×16+2)10=(50)10(88-38)10=(50)10溢出丢弃符号位，正数正数的补码与原码相同N1

N2=+011001028例1-12有两个数：N1=+0100110N2=+1010010计算N1

N2的值。解：[N1

N2]补=[N1+(N2)]补=N1补+(N2)补=00100110+10101110用竖式表示

00100110

+1010111011010100(26)16(38)10(52)16(82)10符号位，负数(-44)10(82)10-(38)10=(44)10负数的补码需变为原码1010100-1=1010011取反0101100N1

N2=010110029两个补码表示的二进制数相加时的符号位讨论例：用二进制补码运算求出13＋10、13－10、－13＋10、－13－10解：负数的补码需变为原码13和10用四位二进制表示结果相同13和10须用5位二进制表示结论：将两个加数的符号位和来自最高位数字位的进位相加，结果就是和的符号30注意：在两个同符号数相加时，它们的绝对值之和不可超过有效数字位所能表示的最大值，否则会出错！（1）1101+0101（2）-1011-101031十进制 原码反码 补码–8

11000

10111

11000？–7 1111 1000 1001–6 1110 1001 1010：

：

：

：

：

：

：

：

–1 1001 1110 1111

–0 1000 1111 ——

0 0000 0000

0000+1 0001 0001

0001

：

：

：

：

：

：

：

：

+7 0111 0111

011132思考题1、二进制正、负数的原码、反码和补码三者之间是什么关系？2、如何求二进制数补码对应的原码？33

由于定点运算中符号位的存在，当两个数运算时，如果两个数的位数不一致，则需要调整两个数的位数使之一致。 即将位数少的数的位数增至与另一数位数相同。有小数的数在调整时应将两个数的整数的位数与小数的位数分别调整至相同。4、小数的表示与字长34原码：除符号位外，整数部分补0至最高位，小数部分补0至最低位。反码：除符号位外，整数部分补1至最高位，小数部分补1至最低位。补码：除符号位外，整数部分补1至最高位，小数部分补0至最低位。正数原码、反码、补码：整数部分补0至最高位，小数部分补0至最低位。负数35例1-9：写出正数7.5、4.6875的整数、小数各4位字长以及各8位字长的原码、反码、和补码。解：4位(7.5)10原码、反码、补码全为：(0111.1000)2

8位(7.5)10原码、反码、补码全为：(00000111.10000000)24位(4.6875)10原码、反码、补码全为：(0100.1011)28位(4.6875)10原码、反码、补码全为：(00000100.10110000)2364位负数反码：−7.5—

1000.0111

−4.6875—

1011.01008位负数反码：−7.5—

11111000.01111111

−4.6875—

11111011.010011114位负数补码：−7.5—

1000.1000

−4.6875—

1011.01018位负数补码：−7.5—

11111000.10000000

−4.6875—

11111011.01010000解：4位负数原码：−7.5—1111.1000

−

4.6875—1100.10118位负数原码：−

7.5—10000111.10000000

−

4.6875—10000100.10110000例1-10：写出负数7.5、4.6875的整数、小数各4位字长以及各8位字长的原码、反码、和补码。371.3.2BCD码（二-十进制编码）二-十进制码：是以二进制数（0，1）编码的方式表示一个十进制数。BCD码是上述方式的统称(BinaryCodedDecimal)。一般1位十进制数需要4位二进制数来表示。而4位二进制数的排列组合多达16种，从中取10种即可。388421BCD码： 从二进制编码0000、…、1111（4位自然二进制码）中取前十个数来表示0、1、…、9的编码称为8421BCD码。几种常见的BCD码这是一种有权码，即将二进制数按其位权值相加就可得到相应的十进制数的数值

。39有权码与无权码有权码：每一位二进制数代表固定的数值，则为有权码，也称之为恒权码。无权码：每一种二进制数的组合对应代表一个十进制数，每一位二进制数不代表固定的数值，则为无权码，也称之为变权码。40有权码还有2421码、5121码等，但与8421码不同，它们的编码方式不是唯一的。如2421码中的7既可以表示成1101，也可以表示成0111。5121码中6可以表示成1100或1001。十进制数842124215121余3码0123456789000000010010001101000101011001111000100100000001001000110100101111001101111011110000000100100011011110001100110111101111001101000101011001111000100110101011110041余3码是一种无权码，将表示8421码的数码加3（0011）即得到相应的余3码。十进制数842124215121余3码01234567890000000100100011010001010110011110001001000000010010001101001011110011011110111100000001001000110111100011001101111011110011010001010110011110001001101010111100余3码也是一种对称码。42格雷码是一种无权码，也称为循环码。其特点是：每两个相邻代码中的数码仅有一位不同，其余各位均相同。而且首尾(0和15)两个代码也仅有一位不同，构成“循环”1.3.3格雷（Grray）码十进制数格雷码十进制数格雷码01234567000000010011001001100111010101008910111213141511001101111111101010101110011000表1-3格雷码数码表43美国信息交换标准代码（ASCⅡ）ASCⅡ是一组七位二进制代码，共128个应用：计算机和通讯领域

44思考题你能写出3位和5位格雷码的顺序编码吗？45只有当决定事物某一结果的全部条件同时具备时，这个结果才会发生，这种因果关系叫做逻辑与，或者叫逻辑乘。1.4

逻辑代数基本知识1.4.1基本运算

逻辑运算中，最基本的运算是与、或、非三种。这种逻辑关系表达式为214V+-000101110100ABYBYA1.与逻辑46真值表：将变量所有取值组合和所对应的函数值列成表，就是真值表。

A

B

Y

0

0

0

0

1

0100

1

1

1与逻辑的真值表如下：47

当决定事物某一结果的一个或多个条件具备时，这个结果就会发生，这种因果关系叫做逻辑或，或者叫逻辑加。这种逻辑关系表达式为BY214VA+-真值表000111110110ABY2.或逻辑483.非逻辑：

某一结果的发生在相反条件下。真值表为：非逻辑的函数表达式为：

101AY0Y214VA+-R49与、或、非门的符号表示(c)非门(a)与门(b)或门国标符号≥1&1曾用符号+外文资料常用符号在数字逻辑电路中，将能实现基本逻辑关系的基本单元电路称为逻辑门电路。501.与非逻辑：把与逻辑运算和非逻辑运算相结合可实现与非逻辑，其逻辑式为：2.或非逻辑：把或逻辑运算和非逻辑运算相结合可实现或非逻辑，其逻辑式为：1.4.2复合运算

基本运算与、或、非的各种组合。513.与或非逻辑：把与逻辑运算、或逻辑运算和非逻辑运算相结合可实现与或非逻辑。其逻辑式为：4.同或逻辑：只有两个输入逻辑变量参与运算的逻辑函数。当两个输入相同时，输出为1；而当两个输入不同时，输出为0。这种逻辑关系叫做同或。用与、或、非运算可以表示同或的逻辑关系。其表达式为其逻辑式为：525.异或逻辑：只有两个输入逻辑变量参与运算的逻辑函数。当两个输入不同时，输出为1；而当两个输入相同时，输出为0。这种逻辑关系叫做异或逻辑。用与、或、非运算可以表示异或的逻辑关系。其逻辑表达式为：同或逻辑与异或逻辑互为反运算。即：证明？？53各种逻辑运算的符号(c)与或非逻辑(a)与非逻辑(b)或非逻辑(d)同或逻辑(e)异或逻辑国标符号≥1&≥1&=1=曾用符号++☉⊕外文资料常用符号541、公理数字电路中变量取值只有0和1，根据逻辑运算规律可以有以下结论：0·0=01+1=10·1=01+0=11·1=10+0=01.4.3逻辑代数的定律552、定律逻辑代数运算有一定的规律。这些定律有些根据逻辑代数的性质就可以得出来，而有些需要证明。比如用等式变换法、真值表法等。560-1律A·0=0

A+1=1结合律A·(B·C)=(A·B)·C

A+(B+C)=(A+B)+C

自等律A·1=A

A+0=A分配律A·(B+C)=A·B+A·C

A+B·C=(A+B)·(A+C)重叠律A·A=A

A+A=A非非律互补律反演律交换律A·B=B·A

A+B=B+A吸收律

A+A·B=A

A·(A+B)=A逻辑代数的一般定律其中反演律也称为德·摩根定理，是个非常有用的公式。57逻辑代数的常用公式A+A·B=AA·(A+B)=A58(1)(3)证明：59在逻辑代数的基本公式中哪些公式的运算规则和普通代数的运算规则是相同的？哪些是不同的、需要特别记住的？思考题60任何一个含有变量A的逻辑等式中，若将等式中所有变量A都代之以另一个逻辑函数Y，则等式仍然成立，这就是代入规则。利用代入规则可以把单变量公式推广为多变量的形式。3.代入规则61（1）A+BC=(A+B)(A+C)

A+B(CD)=(A+B)(A+CD)

=(A+B)(A+C)(A+D)应用举例62注意：在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需遵守普通代数一样的运算优先顺序，即先算括号里的内容，其次算乘法（与），最后算加法（或）。63反演规则是说将原逻辑函数中所有的“·”变成“+”，“+”变成“·”

；0换成1，1换成0；原变量换成反变量，反变量换成原变量。这样所得到的新逻辑函数就是其反函数，或称为补函数。F的反函数记做对一个原函数求反函数的过程叫做反演。注意：仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先顺序；而且多个变量上的非号应保持不变，或视为一个子函数再进行反演。4、反演规则例1-13已知

，求Y的反函数。解：利用反演规则。64如果把任何一个逻辑表达式F中的“·”变成“+”，“+”变成“·”

；0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式，这个叫

F

的对偶式。对偶式记做F*，或F'

。对偶规则：如果两逻辑表达式相等，则它们的对偶式也相等。为了证明两个逻辑式相等，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成。前面给出的公式中许多皆互为对偶式，所以，对偶规则在证明和化简逻辑函数中被广泛应用。5、对偶规则多个变量上的非号应保持不变，与反演式不同，对偶式中，对变量不作变换。例1-14已知

，求Y

的对偶式Y

*。解：利用对偶规则65 Y=F(A,B,C,······)------若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。这种函数关系称为逻辑函数。注：在二值逻辑中， 输入/输出都只有两种取值0/1。逻辑函数及其表示方法6667逻辑函数的表示方法真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换68输入变量ABC····输出Y1Y2

····遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值真值表逻辑式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。69卡诺图EDA中的描述方式

HDL(HardwareDescriptionLanguage)VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)

VerilogHDL波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。70举例：举重裁判电路ABCY00000010010001101000101111011111真值表逻辑图逻辑表达式71例：奇偶判别函数的真值表A=0,B=1,C=1使

=1A=1,B=0,C=1使=1A=1,B=1,C=0使

=1ABCY00000010010001111000101111011110真值表逻辑式这三种取值的任何一种都使Y=1,所以

Y=?？72真值表逻辑式：找出真值表中使Y=1的输入变量取值组合。每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。将这些乘积项相加即得Y。把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表73逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。74751.4.4逻辑函数的标准形式

在逻辑函数的积项之和表示式(与-或表达式)中，在每个积项中均包含全部变量的原变量或反变量，称为最小项，用mi

来表示。1、最小项表达式n变量的函数有2n个最小项。

最小项之和最大项之积特点：逻辑函数的每一项中都包括全部变量，而且每一项中每个变量以原变量或反变量的形式只出现一次。76三变量逻辑函数最小项关系表。最小项使最小项为1的变量取值对应的十进制数编号0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7如两个输入变量的逻辑函数Y(A,B),有四个最小项：最小项表达式又称标准积之和式。

77(3)全体最小项之和为1；(1)变量的取值方法：原变量取1、反变量取0；(4)任意两个最小项的乘积为0；(2)对应于每一种变量取值组合，只有一个最小项值为1，其余均为0。最小项表达式有这样的性质：------相邻：仅一个变量不同的最小项两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。78逻辑函数最小项之和的形式：例：利用公式可将任何一个函数化为79从真值表写逻辑函数最小项式找出真值表中使Y=1

的输入变量取值组合。每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。将这些乘积项相加即得Y。802、最大项表达式

在逻辑函数的和项之积表示式(或-与表达式)中，在每个和项中均包含全部变量的原变量或反变量，称为最大项，用Mi

来表示。如两个输入变量的逻辑函数Y(A、B)，有四个最大项：最大项表达式又称标准和之积式。

n变量的函数有2n个最大项。

81三变量逻辑函数最大项关系表。最大项使最大项为0的变量取值对应的十进制数编号0000M00011M10102M20113M31004M41015M51106M61117M782(1)变量的取值方法：原变量取0、反变量取1；(3)全体最大项之积为0；(4)任意两个最大项的和为1；(2)对应于每一种变量取值组合，只有一个最大项值为0，其余均为1。最大项表达式有这样的性质：83从真值表写逻辑函数最大项式找出真值表中使Y=0

的输入变量取值组合。每组输入变量取值对应一个求和项，其中取值为0的写原变量，取值为1的写反变量。将这些求和项相乘即得Y。84n变量函数的最大项数目和最小项数目是相等的。例如，则最大项与最小项之间的关系最大项和最小项之间存在如下关系：85例1-15三个输入中有两个或两个以上变量取值为1，则输出为1，其余情况输出为零。解：根据命题逻辑列真值表，写出Y最小项式和最大项式，并用简洁式表示：ABCY00000010010001111000101111011111从和最小项的项号和最大项的项号互相错开。863、其他常用标准表达式任何逻辑函数都可以用最小项式或最大项式来表示，即：用最小项式或最大项式可以表示任何逻辑函数，这种性质即为运算集合的完备性。

从与、或、非运算集合的完备性可以推出其他运算集合的完备性。与非、或非、与或非等运算集合同样也具有完备性。解：变换为与非-与非式例1-16将最小项形式的逻辑式变换为“与非-与非”、“或非-或非”、“与-或-非”格式的标准式。87变换为或非-或非式：变换为与-或-非式：88有关异或运算的公式和定律（变换式）4、异或-与（以下简写异-与）标准表达式（交换率）（结合率）（分配率）（变换式）表示连续的异或运算89异-与标准型为：式中各个系数为：…………90………………这种形式称为里德-米勒（Reed-Muller）表达式。91以三变量逻辑函数来为例，形式为其中此式即是三变量逻辑函数异-与标准型。92任何逻辑函数都可写成最小项表达式，以三变量逻辑函数来讲，有将代入消去反变量，得到Y(A，B，C)=Y(0,0,0)m0+Y(0,0,1)m1+…+Y(1,1,1)m7又注意到，若i≠j

其中Y(0,0,0)、…Y(1,1,1)或为1或为0。93解：根据里德-米勒表达式，比较最小项可得出：例1-17将

化成异与式标准型。取系数取系数取系数任何逻辑函数都可以用异-与函数式来表示。94例1-18将化成异-与式标准型。解：利用关系式（i≠j）将最小项之和运算换成异或运算，并用消去反变量，得到运算过程中运用了、等公式，使结果简化。95例1-19将与或式写成异与表达式。

解：变换过程中用到公式96例1-20将Y=AB+AC

变换成异-与式。解：利用式可以直接变换971、

化简的目的是使逻辑函数中的项式最少，每一项包含的因子也最少。和

列出真值表就可以看出，它们是同一个逻辑函数。显然，后面的式子要简单得多。例如有两个逻辑函数1.4.5逻辑函数的化简982、代数法化简代数法化简就是利用逻辑代数的基本定律和常用公式来化简逻辑函数，所以，也叫公式法化简。化简过程就是不断地用等式变换的办法消去函数式中多余的乘积项和因子，使函数式最简单。经常有以下几种方法：（1）合并项法:（2）吸收法（3）消去法：（4）配项法：99（1）合并项法:[又例]利用公式可以消去B

和这一对因子，将两项合并为一项。例1-21试用合并项法化简下面的逻辑函数100利用公式A+AB=A和公式可将多余项消去。例1-22试用吸收法化简逻辑函数[又例]（2）吸收法：101例1-23试用吸收法化简逻辑函数解：A+AB=A102利用公式可将中的因子消去，也称消因子法。例1-24试用消去法化简下列逻辑函数解：（3）消去法：103[又例]104利用逻辑函数的基本性质和公式先增加项，后合并项，使函数简化冗余项例1-25试用配项法化简逻辑函数解：（4）配项法：这个例子用其他的方法也可以，证明的方法不只一种105例1-26化简逻辑函数再举几例解：106综合练习：107例1-27用公式法化简逻辑函数解：108逻辑式的或-与式也可以象与-或式那样化简，过程一样，但是一般人不太习惯，利用对偶规则将或-与式变为与-或式进行化简，再将简化后的与-或式用对偶规则还原为或-与式，同样可以化简。例1-28用公式法化简逻辑函数解：方法1：用或-与式形式直接化简109方法2：利用对偶规则将原函数的或-与式写出其与-或形式的对偶式，化简后再还原为原函数的或-与式例1-28用公式法化简逻辑函数110 卡诺图是美国工程师卡诺（Karnaugh）首先提出的，故以此命名。 作图时，把n变量逻辑函数中的2n个最小项各用一个小方格表示，这些最小项的位置是按逻辑相邻性原则排列的，即每个方格中的最小项与其周围相邻方格中的其它最小项只有一个变量不同(互补)，这种图形叫做卡诺图。简称K图。3、卡诺图法化简实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来。(1)卡诺图(Karnaughmaps)111各图中的Y3

，(a)、(b)、(c)、(d)中各代表AB=11、ABC=011、ABCD=0011、ABCDE=00011对应的函数值。变量取值对应的二进制数折合成十进制数即为对应Yi的下标i。112K图：二变量的K图以最小项方格图(按循环码排列)为例(四个最小项)ABAB0101AB0101二～五个变量最小项的卡诺图113三变量的K图：八个最小项ABC01000110111110K图的实质：逻辑相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑相邻紧挨着行或列的两头对折起来位置重合逻辑相邻：两个最小项只有一个变量不同逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：m0m1m2m3m4m5m6m7逻辑相邻114五变量的K图：四变量的K图：16个格（最小项）ABCD0001111000011110

六个变量K图64个格，当变量个数超过六个时，用K图法化简就困难了。ABCDE00011110000001011010110111101100以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几何相邻几何相邻几何相邻32个格（最小项）115对于以最小项表示的函数，用K图来表示逻辑函数的方法是，找到逻辑函数所包含的最小项，然后在K图上将这些最小项对应的位置处填1，其余部分填0，即得到该逻辑函数的K图。逻辑函数等于它的K图中填1的那些最小项之和。

同样，以最大项表示的函数，则将这些最大项对应的位置处填0，其余部分填1。逻辑函数等于它的K图中填0的那些最大项之积。（2）用K图表示逻辑函数116

需要注意：在用K图表示逻辑函数时，由于对变量、尤其是多变量的函数分割、安排的不同，同一个函数，其表现形式会有所不同。为了便于交流，作如下规定：1.变量数为偶时，将变量等分分别写于斜线的上下。2.变量数为奇时，写于斜线上方的变量多一个。3.将变量按ABCDE的顺序排列，先写AB于斜线的下方,后写CDE于斜线的上方。（2）用K图表示逻辑函数117ABCDE000001m1m0m3m201110m4m6m5m7000111m12m11m13m14m9m8m15m10010110111101100m28m26m29m30m25m24m31m27m20m19m21m22m17m16m23m18ABCDE（2）用K图表示逻辑函数118ABCD00011110000111100100010001011000例1-29将逻辑函数Y用K图表示。119K图化简法一般分以下几个步骤：(a)将逻辑函数按最小项（或最大项）填入相应的K图。(b)找出可以合并的相邻项（函数值为1的相邻格）。(c)合并所有相邻项，每项写出一个与（乘积）项式。(d)列出最简与-或式（将所有与项式相或）。（3）用K图化简逻辑函数注意：(a)每个能够合并的格数必须是2的整数次幂，即2、4、8…，构成矩形或方形；

(b)可合并的最小项圈中应包含尽量多的最小项，即圈尽量大,且圈尽量少；(c)最小项的每一格可以重复圈，但每个圈中至少有一格只圈过一次。（每一次圈都要至少包括一个新的小格）120例1-30用K图化简法将下式化简为最简与-或函数式1ABCD00011110000111101121ABCD00011110100011110111例1-30122ABCD000111101000111101111例1-3011123ABCD00011110000111101111100000000000例1-30填好1以后，余下的格填0124ABCD00011110100011110111100000000000例1-30对于项，也可以用代替，所圈的圈不一样，逻辑式也不同。125ABCD