2022届北京市高考数学一轮复习教案函数与导数（北京市高考研讨资料）

《函数与导数》

专题一分段函数2课时

专题二不等式恒(能)成立问题3课时

专题三函数的单调性2课时

专题四函数的极值和最值2课时

专题五函数的零点2课时

课题分段函数(第一课时)

教学目1.分段函数(不含参数)的概念及表示

标2.分段函数(不含参数)的图象和性质(值域、零点、单调性等)；

3.分类讨论和数形结合思想

重点分段函数(不含参数)的概念及表示

难点分类讨论和数形结合思想在研究分段函数中的应用

教学内2'Y<1

【例题1】已知函数/5)=।';则/(/(0))=_______；

容/(X)

-log2

的值域为_______.

过程间析：/(0)=2"=1,

画出该函数的图象：

/(l)=-log21=0；

当x<l时，/(x)=2'e(0,2),

当xNl时，/(x)=-log2x<0,

所以f(x)的值域为(—,2)-2-10IK23

小结：复习分段函数的概念，明

确分段函数的定义域、值域的含

义。能利用分类讨论和数形结合日向方法研究分段函数的值域。

2rr<l

【变式练习1］已知函数/(%)=।\则方程/。)=1的解为

-log2X,X..1,

答案：0

?'r<1

【变式练习2］已知函数/*)=।:若实数则

-log,

"(a+1)-/(a)|的取值范围是_______.

答案：(0,1］

【变式练习2-1】将条件”改为a<0、acR,

分别是何答案？

答案：依次为。1]；口,2)；(0,2)

2'r<1

【变式练习2-2]已知函数〃尤)=「''若

-log,X,X..1,

1/3+1)-八切>1恒成立，则实数。的取值范围是.

答案：(0,1)

Y<0

【例题2】已知函数/(x)=c；一八，若/(幻>/(一%),贝1」实数》的

2x+3,x〉0

取值范围是.

过程简析：

方法1：当x>0时，2x+3>(-x)2,得一l<x<3,故0<%<3；

当x=0时，/(0)=/(-0),舍；

当x<0时，X2>-2x+3»解得x<-3时>1故％<-3

综上，实数x的取值范围是(3,-3)U(0,3).

方法2：图象法。

x~X<0

【变式练习1]己知函数/(x)=c'[八，若/(X)>/(-X),则实

-2x-3,x>0

数x的取值范围是.

过程简析：(对比三种方法)

方法1：分类讨论；

方法2：图象法；

方法3：分析函数的单调性，知该函数是定义域R上的减函数，所

以实数x的取值范围是(-8,0).

■X2X<0

【变式练习2】已知函数/(x)=c'Jc，若/(/一3)>/(2X),

-2x-3,x>0

则实数x的取值范围是.

答案：(7,3)

【作业设计】

1.若函数〃x)=[,则函数y=/(x)-i的零点是.

答案：0或立

2.已知函数=若实数相以一2,0],则|f(x)-f(-1)1在

x--2x,x>0

区间[孙加+2]上的最大值的取值范围是()

A.[1,4]B.[2,4]

C.[1,3]D.[1,2]

答案：D

V<0

3.已知函数/(x)=，「Z若〃2-马>/(必则实数X的取值

ln(x+l),x>0

范围是

A.(-oo,-l)U(2,+oo)B.(-oo,-2)U(l,+co)

c.(-1,2)D.(-2,1)

答案：D

x24-2a,x<1,#=°

4.已知实数函数/(幻=，'若

-x,x>\.

则实数”的取值范围是

A.[-2,-l]u(0,+<®)B.[-2,-1]

C.(-8,0)D.(0,+oo)

答案：A

课题分段函数(第二课时)

教学目标分段函数(含有参数)的图象性质

重点1.根据分段函数(含有参数)的图象和性质(单调性、最值等)求

参数范围；

2.分类讨论和数形结合思想

难点分段函数的综合应用

教学内容(a-l)x+3a-4,(xK0)

【例题1】已知且。工1,函数/(©=

优,*>0)

为增函数，则。的取值范围是

A.(0,1)B.(1,+s)C.园D.加

。一1>0

过程简析：函数为增函数，所以需满足，a>1.\l<a<—9a的

3a-4<a°

取值范围是1]].故选：C

'(。一l)x+3a-4,(x«0)

【变式练习1]已知4>0且awl，/5)=<满足

[优，(x>0)

对任意实数，户吃，都有人切一/⑺>01

龙立，则。的取值范围是

演一.维

)

A.(0,1)B.(l,+8C.fl,1D.

答案：C

【变式练习2］已知”>0且awl,则“a>l”是“函数

（。一l）x+3。-4,（xWO）rz上

A©。S”>。）是增函数”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分而必要条件D.既不充分也不必要条件

答案：B

(a-l)n+3a-4,(〃<3)

【变式练习3］已知且"1,数列4一%—1)2,(〃〉3)

为递增数列，则。的取值范围是一—

小

答案：1<

3

【例题2】已知函数/⑴1二+2门4。，

，若函数/（X）为减函数，

［-2x,x>a.

则〃的取值范围是_________.

答案：,么WT

1+2*,xWa,若/⑺有2个零点，

【变式练习1］已知函数/（幻=<

-2x,x>a,

则〃的取值范围是________.

答案：,7>-2

x；+2x,…，若有2个零点，

【变式练习2】已知函数/Xx）一

-2x,x>a,

则〃的取值范围是_______.

答案：,7>-2

x2+2x,x<a,_e-、心日

【变式练习3】已知函数/（幻=；右。=0,则,f(x)的取

2x,x>a,

小值为________•

答案：-1

：+2L若/（x）无最小值，则〃

【变式练习4】已知函数/（》）=<

2x,x>a,

的取值范围是—_____•

答案：<--

【作业设计】

(«-2)x(x>2)

1.设函数”x）hCY“小是R上的单调递减函数，则实数〃的

⑸-l（x<2）

取值范围为（)

B.(13'

A.(-00,2)—00,一

8_

C.(0,2)D.

答案：B

；"一则"a40"是“函数/（X）在10,+<»）上单调递

2.已知函数/«=•

x~,x<a,

增”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A

3：储"，函数〃X）恰有2个零点,

3.已知函数〃x）=

则2的取值范围是

A.(fl]U(4,+℃)B.(1,3]U(4,+8)

C.(1,3)UF4,4W)D.(F,DU(4,+8)

答案：B

，—._.f-x2-2x,x<m

4已.1A知函数/(zx)=〈

x-^,x>m

①当〃?=0时，函数f(x)的零点个数为__________;

②如果函数AM恰有两个零点，那么实数机的取值范围为

答案:①3,②[-2,0)U[4,同

5.设函数f(x)={J;

^[x-a)[x-2a)yx>\.

①若4=1,则/(X)的最小值为；

②若“X)恰有2个零点，则实数〃的取值范围是.

答案:①—1，②34a<1或人2.

课题不等式恒(能)成立求参数范围

(第一课时)

教学目1.以一元二次不等式为例，复习不等式恒(能)成立求参数范围的基

标本思路和步骤

2.辨别量词，明确“恒成立”和“能成立”的区别

重点不等式恒(能)成立求参数范围的基本思路和步骤

难点对“分离变量”的认识

教学内复习引入：一元二次不等式恒成立(能成立)问题

容(1)关于x的不等式N+3+4>0恒成立，则实数加的取值范围为

(2)关于x的不等式*2+,依+4<0有解，则实数切的取值范围为

过程简析：

(1)由题意△<(),即加2—i6<0=T<m<4;

(2)由题意A>0,即根2_]6>0=>根<-4或相>4.

【例题1】已知对任意xG[l,2],不等式小+,姓+4〉0都成立，则实

数m的范围为.

过程简析：

解法1：①△<()时，符合条件；

②时，只需

mm

~2或一万

(八2)>0[/(1)>0

解得m>-4

解法2：①-^22时，只需f⑵>0

②《41时，只需/(1)>0

③l<-y<2H.只需/(-y)>0

解得m>-4

解法3：xe[1,2]时，x2+〃rx+4>0恒成立

4

即x+—>一〃[恒成立

X

〜4

因为xe[l,2],所以x,-eR+

4

当且仅当x=2即x=2时取“=”

x

所以只需4>-w

故〃7>-4

思考：你认为哪种方法更简捷？

【变式练习1]若将xe[l,2]改为xe[-l,2],你会选择哪种方法？

【变式练习2】存在尤01,2],使炉++4〉0成立，则实数〃?的范

围为.

答案：m>—5

【变式练习3】已知对任意xd[l,2),不等式N+烟+4〉。都成立，

则实数机的范围为.

答案：m>-4

【例题2】已知两函数yU)=2%2—3x—%伏为实数),g(x)=x—1.

若对任意xe[-3,3],都有於)<g(x)成立，求k的取值范围.

过程简析：对任意》气-3,3],都有40<g(x)，

即对任意xd[-3,3],都有2N—4x—女+1<0

2

令人(尤)ulr—4%一々+1,*0-3,3],只需h(x)max<0

解得心>31.

【变式练习1】已知两函数_Ax)=2%2—3x—%伏为实数)，

g(x)=x—1.若存在xG[-3,3],使於)<g(x)成立,求。的取值范围.

答案：k>~\

【变式练习2]已知两函数,/(x)=2x2—3x—Z伏为实数)，

g(x)=x—1.若对任意送(一3,3),都有fix)<g(x)成立，求k的取值范围.

答案：后31

【作业设计】

1.已知函数/*)=2加-+]4i+《4，其中〃£/?.当时，如果存在小£尺，

使得〃不)<0,试求〃的取值范围；

12

答案：ae(-oo,—)u(—,4-oo).

2.若存在x£R,使得.产丁一成立,求实数机的取值范围.

x--2x+3

答案：m>—2.

3.已知函数/")=/一3d-9x+l(xeR).若f(x)-2a+1N0对l/xe[-2,4]恒

成立，实数。的取值范围是.

答案：

2

4.已知函数/(X)=%3+以2+陵在X=—§与X=1时都取得极值.

(1)求服人的值与函数/(%)的单调区间；

(2)若对xs[T,2],不等式〃x)<c2恒成立，求c的取值范围.

答案：(1)a=~,b=-2,单调递增区间为卜巴-gj和(1,+00),单调

递减区间为卜|，1);

(2)。<-1或c>2.

5.设函数九)=2x3—%?+12x+8c,

(1)若对任意xW[O,3],都有«r)Vc2成立，求c的取值范围；

(2)若对任意x£(0,3),都有/U)Vc2成立，求c的取值范围.

答案：(1)y,T)U(9,+孙(2)S，T]U[9,+8).

课题不等式恒(能)成立求参数范围

(第二课时)

教学目标3.以一元二次不等式为例，复习不等式恒(能)成立求参数范围的

基本思路和步骤

4.常见的多变量问题及处理方式

重点不等式恒(能)成立求参数范围的基本思路和步骤

难点双变量不等式恒(能)成立

教学内容【例题1】已知函数/(x)=2x2—3x—Z(%为实数),g(x)=x-1.若对任意

孙及口-3,3],都有於i)<g(X2)成立，求「的取值范围.

过程简析：fix)=2x2—3x~k,[-3,3]>g(x)=x~1,[-3,3]

只需/(X)max<g(x)min，解得k>31.

【变式练习1】已知函数/)=2/—3工一人(左为实数),g(x)=x—l.若对

任意Xie[-3,3],存在及@[-3,3],使於i)<g(“2)成立,求上的取值范

围.

答案：只需人X)max<g(X)max,解得攵>25.

思考：你还可以提出哪些问题？请尝试解决。

【变式练习1-1]已知函数«x)=2x2—3x—%(上为实数),g(x)=x—1.若

存在XIC[-3,3],使对任意检七[-3,3],於i)<g(%2)成立,求人的取值

范围.

23

答案：只需./(X)min<g(x)min，角牛得k>--.

8

【变式练习1-2】已知函数«x)=2i2—3x—左(女为实数),g(x)=x-1.若

存在XI,X26[-3,3],使加l)<g(X2)成立，求左的取值范围.

25

答案：只需./(X)min<g(x))niax,解得%>—•—

8

【变式练习2】已知函数式x)=2x2一日一25伏为实数),g(x)=x—28.若

对任意㈤,尤2口1,3],都有段|)<g(X2)成立，求女的取值范围.

过程简析：y(x)=2x2—kx—25,xW[l,3],g(x)=x-1,xG[1,3]

只需/(X)max<g(x)min，即/(X)max<-27.

方法1:分类讨论

[/(1)<-2720

方法2：只需;;”解得上>与.

，/⑼<-2/3

【变式练习2-1】已知函数次的=2%2—自一25(%为实数),g(x)=x—28.若

存在为£口,3],使对任意及千口,3],段i)<g(X2)成立,求人的取值范

围.

过程简析：只需_/(X)min<g(X)min，即7(X)min<—27.

方法1：分类讨论求人X)min

方法2:只需存在龙£[1,3],使人幻<一27成立.

即存在》6[1,3],使女〉2(》+!)，故只需Q4

X

说明：对比不同方法，体会优化性，渗透变型意识，培养思维的灵

活性。

【例题2】已知1勺合3时，不等式〃优2—〃优―1〈—〃z+5恒成立，求

"2的取值范围.

过程简析：m<^.

【变式练习】已知1SY3时，不等式〃优2—蛆一1V—'^+5恒成立,

求x的取值范围.

过程简析：不等式mx?一〃比一iv一m+5恒成立

即不等式（/一1+1）m<6恒成立，

令J(m)=(x2—x+l)m,1<777<3

/(I)<6

只需《

/(3)<6

答案:

【作业设计】

1.设函数/。）=/+（1-g+”2,若不等式/（司2-2对于实数

ae[T,l]时恒成立，求实数x的取值范围.

答案：{1}

2.设/（幻=沔，80）=以+5-2〃（。>0）,若对于任意办«0,1],总存在

X+1

/目0,1],使得8（%）=/（%）成立，则〃的取值范围是

A.[|<4]B.[4,+oo）

C.（o,|]D.[|收）

答案：A

3.已知函数/（x）=2x+。，g（x）=lnx-2x,如果对任意的再,

丫白，都有/&）4g（毛）成立,则实数。的取值范围是.

答案:（-co,ln2-8]

4已.知函数〃x)=q-/,ga)=x2-2x-l.若对任意不€1,2，都存在

x2eg,2满足〃xJ-g(N)21,则实数”的取值范围是()

A.[2e2,+oo)B.[2e2-2,+oo)C.手，+8D.

_/

答案：B

5.已知函数/(幻=%2,g(x)=1--m.

\2?

(1)当XG[-1,3]时,求/(x)的值域；

(2)若对Vxe[0,2],g(x)..l成立，求实数加的取值范围；

(3)若对气€[0,2],ax2G[-l,3],使得g&),,“占)成立,求实数机

的取值范围.

3

答案：(1)[0,9]；(2)m,,一一；(3)

4

6.已知两函数f(x)=8x2+16%一后，g(x)=2x3+5x2+4x,其中％为实

数.

(1)对任意xe[-3,3],都有〃x)Wg(x)成立，求k的取值范围；

(2)存在xe[-3,3],使/(x)4g(x)成立,求人的取值范围；

(3)对任意冷W«-3,3],都有/a)vg(xj,求k的取值范围.

答案：(1)%"5；(2)Jl>-7；(3)Jt>141.

7.(选做)已知〃>0,函数/(x)=f-奴+3,g(x)='+2若对于任

ax

意不<1,3],总存在々e[l,3],使得〃xJ>g(X2)成立，求。的取值范

围是________.

答案：卜冬2).

课题不等式恒(能)成立求参数范围

(第三课时)

教学目不等式恒(能)成立求参数范围的综合问题

标

重点不等式恒(能)成立求参数范围的一般思路和步骤

难点不等式恒(能)成立求参数范围的综合应用和方法的选取

教学内【例题1】已知函数犬尤)=^+加一X.

容(1)当。=1时,讨论式X)的单调性；

(2)当尤K)时，人工心；/+1,求a的取值范围.

过程简析：(1)当。=1时，/(.x)=ex+.x2-x,/'(.v)=ex+2.X-1,

由于/"(x)=/+2>0,故/(X)单调递增，注意到r(0)=0,故：当

xe(-oo,0)时，/(x)<0J(x)单调递减，

当xe(0,+oo)时，/'(x)>0J(x)单调递增.

(2)方法一：於)4等价于(gd一面:2+*+])6-*0.

设函数g(x)=(^x3-ax2+x+l)e-A(x>0),

则g\x)==~^x(x—1a—l)(x—2)e-x.

(1)若2。+10，即ag—

则当x£(O,2)时，g，(x)>0.所以g(x)在(0,2)上单调递增，而g(0)=l,故

当尤G(0⑵时，g(x)>L不符合题意.

(ii)若0<2a+l<2,BP则当%e(0,2a+l)U(2,+oo)时，

g'(x)<0;当x£(2a+l,2)时,g'(x)>0.

所以g(x)在(0,2a+l),(2,+s)上单调递减，在(2a+1,2)上单调递增.由

7—e2

于g(0)—1,所以g(x)Sl,当且仅当g(2)—(7—4a)e2勺,即色4.

所以当4%<2时，g(*L

117—/1

(iii)若2a+1>2,即a>^则g(x)<(—x3+%+1)€一，,由于0£[-----,—),

29242

故由(ii河得(gd+x+De-wi.

故当时，g(x)SL综上，a的取值范围是/j，”)，

方法二：+1得，e'+ar2—启*+1,其中x>0,

①当x=0时，不等式为后1,显然成立，符合题意；

、131

e'—/x-1

②当x>0时，分离参数a得，a>—-----------,

]2

e'―2好_》一](x—2)(e'------x—1)

记g(x)=-，则g'(X)=-----------M-------，

令7;(x)=er—%—尤一1(后0),则/?'3)=ex—x—1,令心：)=/z'(x),后0,

f(x)=ex-l>0,故7f(x)单调递增，"(X巨"(0)=0,

故函数/?(x)单调递增，/?(%)>/?(0)=0,由。(x)K)可得e，一%一%—1三0

恒成立，

故当x£(0,2)时，g，(x)>0,g(x)单调递增；当xW(2,+oo)时，g，(x)<0,

7—e2

g(X)单调递减，因此，[g(X)]max=g(2)=1—,

综上可得，。的取值范围是

4

【例题2】已知函数/(x)=e*-a(x+l).

(1)若曲线)，=f(x)在(0,/(()))处的切线斜率为0,求。的值；

⑵若/(%)20恒成立，求a的取值范围.

过程简析：⑴r(x)=e“—a(xeH),由题意广(0)=0,所以a=I.

(2)①当a=0时，/(彳)=6*>0恒成立，符合题意；

②当a>0时，f\x)=ex-a,

令f'(x)>。得x>Ina,所以/'(x)在(Ina,+8)上单调递增；

令f\x}<。得x<Ina,所以/1(x)在(-co,Ina)上单调递减；

要使若/(x)20恒成立，

只需f(x)min=/(Ina)=a-a(\na+l)>0

解得0<a〈l

1--1

③当a<0时，/(一一D=e"-l<0,不合题意；

a

综上，可得。

【作业设计】

1.已知函数)x)=1+：''.

⑴若函数.穴X)在区间(a,a+g)上存在极值，求正实数。的取值范围；

(2)如果当定1时，不等式_/(x)一击K)恒成立，求实数上的取值范围.

答案：(D(；，l)

(2)原不等式可化为当位1时，狂(x+Dd+Mx)恒成立,

X

令g(x)=('+1)(1+山X)=]+]11r/幻(启]),贝Ijg，(©=”

X人

再令/?(x)=x—Inx(x>l),则〃(x)=l—5K),所以//(x)>//(l)=1,得

g，(x)>0,所以g(x)为增函数，

故g(x)涟(1)=2,故长2,即实数k的取值范围是(-00,2].

2.已知/(无)=以2-2lneR,若对任意的x>0都有

2-y(x)W2(a-l)x恒成立,求整数a的最小值。

答案：2

3.已知函数/U)=e「i—ar+lnx(aGR).

(1)若函数_Ax)在》=1处的切线与直线版一y=0平行，求a的值；

(2)若不等式«r)21nx-a+\对一切尤e[l,+8)恒成立，求实数“

的取值范围.

答案：(l)/(x)=&'1—1)—2—a=3,»•ci——1,

经检验a=-1满足题意，.•.a=-1,

(3).*x)Knx~a+1可化为ev1—ar+tz—1>0>

令夕(x)=e*।—or+a—1,则当+oo)时，贝乃而仑0,

(p\x)=ex'—a,

①当国)时,"(x)>0,.••s(x)在［1,+oo)上单调递增,

，夕(x)min=夕(1)=1—a+a—1=0K)怛成“，

•*-a<0符合题意.

②当a>0时，令“'(x)=0,得x=lna+l.

当x£(—8,Ina+1)时，"(x)<0,

当xW(lna+l,+s)时，(p'(x)>Q,

，矶X)在(一oo,Ina+1)上单调递减，在(Ina+l,+s)上单调递增.

当Ina+lWl即0<。1时,S(x)在口，+oo)上单调递增，

9(X)min=贝1)=0N0恒成立，

/.0«7<1符合题意.

当lna+l>l,即a>l时，s(x)在［1,lna+1)上单调递减，在(lna+1,

+oo)上单调递增，

.,.9(x)min=s(ln。+1)<矶1)=0与s(x)K)矛盾.故a>l不符合题意.

综上，实数a的取值范围为{攻区1}.

课题函数的单调性

(第一课时)

教学目标1.巩固求函数单调区间的步骤；

2.巩固讨论含参函数的单调性的方法；

重点求函数单调区间的一般步骤

难点含参函数单调性的讨论

教学内容【例题1］求下列函数的单调区间

(1)/(X)=lnx-2x(2)/(x)=(x-2)e*-x

过程简析：求函数的单调区间的一般步骤是

定义域一求导一解方程一列表一下结论。其中导函数在其零点两边的

符号可借助于相应的函数的图象确定。

：(1)首先,f(x)的定义域为(0,"o)，

因为f(x)=lnx-2x,所以r(x)=」-2=^—―,

XX

由尸(x)=0得^~—=0,解得x=，

x2

了变化时，r(x)j(x)的变化如下表:

X吗)q,+s)

2

f'(x)+0—

/(x)/

由上表知，f(x)的单调增区间为(0,；),单调减区间为(；,”).

(2)因为/(x)=(x-2)e*-x

所以尸(x)=(x-l)e、+尤—1=(x—l)(e*+1)

由广(幻=0得(x-l)(e*+l)=0,解得x=l

列表(略)得：

/(X)的单调增区间为(l,y);单调减区间为(-8,1).

【变式练习】求f(x)=(x-2贮-白?+x的单调区间

答案：〃x)的单调增区间为(—,0),(1,+oo);单调减区间为(0,1).

【例题2】求函数/(x)=ex(x2-ax+a\aeR)的单调区间.

过程简析：含参函数单调性的讨论，通常要考虑以下几个方面的

变化，(1)定义域；(2)导函数r(0是否有零点；(3)对尸(x)的

零点左右两边符号的影响；(4)零点之间的大小.

12

解：因为/(x)=e(x-ax+a)(aGR),

所以/'(犬)=cx(x2-ax+a+2x-a)=ev[x2-(a-2)x]

由「(幻=0，解得x==。-2

当q=2时，/(x)=e'(x-l)2N0在R恒成立

所以广(X)的单调增区间为(-<»,+<»);,

当a>2时，a-2>0,列表(略)得：

f(x)的单调增区间为(7,0),3-2,内)；单调减区间为(0M-2).

当a<2时，a-2<0,列表(略)得：

/(%)的单调增区间为(TOM-2),(0,zo)；单调减区间为(a-2,0).

【变式练习】求函数=g加-x(acR)的单调区间：

解：因为/(%)=：加-x(awR),所以((元)=加-1

当时，f{x}=ax2-l<0,所以f(x)的单调减区间为(-oo,+oo).

当a>0时，由广。)=0得》=土也，

a

列表(略)得:/(X)的单调增区间为(无,+8),(Y0,_迈)；单调减区

aa

间为(-也，巫).

aa

【作业设计】

1.函数/(》)=-$3+炉+3X-2的单调减区间为

(A)(-00,-1),(3,+O0)(B)(-00,-3),(1,+oo)(C)(-1,3)(D)(-3,1)

答案：A

2.函数/(x)=ln(2x-l)-x的单调增区间为

(A)(一|)(B)(|,|)(C)(5)(D)(1,1)

答案：B

3.求函数/(x)=2lnx-；x2+x的单调区间.

简解：/(X)的定义域为(0,e)，/(处=42)(土+1),

X

由尸(x)=0得x=2,列表(略)得:

f(x)的单调增区间为(0,2);单调减区间为(2,y0).

4.已知函数/(x)=21nx+gar2_(2a+i)x(aN0).讨论/(X)的单调性.

简解：首先〃x)的定义域为(0,户)，/，a)=(x_2)(办-1),

X

当4=0时，八X)=H,

X

fix')的单调增区间为(ro,2);单调减区间为(2,+00).

当“0时，由/")=0,得心型竺心=0,解得x=2,或r」

xa

当”;时，/'(X)20在(0,+00)上恒成立，且当且仅当八2)=0,

所以/⑴在(0,+oo)单调递增；

当0<a/时，/⑶的单调增区间为(YO,2),(Lx);

2a

单调减区间为(2」).

a

当〃>_［时J(x)的单调增区间为(ro」),(2,xo)；单调减区间为(±2).

2aa

课题函数的单调性(第二课时)

教学目巩固已知含参函数单调性，求参数范围问题的求解方法

标

重点两种方法--子集关系和导函数恒非负(非正)--的选择

难点导函数恒非负或非正的求解。

教学内【例题3】

容(1)已知f(x)=?+3X2-9X+2在(“M+1)上是增函数，求a的取值范围；

(2)已知/(x)=lnx+x27nx在(o,+oo)上是增函数，求m的取值范围；

过程简析：已知函数的单调性求参数的一般思路是

(1)用集合间的关系：y=/(x)在(加,〃)上单调，则区间(加,〃)是相应单

调区间的子集；

(2)用y=/(x)在(加⑷上为增(减)函数等价于ra)N。(ra)>o),

且广(不)在(私九)的任一非空子集上，广⑴不恒为零。

解：(1)因为/(月=%3+3/一9妻+2,

22

所以f(x)=3x+6X-9=3(X+3)(x-1)

由ff(x)>0得3(x+3)(x-l)>0,解得x<-3<x>1

所以f(x)的单调递增区间为(f,-3),(1,w)

由题意得：(a,。+1)q(-00,-3),或3〃+1)c(1,-KX))

所以a+14-3或7之1,故a的取值范围为(YO,-4]3L+0°).

(2)因为/(x)=lnx+/-/nx,所以/'(x)=2+2x？

x

因为x>0,所以1+2x22、仁=2应，当且仅当』=2x,即户立时取

xVxx2

等号，所以广(幻22及-机，由题意知/(x)20在(0,+oo)上恒成立，

令20-粗20,有机42&,所以m的取值范围是(70,20].

【变式练习】

(1)若函数/(x)=gd+⑪Ax-]在R上存在单调递减区间，求。的

取值范围；

(2)若f(x)=e*(x-⑷在(-1,2)上不具有单调性,求m的取值范围

答案：

(1)(-1,1);(2)(0,3).

【作业设计】

13

5

1.若函数,穴外二尹—/2+OX+4的单调递减区间为[—1,4],则实数

a的值为.

答案：-4

2.设函数/(》)=3X2-91内在区间3-1,4+1]上单调递减，则实数a

的取值范围是.

答案：(1⑵

3.已知/(©，V+/+工一在①^^上是增函数，求。的取值范围.

简解：,r(x)=x2+2^4-1,由题意得,当xe(0,go)时，广(%)N0恒成立

//(^)^0<=>x+-+2^>0，g(x)=x+—+2a的最小值为g())=2+2a,

XX

所以a的取值范围

4.(2009年)设函数/(x)=x*(七0).

(I)求曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线方程;

(II)求函数人外的单调区间；

(III)若函数/(为在区间(-1,1)内单调递增，求攵的取值范围。

答案：(I)x-y=0;

(II)当％>0时，减区间为(ro,->；增区间为(-，+oo)

当Z;<0时，减区间为(-%田)；增区间为(-00,-：)

(III)%的取值范围为[-1,0)50,1].

课题函数的极值、最值

(第一课时)

教学目1.巩固用导数求函数的极值与最值的一般步骤；

标2.会讨论含参函数在闭区间上的最值问题；

3.会根据函数值变化趋势，确定函数最值.

重点用导数求函数的极值和最值的一般步骤，求函数在闭区间上最值问题.

难点根据函数值变化趋势，确定函数最值。

教学内【例11求函数〃司=工3-/_*+1的极值。

容

过程简析：此例的目的是训练学生的求极值的一般步骤。

答案：当工=-g时，/(X)取得极大值，为/(-g)=||；当x=l时，/(X)取得极小

值，为f(l)=0.

【变式练习】已知/(x)=d+3加+版+/在x=_i处有极值0,贝lja+b的值

为c

解：/(jOuBf+Gav+b,

1,。=2,

八T)=°'解得。=

由题意得或'

/⑴=0,解巧b=3b=9,

当。=1,匕=3时，/(x)=3f+6x+3=3(x+1/NO,

・・.・/U)在R上单调递增，・・・/u)无极值,

所以。=1,6=3不符合题意，当。=2,0=9时，经检验满足题意.

。=11.

【例2］求/(x)=(x-|)e'在［0,1］上的最大值和最小值.

过程简析：求函数在闭区间上的最值时，需要说明函数在给定区间上的单调性,

再从极值和端点处的值中取得最大值和最小值.

解：因为/(xKx—gw,所以广(x)=(x」)e*,

由1(x)=0得x=L

x变化时，广(x)J(x)的变化如下表:

(0$2_5)

X021

f'M+0—

_3e

/(%)/

~2~2

所以，在m处取得最大值’为今在T处取得最小值，为

【变式练习】已知函数〃x)=(x-幻e，，求/(x)在区间［0,1］上的最小值.

过程简析：2011(18)求函数在闭区间上的最值问题，讨论的要点是“极值

点是否在开区间内”.

简解:f'M=(x-k+l)e,因为xe［O,l］,所以(x-Z+l)e(l-4,2-幻，

当441时，尸(x)20在［0,1］上恒成立，f(x)在［0,1］上为增函数,f(x)在x=0处

取最小值，为-k;

当％22时，_f(x)40在［0,1］上恒成立，/(x)在［0,1］上为减函数，/⑶在x=l处

取最小值，为(l-Qe;

当1<A<2时，列表得：f(x)在x=A-l处取最小值，为-ei.

【例3】(选用)

问：函数/(x)=e，(x2一2x)是否存在最值,说明理由.

解：因为f(x)=e*(x2-2x),所以r(x)=e，(f_2)

由f\x)=0得e*(d-2)=0,解得x=±&

列表(略)得：人》)在》=-夜处取得极大值，为世②；在光=夜处取得极小

值，为Ie版(1-壶).

因为xe(-8,-0)时，/(©=/(犬-2》)>0,当z(-血,+8)时，/a)>e^(l-72),

所以/(x)在x=0处取得最小值，为e&(1-0).

而Xf+8时，f(x)f+8,故/(x)无最大值.v

OKx

【变式练习】问：函数f(x)=,*+2是否是最大值和1/M，说明理由.

x