中考专题-胡不归专题(解析版)

专题03胡不归专题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：胡不归问题；〔2〕阿氏圆．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”〔“胡”同“何”〕而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．【问题分析】，记，即求BC+kAC的最小值．【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【模型总结】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．例题1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那么的最小值是_______．【分析】此题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，那么．问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时．【小结】此题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，假设稍作改变，将图形改造如下：那么需自行构造α，如下列图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．变式练习>>>1．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，那么的最小值等于________．【分析】考虑如何构造“”，∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得，将问题转化为：求PB+PH最小值．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．例题2.如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为〔〕A．B．C．D．【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，应选：B．变式练习>>>2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．假设AP+BP+CP的最小值为2，那么BC＝﹣．【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP〔SAS〕，∴PC＝PB，∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等边三角形，∴PA＝PG，∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，作BN⊥AC于N．那么BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∴BC＝＝＝﹣．故答案为﹣．例题3.等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如下图的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，假设电子虫走完全程的时间最短，那么点G的坐标为〔0，〕．【解答】解：如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，电子虫走完全全程的时间t＝+＝〔+CG〕，在Rt△AMG中，GM＝AG，∴电子虫走完全全程的时间t＝〔GM+CG〕，当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝所以点G的坐标为〔0，﹣〕．故答案为：〔0，﹣〕．变式练习>>>3．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A〔0，2〕，C〔1，0〕，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，那么点D的坐标应为〔〕A．〔0，〕B．〔0，〕C．〔0，〕D．〔0，〕解：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝〔+CD〕，要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，所以OD＝，所以点D的坐标应为〔0，〕．例题4.直线y＝与抛物线y＝〔x﹣3〕2﹣4m+3交于A，B两点〔其中点A在点B的左侧〕，与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D〔点D在点C的下方〕，设点B的横坐标为t〔1〕求点C的坐标及线段CD的长〔用含m的式子表示〕；〔2〕直接用含t的式子表示m与t之间的关系式〔不需写出t的取值范围〕；〔3〕假设CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，那么满足条件的点F的坐标是〔3，〕．【解答】解：〔1〕抛物线y＝〔x﹣3〕2﹣4m+3的对称轴为x＝3，令x＝3，那么有y＝×3＝4，即点C的坐标为〔3，4〕．抛物线y＝〔x﹣3〕2﹣4m+3的顶点D的坐标为〔3，﹣4m+3〕，∵点D在点C的下方，∴CD＝4﹣〔﹣4m+3〕＝4m+1．〔2〕∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，那么点B的坐标为〔t，t〕，将点B的坐标代入抛物线y＝〔x﹣3〕2﹣4m+3中，得：t＝〔t﹣3〕2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．〔3〕①依照题意画出图形，如图1所示．过点C作CE∥x轴，过点B作BE∥y轴交CE于点E．∵直线BC的解析式为y＝x，∴BE＝CE，由勾股定理得：BC＝＝CE．∵CD＝CB，∴有4m+1＝〔t﹣3〕＝〔+﹣3〕，解得：m＝﹣4，或m＝1．当m＝﹣4时，+4×〔﹣4〕＝﹣＜0，不适宜，∴m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为〔6，8〕．②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2所示．∵直线BC的解析式为y＝x，FM⊥BC，∴tan∠FCM＝＝，∴sin∠FCM＝．∵B、B′关于对称轴对称，∴BF＝B′F，∴BF+CF＝B′F+FM．当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．∵B点坐标为〔6，8〕，抛物线对称轴为x＝3，∴B′点的坐标为〔0，8〕．又∵B′M⊥BC，∴tan∠NB′F＝，∴NF＝B′N•tan∠NB′F＝，∴点F的坐标为〔3，〕．故答案为：〔3，〕．变式练习>>>4．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．〔1〕填空：点A的坐标为〔﹣2，0〕，点B的坐标为〔0，2〕；〔2〕直线l1的表达式为y＝2x﹣2；〔3〕在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？假设存在，那么求出点E的坐标；假设不存在，请说明理由．〔4〕如图2，点P为线段AD上一点〔不含端点〕，连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．【解答】解：〔1〕直线l2：y＝x+2，令y＝0，那么x＝﹣2，令y＝0，那么x＝2，故答案为〔﹣2，0〕、〔0，2〕；〔2〕y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，那么直线l1的表达式为：y＝2x﹣2，故：答案为：y＝2x﹣2；〔3〕∵S△AOE＝2S△ABO，∴yE＝2OB＝4，将yE＝4代入l1的表达式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，那么点E的坐标为〔3，4〕；〔4〕过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，直线l2：y＝x+2，那么∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标〔1，3〕，故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标〔1，3〕．例题5.抛物线y＝a〔x+3〕〔x﹣1〕〔a≠0〕，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．〔1〕假设点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；〔2〕假设在〔1〕的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；〔3〕在〔1〕的条件下，设点E是线段AD上的一点〔不含端点〕，连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：〔1〕∵y＝a〔x+3〕〔x﹣1〕，∴点A的坐标为〔﹣3，0〕、点B两的坐标为〔1，0〕，∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝﹣3，∴y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，那么点D的坐标为〔2，﹣5〕，∵点D在抛物线上，∴a〔2+3〕〔2﹣1〕＝﹣5，解得，a＝﹣，那么抛物线的解析式为y＝﹣〔x+3〕〔x﹣1〕＝﹣x2﹣2x+3；〔2〕∵A的坐标为〔﹣3，0〕，C〔0，3〕，∴直线AC的解析式为：y＝x+3，①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴CP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C〔0，3〕代入得m＝3，∴直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，解得，〔不合题意，舍去〕，∴P〔﹣，〕；②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，把A〔﹣3，0〕代入得n＝﹣，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，解y＝得，，∴P〔，﹣〕，综上所述：点P的坐标为〔﹣，〕或〔，﹣〕；〔3〕如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，那么tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，∴DE＝＝EF，∴Q的运动时间t＝+＝BE+=BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，那么BE⊥DM，此时点E坐标〔1，﹣4〕．变式练习>>>5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A〔2，0〕、B〔﹣8，0〕，交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．〔1〕求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；〔2〕设P为弧BC上任意一点〔不与点B，C重合〕，连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN是否为定值，假设是，请求出这个值；假设不是，请说明理由；〔3〕延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点〔不含端点〕，连接AF．动点Q从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：〔1〕抛物线解析式为y＝﹣〔x+8〕〔x﹣2〕，即y＝﹣x2﹣x+4；当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+4＝4，那么C〔0，4〕∴BC＝4，AC＝2，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴AB为直径，∴圆心M点的坐标为〔﹣3，0〕；〔2〕以AP•AN为定值．理由如下：如图1，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∵∠APB＝∠AON，∠NAO＝∠BAP，∴△APB∽△AON．∴AN：AB＝AO：AP，∴AN•AP＝AB•AO＝20，所以AP•AN为定值，定值是20；〔3〕∵AB⊥CD，∴OD＝OC＝4，那么D〔0，﹣4〕，易得直线BD的解析式为y＝﹣x﹣4，过F点作FG⊥x轴于G，如图2，∵FG∥OD，∴△BFG∽△BDO，∴＝，即＝＝＝，∴点Q沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B所用时间等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，∴当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过程中所用时间最少，作∠EBI＝∠ABE，BI交y轴于I，作FH⊥BI于H，那么FH＝FG，∴AF+FG＝AF+FH，当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，作DK⊥BI，垂足为K，∵BE平分∠ABI，∴DK＝DO＝4，设DI＝m，∵∠DIK＝∠BIO，∴△IDK∽△IBO，∴＝＝＝，∴BI＝2m，在Rt△OBI中，82+〔4+m〕2＝〔2m〕2，解得m1＝4〔舍去〕，m2＝，∴I〔0，﹣〕，设直线BI的解析式为y＝kx+n，把B〔﹣8，0〕，I〔0，﹣〕代入得，解得，∴直线BI的解析式为y＝﹣x﹣，∵AH⊥BI，∴直线AH的解析式可设为y＝x+q，把A〔2，0〕代入得+q＝0，解得q＝﹣，∴直线AH的解析式为y＝x﹣，解方程组，解得，∴F〔﹣2，﹣3〕，即当点F的坐标是〔﹣2，﹣3〕时，点Q在整个运动过程中所用时间最少．1.如图，在平面直角坐标系中，点，点P为x轴上的一个动点，当最小时，点P的坐标为___________.[答案]：2.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M为对角线BD〔不含点B〕上的一动点，那么的最小值为___________.[答案]：3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A〔﹣1，0〕，B〔0，﹣〕，C〔2，0〕，其对称轴与x轴交于点D．〔1〕求二次函数的表达式及其顶点坐标；〔2〕点M为抛物线的对称轴上的一个动点，假设平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；〔3〕假设P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值．【解答】〔1〕由题意，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝〔x﹣〕2﹣，∴顶点坐标〔，﹣〕；〔2〕设点M的坐标为〔，y〕．∵A〔﹣1，0〕，B〔0，﹣〕，∴AB2＝1+3＝4．①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，那么〔+1〕2+y2＝4，解得y＝±，即此时点M的坐标为〔，〕或〔，﹣〕；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，那么〔〕2+〔y+〕2＝4，解得y＝﹣+或y＝﹣﹣，即此时点M的坐标为〔，﹣+〕或〔，﹣﹣〕；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，那么〔+1〕2+y2＝〔〕2+〔y+〕2，解得y＝﹣，即此时点M的坐标为〔，﹣〕．综上所述，满足条件的点M的坐标为〔，〕或〔，﹣〕或〔，﹣+〕或〔，﹣﹣〕或〔，﹣〕；〔3〕如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短〔垂线段最短〕．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．4.【问题提出】如图①，海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？【特例分析】假设n＝2，那么时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．〔1〕过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；〔2〕请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′．【问题解决】〔3〕请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．〔写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等〕【综合运用】〔4〕如图③，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点〔不含端点〕，连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．假设点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．【解答】解：〔1〕如图①，∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，在Rt△BCM中，DE＝CDsin30°＝CD；〔2〕如图①过点A作AE′⊥CM交BC于点D′，那么点D′即为所用时间最短的登陆点；〔3〕如图②，过点C作射线CM，使得sin∠BCM＝，过点A作AE⊥CM，垂足为E交BC于点D，那么点D为为所用时间最短的登陆点；〔4〕由题意得：t＝＝EF+CF，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过点F作GF⊥CD交CD于点G，∠ACB＝∠DCB＝α，sin∠ABC＝＝，那么EF＝CF，EF+CF＝EF+FH，故当E、F、H三点共线且与CD垂直时，t最小，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，点E是OB中点，其坐标为：〔3，0〕，当x＝3时，对于y＝﹣x+3，y＝，点F坐标为〔3，〕，t＝＝EF+CF，当H、F、E三点共线时，EF+FH＝OC＝3，即：最小时间为3秒．5.如图，△ABC是等边三角形．〔1〕如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；〔2〕如图2，假设点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；〔3〕在〔1〕的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．【解答】〔1〕解：如图1中∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，∵△PCQ是等边三角形，∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．〔2〕证明：如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．∵△ACD≌△ABQ，∴AQ＝AD，CD＝BQ，∵∠DAQ＝60°，∴△ADQ是等边三角形，∴AD＝DQ，∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形〔图中△BDQ〕．〔3〕如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．∵PE＝PA，∴PA+2PC＝2〔PA+PC〕＝2〔PE+PC〕，根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，PA+2PC的值最小，最小值为2CF．由〔1〕可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝PA，∴PA＝BQ＝AG＝CG＝y，FG＝y，∴x＝2〔y+y〕，∴y＝x．6.如图，抛物线y＝〔x+2〕〔x﹣4〕〔k为常数，且k＞0〕与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．〔1〕假设点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；〔2〕假设在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；〔3〕在〔1〕的条件下，设F为线段BD上一点〔不含端点〕，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】解：〔1〕抛物线y＝〔x+2〕〔x﹣4〕，令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A〔﹣2，0〕，B〔4，0〕．∵直线y＝﹣x+b经过点B〔4，0〕，∴﹣×4+b＝0，解得b＝，∴直线BD解析式为：y＝﹣x+．当x＝﹣5时，y＝3，∴D〔﹣5，3〕．∵点D〔﹣5，3〕在抛物线y＝〔x+2〕〔x﹣4〕上，∴〔﹣5+2〕〔﹣5﹣4〕＝3，∴k＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝〔x+2〕〔x﹣4〕．即y＝x2﹣x﹣．〔2〕由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C〔0，﹣k〕，OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此假设两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①假设△ABC∽△APB，那么有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．设P〔x，y〕，过点P作PN⊥x轴于点N，那么ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝x+k．∴P〔x，x+k〕，代入抛物线解析式y＝〔x+2〕〔x﹣4〕，得〔x+2〕〔x﹣4〕＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2〔与点A重合，舍去〕，∴P〔8，5k〕．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k＝．②假设△ABC∽△PAB，那么有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．设P〔x，y〕，过点P作PN⊥x轴于点N，那么ON＝x，PN＝y．tan∠ABC＝tan∠PAB，即：＝，∴y＝x+．∴P〔x，x+〕，代入抛物线解析式y＝〔x+2〕〔x﹣4〕，得〔x+2〕〔x﹣4〕＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2〔与点A重合，舍去〕，∴P〔6，2k〕．∵△ABC∽△PAB，＝，∴＝，解得k＝±，∵k＞0，∴k＝，综上所述，k＝或k＝．〔3〕方法一：如答图3，由〔1〕知：D〔﹣5，3〕，如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，那么DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，∴tan∠DBA＝＝＝，∴∠DBA＝30°．过点D作DK∥x轴，那么∠KDF＝∠DBA＝30°．过点F作FG⊥DK于点G，那么FG＝DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AF+DF，∴t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，那么t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y＝﹣x+，∴y＝﹣×〔﹣2〕+＝2，∴F〔﹣2，2〕．综上所述，当点F坐标为〔﹣2，2〕时，点M在整个运动过程中用时最少．方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t＝，∵lBD：y＝﹣x+，∴FX＝AX＝﹣2，∴F〔﹣2，〕．7.已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，〔1〕如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点〔不与B、C重合〕过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线段PQ的最大值；〔2〕如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；〔3〕如图3，在〔2〕的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．【解答】解：〔1〕令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分比为〔﹣1，0〕、〔3，0〕，令x＝0，那么y＝3，那么点C的坐标为〔0，3〕，直线BC过点C〔0，3〕，那么直线表达式为：y＝kx+3，将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，那么直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点P的坐标为〔m，n〕，n＝﹣m2+2m+3，那么点Q坐标为〔3﹣n，n〕，那么PQ＝m﹣〔3﹣n〕＝﹣m2+3m，∵a＝﹣1＜0，那么PQ有最大值，当m＝﹣＝，PQ取得最大值为；〔2〕过直线CG作∠GCH＝α，使CH⊥GH，当sinα＝时，HG＝GC，那么BG+CG的最小值即为HG+GB的最小值，当B、H、G三点共线时，HG+GB最小，那么∠GBO＝α，∵sinα＝，那么cosα＝，tanα＝，OG＝OB•tanα＝3×＝，即点G〔0，〕，CG＝3﹣＝，而