第3篇 优化设计

第3篇优化设计

1、优化设计的概念

以求取最优方案为目标，采用数学方法，借助计算机，通过对工程问题可行解的计算、分析、比较来完成设计的现代设计方法。优化设计与传统设计的差异

传统设计：求得可行解优化设计：解算最优解方法不同结果不同传统设计过程就是人工试凑和定性分析比较的过程。2、优化设计基础2.1内涵

针对设计问题，通过对设计参数在各种不同取值情况下所对应的设计结果的优劣性的计算、分析、比较来产生出最佳设计方案。

设计参数设计结果参数不同取值下设计结果的变化规律参数优化2.2优化设计分类（1）函数优化问题令X为Rn上连续变量x的一个有界子集，f(x):x→Rn为n维实值函数，所谓函数f(x)在X域上的全域最优解就是所求的点x*∈X使f(x*)为在X上的全域最小值，即

x∈X，f(x*)≤

f(x)。（2）组合优化问题令Ω={s1,s2,…,sn}为所有离散状态构成的分解空间，C(Si)为状态Si对应的准则或目标函数值，要求寻求最优解s*，使得si∈Ω有C(s*)=minC(si)。机械优化设计问题示例例1欲用薄板制造一个体积为5m3的货箱，如图所示。出于运输装卸上的需求，要求其长度不小于4m，无上盖,问应该如何选择货箱的长、宽和高，才能使钢板耗费最少（或质量最轻）？l3l1l2

3.优化设计的一般过程实际问题建立数学模型选择确定计算方法编制计算程序上机计算求出结果设计的要求（目标、准则）设计的限制（约束条件）设计的参数（设计变量）分析归纳总结：所谓建立数学模型，就是要在众多的设计参数中选取适当的设计变量，按照预先的设计指标列出目标函数，并将所有的设计限制条件（约束条件）以设计变量的形式给出。4、优化设计的数学模型4.１、优化设计相关数学概念

1)

设计变量：设计方案中包含的可在设计过程中进行调整和优选的功能、结构等独立参数。例如，轴的直径、转速等。

设计变量的分类１）连续变量：在给定区间内可任意取值２）离散变量：只能在给定数值范围中取值

2)设计参数(设计常量)

设计方案中所包含的常量、标准等在设计过程中保持不变或预先确定的数值参数以及指标参数。例如：密度、体积、容量功率、强度、效率、疲劳周期

若设计问题的n个设计变量x1,x2,…xn相互独立，则可形成向量X=[x1,x2,…xn]T向量X的全体集合所构成的n维欧氏空间就是设计问题所对应的设计空间。向量X的每个设计变量构成设计空间的一个维度，设计空间的维数就是设计变量的个数n。向量X中设计变量的一组取值就是设计空间中的一个点，称为设计点，它对应于问题的某一设计方案。3)设计空间

设计过程中，伴随问题对设计变量在取值上所附加的设计条件、限制、要求。如最高转速、最大载荷等。约束条件的本质约束条件在本质上就是对设计变量在取值上的限制、要求．约束条件实例轴的最大直径、最高转速、最大载荷

4)约束条件1）根据形式不同分为不等式约束和等式约束2）根据性质不同分为边界约束和性能约束

边界约束：设计变量的变化范围及取值区间

ai-xi≤0；

xi-bi≤0

性能约束：由设计性能指标导致的对设计变量的间接约束。例如：零件的强度，刚度约束约束条件的类型5）可行域对于设计问题，其设计空间中的设计变量基于每个约束条件都可分为两个部分，而满足所有约束条件的设计变量可形成一个交集该交集就称为此设计的可行域，记作D。

可行域就是满足所有约束条件的设计变量的取值的集合。

针对设计目标，依据一定准则所构造出的包含各设计变量并用于衡量设计方案优劣的评价函数6）目标函数目标函数的实质面向设计目标，依据设计约束所建立的由设计变量驱动的设计方案评价函数

目标函数的类型单目标函数－评价准则唯一，一个目标函数例如：以轴的重量最轻为目标多目标函数－评价准则不唯一，多个目标函数例如：以轴的重量轻、强度大为目标单目标函数表达式：f(x)=f(x1,x2,…,xn

)多目标函数表达式：f(x)=ω1f1(x)+ω2f2(x)+…+ωqfq(x)①

f(x)必须是设计变量x的函数，其取值应随设计变量x取值的变化上升或下降；②

f(x)应该是实函数，是可计算的。③

f(x)可以有物理意义，有单位的，也可以没有物理意义。目标函数f(x)的属性问题：

某厂甲、乙两产品日产量及材料、工时、电力供应量和利润数据见下表。试确定每天可获最大利润的两种产品生产量。产品材料/kg工时/h电力/(kw.h)利润/元甲93460乙4105120供应量3603002005优化设计数学模型举例

问题分析：该问题归结为如下的一个优化问题：既在当前生产条件下，如何安排产品甲以及产品乙的生产，使得企业每天所能够获得的利润最大。

解：

设计变量：产品甲、乙每天的产量

目标函数：企业生产产品甲、乙每天所得到的利润设每天生产甲产品x1件乙产品x2件，则每天利润可用函数f(x1,x2)表示为：

f(x1,x2)=60x1+120x2

约束条件：

产品甲、乙每天的生产消耗和限制

上述问题可归结为如下数学模型并满足如下约束条件：求变量：使函数极大化优化设计问题的基本解法解析解法：精确解法

数值解法：近似解法机械优化设计方法优化准则法：按迭代公式xk+1=Ckxk数学规划法：按迭代公式xk+1=xk+Δxk

xk+1=xk+akSk

数学规划法的核心;（1）是建立搜索方向Sk；（2）是计算最佳步长ak。数值迭代要考虑优化问题解的收敛性及迭代过程的终止条件。优化设计问题的基本解法迭代终止准则1）当相邻两设计点的移动距离已达到充分小时。即2）当函数值的下降量以达到充分小时。即3）当某次迭代点的目标函数梯度已达到充分小时，即12.1等值线（等值面）

对于目标函数某确定取值c，存在多个对应的设计点（设计变量的不同取值），这些设计点集合在设计空间中构成的曲线或曲面称为等值线或等值面。对于二元二次函数：等值线（面）的特点

不同值的等值线不相交。除极值点外等值线在设计空间内不会中断。等值线可反映目标函数变化规律，愈内层的等值线其函数值愈小，等值线族的中心点就是目标函数的极值点。等值线间隔愈密，表示该处函数值的变化愈大，否则变化愈小。基于等值线与可行域可以确定最优设计点的位置。12.2二次型函数其中：均为实常数。

如果二次函数f(x)是齐次的，即函数中没有一次项和常数项，则称为标准二次型函数，表示为：最简单的二次函数二次型函数也可以表示为：（1）正定二次型；（2）负定二次型；（3）半正定二次型；（4）半负定二次型；

二次型为正定的充要条件是：二次项系数矩阵各阶主子式均大于零；若各阶主子式都大于等于零，则为半正定。正定二次型的等值线是一簇同心椭圆。二次函数的矩阵形式12.3方向导数与梯度（1）梯度定义梯度是函数在空间某点X(k)处各一阶偏导数所组成的一个向量。（2）梯度的数学表达式（３）梯度的性质

1）梯度矢量与过点X的等值线的切线正交。

2)函数在点X的梯度方向是函数在该点上升得最快的方向，梯度反向（即：负梯度方向）则是函数值在该点下降最快的方向。

3)函数在某点与梯度成锐角的方向是其上升方向，而成钝角的方向是其下降方向。即函数值在梯度的锐角方向上升在梯度的钝角方向下降．12.4函数的泰勒级数展开

由高等数学可知、若一元函数f(x)在点xk邻域内n阶可导，则其在该点邻域内可通过泰勒展开转化为线性函数或二次函数。

一元函数的泰勒展开

：同样，对于多元函数f(x),也可作泰勒展开,展开式一般取三项.

` 写成矩阵形式：

多元函数泰勒二次近似式

其中，为f(x)二阶导数矩阵，称海森

(Hessian)

矩阵，用H(x)表示。由偏导数属性可知，多元函数的海森

(Hessian)

矩阵为对称矩阵。多元函数泰勒展开的本质

１）方法特点基于复杂函数自身的一阶、二阶倒数实现函数的线性化和二次化。

２）理论意义通过对复杂函数的线性化和二次化，实现函数的简化，将复杂的多元函数转化为简单的线形函数或二次函数进行处理。多元函数泰勒展开对于优化设计的作用

由于多元函数通过泰勒展开可转化为线性函数和二次函数，因此，多元函数的优化问题基于泰勒展开最终可以归结为线性函数和二次函数的优化问题。12.5共轭方向共轭方向定义：若任意两个矢量S1与S2的内积为零，即则称这两个矢量是相互垂直的。性质：1）椭圆的任一直径平分平行于他的共轭直径的弦，其极限情况就表现为椭圆的任一直径方向与它的端点处椭圆的切线方向是共轭的。2）任何两条穿过椭圆簇的平行线，必定与其中的椭圆相切，若连接这两个切点，则连线方向与平行线的方向是共轭的，且该连线通过椭圆簇的中心。K--T条件示意图12.6函数极值的判别及K-T条件(a)(b)(c)(d)无约束问题的优化设计方法常用优化设计方法分类第12章一维优化方法—一维最优化搜索迭代法的基础，关键是确定每次迭代的方向与步长因子。当迭代方向确定后，寻求一个最优步长因子迭代法：使：求解最佳步长因子的解析法：如果目标函数可导，采用牛顿二次展开法。将迭代式代入，得：实际问题中一维优化搜索方法分两步来进行：（a）

确定最小值所在区间；（b）求出该区间内的最优步长因子。（1）确定搜索区间的外推法正向搜索反向搜索（2）缩短区间的消去法—找到极小点的数值近似解区间消去原理：1.一维搜索的黄金分割法（1）原理黄金分割法—是指将一线段分成两段时，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值，即计算得λ≈0.618，可见黄金分割法能使相邻两次搜索区间都具有相同的缩短率0.618，所以黄金分割法又被称作0.618法.（2）黄金分割法应用例：对于函数f(a)=a2+2a，给定初始搜索区间-3≤a≤5时，试用黄金分割法进行区间消元，求极小点a*

解：由已知条件，a=-3,b=51）插入两点，a1和a2,分别为：2）计算相应插入点的函数值，得3）缩短搜索区间。因为y2>y1,所以消去区间[a2,b],新的搜索区间的端点a=-3不变，新端点b=a2=1.944。4）第一次迭代计算。插入点坐标插入点函数值5）因为y2>y1,故消去区间[a2,b]，新的搜索区间为[-3,0.056]。如此继续迭代下去。经过5次迭代后，已经满足收敛精度要求，则得相应的函数极值为：迭代序号aa1a2by1比较y20-30.0561.94450.115<7.6671-3-1.1110.0561.944-0.987<0.1152-3-1.832-1.1110.056-0.306>-0.9873-1.832-1.111-0.6650.056-0.987<-0.8884-1.832-1.386-1.111-0.665-0.851>-0.9875-1.386-1.111-0.940-0.6652.一维搜索的二次插值法满足条件：求导：插值法的基本思想是利用区间上的若干点来构造一个低次插值多项式，近似地表示原目标函数，并求出该多项式的极值点（极小点），然后再按单峰区间函数值“高-低高”的性质，确定下一个搜索区间。常用的插值多项式为二次多项式，因此常用的插值方法为二次插值法，又称抛物线法。

y=f(a)在单谷区间中的三点a1<a2<a3的相应函数值f(a1)>f(a2)<f(a3),作出如下的二次插值多项式：二次插值法原理示意图（1）第一次迭代（2）第二次迭代插值法应用实例例：用二次插值法求f(α)=sinα在4≤α≤5上的极小值。解：根据题目要求，给出初始搜索区间为[4,5]。取α1=4，α2=4.5，α3=5，迭代两次的计算过程及结果见下表。1212α144.5y2-0.977590-0.999974α24.54.705120y3-0.958924-0.958974α355αp4.7051204.710594y1-0.756802-0977590yp-0.999974-0.999998由表可知最优解：α*=4.710594，f(α*)=-0.999998。与精确最优值-1非常接近，可体现二次插值效果非常好。第13章多维无约束优化方法核心思想：优化设计是追求目标函数值f(x)最小,因此，如果从某点x出发，将其搜索方向S取为该点的负梯度方向-▽f(x)(最速下降方向)，使函数值在该点附近的范围内应该是下降最快的。迭代公式：因此：相邻两个搜索方向互相垂直。1.最速下降法（梯度法）2共轭方向法梯度法（最速下降法）在远离极值点时较为有效，所以可利用函数的负梯度方向来构造与之共轭的方向，加快收敛速度。由此产生的新方法就叫共轭梯度法或共轭方向法。迭代时，最初沿负梯度方向进行迭代，第K次后构造共轭方向进行迭代。共轭条件：3.牛顿法条件：连续可导，可以展开成牛顿二次多项式。方法：参考一元函数在某点x0处，展开成泰勒多项式，求解出极值点为：牛顿法迭代表达式：注意：在广义牛顿法（也叫阻尼牛顿法）中海森矩阵必须为非奇异矩阵。对多元函数（目标函数）进行泰勒多项式展开，求解极值点：搜索方向：4.变尺度法特点：构造一个对称矩阵代替阻尼牛顿法中的逆矩阵[H(X(k))]-1，并在迭代过程中，使该矩阵逼近逆矩阵。迭代过程中，对称矩阵Hk是不断加以修改、变化的，其作用相当于不断改变[-▽f(xk)]的尺度，所以Hk被称为尺度矩阵，这种方法就叫做变尺度法。迭代格式为：5坐标轮换法基本步骤：保持n-1个变量（坐标）不变，分别对第1，2，…n1变量（坐标）进行一维搜索寻优，称这一过程为一轮计算，进行m轮计算后，若满足预先给定的精度，即可终止计算。搜索方向：设第k轮第i次的迭代计算格式为：：第k轮第i次的迭代步长因子：第k轮第i次的迭代方向，轮换取n个坐标方向的单位矢量。6Powell法思路：对于正定（或半正定）二次函数，其等值线是椭圆族，由于任意两条平行线与椭圆族中的椭圆之切点的连线，一定通过该椭圆族的中心。因此，分别沿两个平行方向进行一维寻优，求得相应的极