河南省郑州市第七高级中学2022-2023学年高一年级上册学期学业质量测试数学试题解析

2025届高一年级上学期学业质量测试

数学试卷

满分：150分考试时间：120分钟

命题人：赵慧娟审题人：王金龙

一、单选题(每小题5分，共8小题，总计40分)

S=<%-<1■

1.已知集合A="Hx[<2},xJ,aeADB,则。的值可以是()

A.3B.-3C.-D.--

33

【答案】D

【解析】

求得集合A,3,得到AcB，结合和选项，即可求解.

解：由题意，集合A={x||x|<2}={x|-2<x<2},B=<x—<1>={x|x<0或x>l},

X

所以An3={x[—2<xv0或l<x<2},

因为awADB,结合选项可得-'wAnB.

3

故选：D.

2.已知/(X)是定义域为(一。,+8)的奇函数，满足五(1—x)=rd+x).若/⑴=2,贝I]

/(1)+/(2)+/(3)+-.+/(50)=

A.-50B.0C.2D.50

【答案】C

【解析】

解：分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为f(X)是定义域为(3,+8)的奇函数，且尸。—X)=f(1+X),

所以/(I+x)=-f(x-l).-./(3+x)=-/(%+1)=f{x-1).-.T=4,

因此/(D+/(2)+/(3)+..♦+/(50)=14/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(l)+/(2),

因为/(3)=-/(1)，/(4)=-/(2),所以J(l)+〃2)+f(3)+f(4)=0,

•••/(2)=/(—2)=-/(2)/(2)=0,从而/(1)+/(2)+/(3)+…+/(50)=/(1)=2,选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函

数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

3.函数〃幻=(6_》_》2%的单调递减区间为()

A.[--,2]B.[-3,--]C.[--,+oo)D.(-oo,-l]

2222

【答案】A

【解析】

/(x)=J(6—x—4丫,由6-%一/2。结合函数丁=6—x—f的递减区间可得结果

解：/(x)=(6-x-x2^-^6—X—X2J>

由6—x—20得一3WxW2,又6—x—x?=——]H---，

I2j4

所以函数/(x)的单调递减区间为-今2.

故选：A.

4.已知。+。7=3,下列各式中正确的个数是()

①/+4-2=7;②/+。-3=18;③q；+/=±6；④+.八=2旧;

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解.

解：①。2+。-2=(。+。-1)2-2=9-2=7,正确；

②a3+a-3=(a+aT)(q2_]+a-2)=3X(7—1)=18,正确；

③因为a+qT=3可知。〉0,£+/>0，储+>)2=。+2+/=5,

所£-<十以—7、巧D，故错误；

[3_31_1

@a\[a+—-j==ci^+a25)(。一1+(尸)=6(。-1+。一)=2石，正确.

ayJa

故选：c

点评：本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题.

5.《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活

动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成

TT7T

一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约丁，肩宽约为丁，“弓，，所在圆的半径约为L25m,

则如图掷铁饼者双手之间的距离约为()

71B.迪m-5乃

A.—mC.—mD.2m

248

【答案】B

【解析】

由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长.

.71717154

解：由题得：弓所在的弧长为:/=—+—+—

448T

所以其所对的圆心角a=-17t

2

4

两手之间的距离d=2Hsin工=&x1.25AB=—m

44

故选：B

6.a,beR,记max{a,Z?}=<则函数〃x)=max{|x+1,x2}(%eR)的最小值是()

一3+亚Qi+Vs

DR.---------------D

22-¥

【答案】A

【解析】

讨论k+i|2f,卜+1<12时，可得函数的解析式，结合函数的单调性可得函数的最小值.

解：当3+1归即x+lif或x+iv-F解得上手耳1时，

/(x)=max||x+l|,x2|=|x+l|=x+l,函数单调递增，

所以/(x)=匕叵+1=三立；

J\/min22

十时,22

当X</(x)=max||x+l|,%|=x,函数单调递减,

小)〉/

当x>上手时，/(x)=max{|x+l|,x2}=x2,函数单调递增,

综上，/(%),=--

JV/mino

故选：A.

2*+2X〉0

7.已知〃力=4:〈力，则关于。的不等式〃2。)>/(/一3)的解集为()

A.(0,3)B.(-1,3)C.(-3,1)D.(0,1)

【答案】A

【解析】

2a>tz2-3,

先画出函数的图象，再解不等式组即得解.

2a>0

解：解：函数的图象如图所示,

2a>a1-3,_—1<a<3,

=>0<tz<3,

2a>0a>Q

故选：A.

8.已知/（X）是定义域为（o,+8）的单调函数，若对任意的X«O,”），都有/[/（x）-log2x]=3,则

函数＞=2小）一」的零点为（）

X

A.!B.-C.2D.3

23

【答案】A

【解析】

先根据“X）单调，结合已知条件求出“力的解析式，然后再进一步研究函数y=2,•的零点.

X

解：解：因为/（X）是定义域为（0,+8）的单调函数，且对任意的XG（0,心），都有/（X）—log2刃=3,

故可设存在唯一的实数CG（0,+。），使得/（c）=3,

则设/（X）-Iog2x=C,所以y（x）=log,x+C,

所以/（。）=1。82。+。=3,则log2c=3-C,

由于函数y=log?x在（0,+8）上单调递增，函数y=3-%在（0,+8）上单调递减，

又log22=l=3-2,所以C=2,

故/（x）=log2x+2=log,（4x）

再令2人）—L=o,xe（O,+s）,得：4x--=0,解得x=±，（负值舍去）.

xx2

则函数y=2〃*）—工的零点为;.

X乙

故选：A.

多选题（每小题5分，共4小题，总计20分）

9.下列选项正确的是（）

A.对VxwR,x+」一的最小值为1

x+1

B.若出7<0,则1+2的最大值为—2

ba

114

C.若。>0,人>。，则一+

abyjab

-21

D.若正实数MV满足x+2y=l,则一+一的最小值为8

xV

【答案】BD

【解析】

根据特殊值A,由均值不等式判断BC,根据“1”的技巧及均值不等式判断D.

解：对A,取光=—2,无+—-—=-3<1,故A错误；

X+1

对B,"<0,则q+2=_（-色-2）4一2、/（-g）・（-2）=-2,当且仅当a=T?时等号成立，故B正确；

babaVba

11224

对C,因为所以T—r-r9而i~~7-<i:，故C错误；

ab<ab<ablab

对于D,2+_L=（2+_L）（x+2y）=4+曳+土24+2区三=8,当且仅当至=土，即》=」,丁='

时等号成立，故D正确.

故选：BD

2'-1

io.已知函数下面说法正确有（）

A./（X）的图像关于原点对称B./（X）的图像关于y轴对称

C./（x）的值域为（—1,1）D.Vx,,x2£/?,且.卢%2，/""）二"'J〉。

玉-x2

【答案】ACD

【解析】

判断了（X）的奇偶性即可判断选项AB,求/（X）的值域可判断C,证明/（X）的单调性可判断选项D,即可

得正确选项.

解：f（x）=±_!■的定义域为R关于原点对称，

2V+1

/（-幻=2一+[=17^=-/"），所以/（x）是奇函数，图象关于原点对称，

故选项A正确，选项B不正确；

2X-1_2J+l-21-3因为2、＞。，所以2*＞1，所以。〈*＜1，

/(x)

2A+1-2'+1

-2所以一1＜1一子，＜1,可得f（x）的值域为（—1,1）,

-2<<0,故选项C正确;

2A+1

设任意的王＜々,

22_2（2为一2-）

则/(%)-/。2)=1-2&+1)

2为+12*+12』+1（2』+。（2附+1

2(2为一2徇)

因为2"+1>0,2%+1>0,2*'—2*<0，所以7~~——J<0,

(27+1)(2*+1)

即/（内）一/（々）＜。，所以二/（'”）＞0,故选项D正确;

玉一马

故选：ACD

点评：利用定义证明函数单调性的方法

（1）取值：设冷々是该区间内的任意两个值，且玉＜%2；

（2）作差变形：即作差，即作差/（百）-/（々），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断

符号的方向变形；

（3）定号：确定差/（%）一/（%2）的符号；

（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值一作差-一变形--定号--下结论.

11.下列命题中是真命题的有（）

A.存在a,B，使tan（a-/?）=tana-tan/?

B.在AABC中，若sin2A=sin28,则"WC是等腰三角形

C.在AABC中，“力〉8”是"sinA＞sinB”的充要条件

D.在AABC中，若COSA=2,sinB=一则cos。的值为二或巴

1356565

【答案】AC

【解析】

赋值法可以判断A选项；在AABC中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可判断B选项；根据正弦定

51243

理可判断选项C；先由cosA=—,求得sinA=一，再由sinB=一，结合大角对大边求得cosB=—，

131355

最后根据cosC=-cos(A+8)求值即可判断选项D.

解：对于A,当尸=。时，正确;

TT

对于B,由sin2A=sin25可得24=23或2A+2B=〃，即A=B或A+8=—,所以AABC是等腰三

2

角形或直角三角形，错误；

对于C,A>5<=>a>Z?<=>2HsinA>2/?sin3=sinA>sin5(其中R是AAb。外接圆的半径)，正确；

对于D,因为cosA=1，0<A</r,所以sinA=Jl—cos?A=Jl—(得)=

因为sinA>sin3,所以由正弦定理得从而/>B-

4,--------

又因为sin5=g,所以cos8=J1-sin?63

5

33

从而cosC=一cos(A+B)=sinAsin6-cosAcosB=—,错误;

65

故选：AC.

点评：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换

得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系.另

外，在变形过程中要注意4B,C的范围对三角函数值的影响.

Ax+l,x<0

12.已知函数/(x)=,卜列是关于函数y=/[/(x)]+l的零点个数的判断，其中正确的是

log2x,x〉0

()

A.当攵>0时，有3个零点B.当攵<0时，有2个零点

C.当A>0时，有4个零点D.当A<()时，有1个零点

【答案】CD

【解析】

令y=0得/[/(犬)]=-1，利用换元法将函数分解为/(X)=/和/(r)=-1,作出函数/(x)图象,

利用数形结合即可得到结论.

解：令y=/[/(x)]+i=。，得/[/(切=-1,设/co=t,则方程/"(切=-1等价为了⑺=-

1,

①若k>0,作出函数/(X)的图象如图：•••/(/)=-1

，此时方程/(f)=-1有两个根其中f2<0,0</|<1,由f(X)=?2<0,此时X有两解，

由/(x)(0,1)知此时x有两解，此时共有4个解，

即函数尸加(x)]+1有4个零点.

②若%<0,作出函数/(x)的图象如图：••"■(/)=-1,•••此时方程/G)=-1有一个根“，其中0<“

<1,

由/(x)="w(0,1),此时x只有1个解，即函数y=*(x)]+1有1个零点.

点评：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键,

属于难题.

二、填空题(每小题5分，共4小题，总计20分)

13.已知集合4=卜—|加+2(。+1)%+。=0｝没有非空真子集，则实数。构成的集合为.

【答案】｛0｝ujaa~~2\

【解析】

根据题意可得集合A中元素的个数为1或0个，再分情况讨论即可，注意a=0这种情况.

解：解：因为集合4=卜€1<|田;2+2(0+1»+。=0｝没有非空真子集，

所以集合A中元素的个数为1或。个，

当集合A中元素的个数为1个时，

若。=(),则有2x=0,解得x=0,符合题意，

91

若则有△=4(1+1)--4片=0,解得^二一万，

当集合A中元素的个数为0个时，

eA=4(a+l)2-4a2<0…1

则〈v,解得a<一-，

aw02

综上a=0或—,

2

即实数a构成的集合为｛0｝。,。。<一；>.

场比安、/fnlJ<

故答案为：｛0｝aa<――>.

14.已知均为实数且a,b>-l,a+b+ab=3,则a+4人的最小值为.

【答案】3

【解析】

由a+b+aZ?=3可得（a+l）S+l）=4,再将a+4b变形为（。+1）+4（匕+1）-5,利用基本不等式即可求

解.

解：由a+b+aZ?=3,可得（a+l）（b+l）=4,

因为。,。>一1,所以a+l>0,/?+1>0,

则a+4Z?=(a+l)+4(Z?+l)-5>2j(a+l)=4(l+l)-5=3，

小…+1),即a=3

当且仅当《,八时取等号.

3+1)(0+1)=4b=0

所以a+4b的最小值为3.

故答案为：3

2国x<1

15.已知函数/(%)=<62_：）［〉］，若方程〃x）=a有四个不相等的实数根毛，巧，七，/，则

X；+X；+X；+X：的取值范围为

【答案】（8,12）

【解析】

由题意可知函数/（X）的图象关于X=1对称，画出函数“X）的大致图象，不妨设E<々<当<》4,则

x,+x4=2,x2+x3=2,玉=一々，所以x；+x；+x；+x：=4考+8,再由0<々<1即可求出结果.

解：解：•..当x>l时，f(x)=f(2-x),

/（X）在（一8,1）和（1,4W）上的图象关于x=1对称,

画出函数f（x）的图象，如图所示,

不妨设X,<X2<X3<X4,

由对称性可知，玉+%=2,x2+x3=2,=-x2,

X1~+x；+石+x：=%2+石+(2—%2+(2+*2)~=4x；+8,

•/0<x2<1,r.8<4x；+8<12,

即x；+E+x；+E取值范围为(8,12).

故答案为：（8,12）.

16.已知偶函数fM的定义域为（-oo,0）U（0,+oo）,已知当々＞玉〉0时，

%"（%）一4/（工2）＞中2（法"一再炉2）,若y（2）=2e2+8,则f（x）＞2x2+|x|e闵的解集为_____,

【答案】（一2,0）u（0,2）

【解析】

X|

由X；/（王）一）＞xIx2（x2e-x/），可得'（"）；卒＞/（%2‘丁21，令g（X）=/（x）[x|e",

X]^2X

从而可得出函数g（x）在（0,+。）上得单调性，再判断函数g（x）的奇偶性，结合/（2）=2e2+8,求得g⑵,

而所求不等式可化为回二口型〉2,再根据函数的单调性和奇偶性列出不等式即可得出答案.

厂

解:解：当J〉%〉。时，由X"（X1）-6/（工2）＞%工2（工2炉一七。叼），

2

俎/（%）一司9f（X2）-X2e

得------2----＞------2----'

%x2

令g（x）=&「M,当x＞0时，g⑺

JTX

则ga）＞g（w）,

所以函数g（x）在（0,+8）上递减,

因为函数/(x)为偶函数，所以/(—x)=/(x),

/(一X)-卜Me卜M/(X)-W/

则g(T)=g(x),

所以函数g(x)也是偶函数,

因为/(2)=2e2+8,所以g(2)=2,

2|v|

不等式/(X)>2X+|X|e可化为〃止产亶>2,

即g(x)>g⑵,

所以国<2,解得一2<x<2,

所以f(x)>2x2+\x\/的解集为(—2,0)"0,2).

故答案为：(―2,0)u(0,2).

三、解答题(共6大题，第17题10分，第18题〜第22题每题12分，共70分)

17.函数/(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=(£)(xN—1)的值域为集合8,U

(1)求(dA)cB；

(2))若。=［。,2a-1］且C=8,求实数。的取值范围.

【答案】(1)(0,1］

⑵(制

【解析】

(1)此题考查集合的运算，先求集合A与/(0)=3,然后再求集合的补集与交集；

(2)m,所以讨论当。=0和CN0两种情况求范围.

【小问I详解】

函数/(》)=方二的定义域为尤―1>0，

VX-1

所以A=(l,+oo),即A=(-00』］,

因为》之一1,<2.B=(O,2］；

&A)cB=(O』.

【小问2详解】

因为C=8,所以C=0,a>2a—1,解得：a<1.

0<aa>0

3

。关0时，­aK2Q-1=><a>l得:l<a<-

92

2a—1«2a/

12

故实数。的取值范围为.

18./(x)=tan(2x+.)

(1)求函数/(x)的定义域；

⑵若/仁=2cos2a,求a.

兀kn

【答案】(1)—I---，左eZ：

82

兀

(2)a=—

12

【解析】

(1)由正切函数的定义域通过换元即可求解；

(2)利用三角函数的和差角及二倍角公式化简可得sin2a=g,根据即可求解.

【小问1详解】

..兀兀r/r/r7Tkit

由2xH—W—Fkn,kwZ,得xw—I---,Z£Z,

4282

兀krt

所以F。)的定义域为x^-+—,keZ>.

82

【小问2详解】

由砥

=2cos2a,得tan1a+1=2cos2a,

.兀

sina+

即——y----Y=2(cos2a-sin2a

cosa+：

…E,口sina+cosa

整理得-------；—2(cosa+sina)(cosa-sina),

cos。一sina

因为所以sina+cosawO,

211

因此(cos。-sin=—,即sin2a=—,

22

由二£(0,：],得2a

所以2a=二，即a=£.

612

19.命题p：e[l,2],x2+x—a>0,^命题q：“玉:wR,x2+3x+2—6T=0,5.

（1）当p为假命题时，求实数。的取值范围；

（2）若〃和q中有且只有一个是真命题，求实数。的取值范围.

【答案】（1）ci>—

4

（2）aW——

4

【解析】

（1）根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案；

（2）利用分类讨论解题思想，可得答案.

【小问1详解】

由P为假命题，则力为真命题，即土41,2],f+AQvo，

令/（x）=f+x-a,开口向上，则△=l+4a>o,解得a>_；.

【小问2详解】

由（1）可知，当p为真命题时，a<--当p为假命题时，a>--.

4;4

当4为真命题时，A=9-4（2-a）20,解得当（?为假命题时，a<-}

当P为真命题，q为假命题时，a<--；当p为假命题，q为真命题时，a>---；

44

则P和4中有且只有一个是真命题时，a^--.

4

20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益/(x)与投资额x成

正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益g(x)与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图

(1)分别写出两种产品的年收益/(x)和g(x)的函数关系式；

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大

年收益是多少万元？

【答案】(1)/(x)=0.125x,g(x)=0.5石

(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.

【解析】

(1)根据待定系数法可得；

(2)设用于投资稳健型产品的资金为x,写出年收益的解析式，利用换元法可得.

【小问1详解】

由题意可设/(x)=mx,g(x)=n4x>

由图知，函数f(x)和g(x)的图象分别过点分0.125)和(1,0.5),

代入解析式可得加=0.125,〃=0.5,

所以/(x)=0.125x,g(x)=0.54

【小问2详解】

设用于投资稳健型产品的资金为x,用于投资风险型产品的资金为20-x,年收益为y,

则y=0.125x+0.5>/20-x=-(x+4>/20-x),XG[0,201

8

令1=而1,则,=_：(*_今_20)=_：9—2)2—24],fe[0,2逐]

oo

当f=2,即X=16时，ymax=3.

所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.

21.如图，要在一块半径为1m,圆心为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在AB弧

上，点Q在OA上，点M、N在0B上，设NBOP=0.平行四边形MNPQ的面积为S.

（1）求S关于。的函数关系式；

（2）求S的最大值及相应0的值.

【答案】（1）S=sin8cos6—走sin2a（2）当。=工时，S有最大值为亚

3I3）66

【解析】

（1）分别过P、Q作PDL0B于D,QEL0B于E,则QEDP为矩形，求出边长即可求S关于0的函数关系式；

（2）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，通过0的

范围求出S的最大值及相应的。角.

解：（1）分别过P、Q作PDJ_OB于D,QEL0B于E,则QEDP为矩形，

八

由扇形半径为lcm,PD=sin0,OD=cos0,在RtZ\0EQ中MN=OD-0E=cos。-巨sin。

3

S-MN-PD-cos。—^sin。-sin^=sin^cos^----sin20,0e[o,—

I3)3I3

(2)S=sin^cos0-—sin2OS=—sin^^H-—>1-—,丁6w(

33I6j6I3；

八八万(25乃、,(c八7r\(11

当Y时，Sw邛