上海市九年级2022年中考数学模拟题分类汇编：09解答题知识点分类二 （解析板）

09解答题基础题知识点分类

分式的化简求值(共1小题)

1.(2022.青浦区二模)先化简代数式一瓶32+.1-2三,然后在下列数值&+4、3、

X2+6X+9x-9

-3、2、0中，挑选一个作为x的值代入求值.

22

【解析】解：X-2x

X2+6X+9X2-9

x(x+3).(x+3)(x-3)

(x+3)2x(x-2)

x-2

要使分式一乂2”三—+21-2内有意义,必须入/0且/3手0且X-3丰0且X-2*0,

X2+6X+9X2-9

即x不能为0,3,-3,2,

取x=V^+4,

当x=J5+4时，原式=噂+4—3

V2+4-2

「企+1

V2+2

(V2+1)X(V2-2)

(V2+2)X(V2-2)

=2-272W2-2

2-4

=-我

-2

=亚

2

二.高次方程(共1小题)

2.(2022•浦东新区二模)解方程组：,x2~4xy+4y-4,①

x+2y=6,②

【解析】解：由①得，*-2尸2或*-2/=-2

将它们与方程②分别组成方程组，得：1x-2y=2卜-2y=-2

Ix+2y=6Ix+2y=6.

.Jx-2y=2产卜1=4

Ix+2y=6[y^l

1/35

X2=2

得,

解x-2y=-2

x+2y=6.丫2=2.

，X[=4f

X2=2

所以原方程组的解为：.,

71=1卜2=2.

三.解一元一次不等式组（共1小题）

3（x+5）〉3-（x-2）

3.（2022•黄浦区二模）解不等式组：12X+2/3X

【解析】解：解不等式3（/5）>3-（x-2）,得：x>-2.5,

解不等式2x+2W至-1,得:x220,

34

不等式组的解集为x220.

四.一次函数的应用（共1小题）

4.（2022•黄浦区二模）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行,

两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米.设行驶的时间为1（小时），两车之间的距离为

s（千米），图中线段表示从两车发车至两车相遇这一过程中s与t之间的函数关系，

根据图象提供的信息回答下列问题：

（1）求s关于大的函数关系式；（不必写出定义域）

（2）求两车的速度.

【解析】解：（1）设s关于1的函数关系式为5=4>6,根据题意，得：

[2k+b=150

l3k+b=0'

解得fk=T50,

lb=450

/.s=-150Z+450：

（2）由s=-150i+450,可知甲、乙两地之间的距离为450千米，

设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为M千米/小时，吸千米/小时，根据题意,

’3丫1+3v2=450

得：,

3vj=

-3V290

fvi=90

解得;

$2=60

2/35

故轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时.

五.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)

5.(2022«普陀区二模)如图，在平面直南坐标系中，反比例函数y=K(“丰0)的图

X

象与正比例函数v=2x的图象的交点4在第一象限，点4的纵坐标比横坐标大1.

(1)求点力的坐标和反比例函数的解析式：

(2)点夕在射线)上，过点。作x轴的垂线交双曲线于点&如果点8的纵坐标为1,

求△以占的面积.

【解析】解：(1)设点4的横坐标为例，则点A的纵坐标为研1,

二•点力在正比例函数y=2x上，

.*.2/77=/77*-1,

解得m=1.

：.A(1,2).

二,点A在反比例函数y=—i,

x

X2=2.

・,•反比例函数的解析式为：y=—.

X

(2)•.•点8在反比例函数y=2的图象上，且点8的纵坐标为1

X

：.B(2,1),

：.P(2,4).

：.PB=3.

Sf\PAB=-^-X3X1=

22

六.二次函数图象与几何变换(共1小题)

6.(2022*普陀区二模)在平面直角坐标系*勿中(如图)，已知抛物线y=¥-经过《

(-1,2)、B(0,-1)两点.

(1)求抛物线的表达式及顶点户的坐标：

(2)将抛物线肝。向左平移(JE+1)个单位，设平移后的抛物线顶点为点〃.

①求N8"'"的度数；

②将线段P'8绕点8按逆时针方向旋转150后，点P'落在点附处，点/V是平移后的抛

3/35

物线上的一点，当△的出的面积为1时，求点/V的坐标.

y

oA]

【解析】解：(1)将4(-1,2)、8(0,-1)代入得，

(l+b+c=2

lc=-l，

解得：4=2,

lc=-l

.,.y=x-2x-1=(x-1)2-2,

抛物线的表达式为y=』-2x-1,顶点夕坐标为(1,-2)；_

(2)①将抛物线向左平移(JE+1)个单位，则平移后的顶点/的坐标为(1-JE-1,

-2),即(-Vs,-2),

,:PP在一条平行于x轴的直线上，

:.PP_Ly轴，

设所'与y轴的交点为。，如图，连接8夕'，

:.tanNBPP=-BD--1-,

P7DV33

：.ZBP'-30°；

4/35

②)•：乙BPP=30°,

：.ZP,劭=90°-ZBP'-90°-30°=60°,

,:BM是BP'绕8点逆时针方向旋转150°得到的，

即NUB4"如90°=60°+90°=150°,

:.BM〃x期,

BM=BP'=yjpfD2+BD2=7(V3)2+12=2,

设△掰阳中8M边所对应的高为h,

则Sz\»®=工腑/?=Ax2/7=1,

22

：.h=\,

.•.点儿的纵坐标为-1±1,即。或-2,

又；平移后的抛物线表达式为y=(A+V3)2-2,

当y=-2时，(X+A/3)2~2--2,

解得:x=-M,

当y=0时，即(於相)2-2=0,

解得：x=-g±M,

.•.点〃的坐标为(-如,-2)或(-M+M,0)或0).

七.二次函数综合题(共3小题)

7.(2022*青浦区二模)已知直线y=4户6经过点4(-2,0),B(1,3)两点，抛物线y

=a『-4aA+6与已知直线交于C、。两点(点C在点。的右侧)，顶点为只

(1)求直线的表达式；

(2)若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；

(3)若直线，户与直线48所成夹角的余切值等于3,求抛物线p=a42-4/叶6的表达式.

【解析】解：(1)I•直线卜="/6经过点4(-2,0),B(1,3),

5/35

.f-2k+b=0

lk+b=3'

解得：心咒

lb=2

该直线的函数表达式为：y=/2；

(2)由(1)知：6=2,

2

y—ax-4SA+2=a(x-2)+2-4af

・,・该抛物线的顶点为。(2,2-4a),

由题意得：卜>。，

12-4a<0

解得：

2

a的取值范围为a》1•：

2

(3)①当a<0时，如图1,过点户作〃/〃y轴交直线于点”，交x轴于点尸，器PE

■L48于点E,

,:P(2,2-4a),

：.H(2,4),

.•./7/=2-4a-4=-4a-2,

由ax-4aA+2=A+2,

得：必=0,X2=4+工，

a

：.D(0,2),

・・F(-2,0),

OA=OD=2,

・・・N4?0=45°,

‘：PH"y期,

：,/AHF=/ADO=45°,

:・NPHE=45°,

：.PE=PH-s\nNPHE=(-4a-2)Xsin45°=_2版a-近,

:.EH=PE=-2版a-即i,

•：DH=Q(2-0)2+32)2=2近,

:.DE=D*EH=2M+(-2723-A/2)=-2&K&,

VcotZW£=DE=3,

PE___

:.DE=3PE,即-2&尹&=3(-2&a-&),

解得：a=-1,

.•.抛物线的表达式为y=-x+4A+2;

②当a>0时，如图2,过点夕作月〃〃)/轴交直线49于点H,交x轴于点F,作PE1.AB

于点E,

,:P(2,2-4a),

：.H(2,4),

6/35

:-(2-4a)=4K2,

由ax-4ax+2=x^2,

得：M=0,X2=4+,

a

：.D(0,2),

'：A(-2,0),

：.OA=OD=29

:.NADO=45°,

•・・/W〃y轴，

:・NAHF=NADO=45°,

：•4PHE=45°,

：.PE=PFhsm，PHE=(4/2)Xsin45°=2&尹

:・EH=PE=2H#®,____

:・DE=DH-EH=2近-(2&尹衣)=-2衣>衣，

VcotZW£=^1=3,

PE___

:・DE=3PE,即-2&尹&=3(2加尹&),

解得：a=-―,与a>0矛盾；

4

7/35

8.(2021•深阳市一模)如图所示，抛物线V=H(A+1)(x-5)(3/0)的图象与x轴交于

4、8两点，与y轴交于点C.

(1)当a=-2时，

5

①求点4B、C的坐标；

②如果点户是抛物线上一点，点"是该抛物线对称轴上的点，当AM7是以0M为斜边的

等腰直角三角形时，求出点户的坐标；

(2)点〃是抛物线的顶点，连接劭、CD,当四边形物。是圆的内接四边形时，求a的

值.

【解析】解：对于y=a(/1)(x-5)(a=#0),令y=a(A+1)(x-5)=0,解得x=5

或一1,令x=0,贝1Jv=-5e,

故点4B、。的坐标分别为(-1,0)、(5,0)、(0,-5a),

当x=2时，y=a(A+1)(x-5)=-9at顶点的坐标为(2,-9a).

(1)①当a=-2时，函数的表达式为y=-2(/1)(x-5),

55

则点4B、。的坐标分别为(-1,0)、(5,0)、(0,2);

②过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F,交x轴于点E,

(*-5)),

5

YN腑0=90°,

：.ZMPF+ZOPE=90°,

9：ZOPB-ZPOE=90°,

：.4POE=NMPF,

8/35

■:NPFM=40EP=^0°,PM=PO,

：.4PF旭XOEP345),

：.PE=MF,

则|-2(A+1)(x-5)|—x-2,解得x=-S或4或0或13,

522

故点。的坐标为-1,-9)或(4,2)或(0,2)或(里,9

2222

(2)点B、C的坐标分别为(-1,0)、(0,-5a),顶点。的坐标为(2,-9a).

当四边形08DC是圆的内接四边形时，则宓的中点为该圆的圆心，

设861的中点为点0,由中点坐标公式得，点0(2-Sa),

22

则ogDQ,

即也)2+(-.§­)=(2-反)2+(-9K§a)1

2222

解得a=±®.

6

9.(2022•浦东新区二模)如图，在平面直角坐标系x%中，抛物线y=,x-2A+C与直线y

=-」A+3分别交于x轴、y轴上的8、C两点，抛物线的顶点为点。,联结必交x轴于

2

点E.

(1)求抛物线的解析式以及点。的坐标；

(2)求tanN8C。；

(3)点户在直线比■上，若NPEB=ZBCD,求点夕的坐标.

【解析】解：(1)由题意得8(6,0),C(0,3),

把8(6,0)C(0,3)代入y=ax2-2x+c

9/35

得［0=36a-12+c

*i3=c

解得：＜1五,

c=3

，抛物线的解析式为:

10

y=—x-2x+3

4

=A(%2-8x)+3

4

=—(x-4)2-1,

4

：.D(4,-1)；

(2)可得点£(3,0),

OE=OC=3,N阪=45°,

过点B作BFLCD,垂足为点尸

在RtZXOEC中，EX----______=3A/2,

cos/CEO

在Rt△比尸中，BF=BE，sin/BEF=♦泥,

2

同理，EF二迎

2

：.CF~3^2+3y2__冬历，

22

在Rt△渐中，tanN8a?=EE=_l;

CF3

(3)设点。(m,-A-m+3)

/PEB=ZBCD,

.".tanZPEB=tanNBCgA,

3

①点。在x轴上方

.4m+3i

•--------=—,

m-33

解得：Nl,

m5

点/（建，旦）,

55

②点。在X轴下方

10/35

.7m-31

,,-------=—,

m-33

解得：m=12,

二点户(12,-3),

综上所述，点尸(21,反)或(12,-3).

10.(2022*徐汇区校级模拟)如图所示，已知△/lb。中，48=4^10厘米，6"8厘米，

点。为的中点.如果点。在线段8c上以1厘米/秒的速度由8点向C点运动，同时点

0在线段a上由C点向力点运动.

(1)若点。与点户的运动速度相等，经过3秒后，48外与△C”是否全等？请说明理

由；

(2)若点。与点尸的运动速度不相等，当点。的运动速度为多少时，能够使即与△

C”全等？

【解析】解:(1)：t=3秒,

...砂=绚=1X3=3(厘米)，

：/18=10厘米，点。为48的中点，

，8P=5厘米.

又'：PC=BC-BP,80=8厘米，

"6=8-3=5(厘米)，

：.PC=BD.

'：AB=AC,所以N8=NC,

：./\BPD^/\CQP(SAS).

(2)•点。与点。的运动速度不相等，所以BP^CQ,

当IXBPD^XCPQ喻,因为N8=NC,48=10厘米，8C=8厘米,

11/35

:.BP=PC=4厘米,绚=劭=5厘米，

.•.点只点0运动的时间为4秒，

.•.%=8厘米/秒，即当点。的运动速度为8厘米/秒时，能够使△8%与△曲火全等.

44

九.平行四边形的判定与性质(共1小题)

11.(2022.黄浦区校级二模)如图，已知等边A/lb。中，D、尸分别是边8a48上的点，且

CD=BF,以4。为边向左作等边联结CAEF.

(1)求证：四边形3标是平行四边形：

(2)当NDEF=45°时，求空■的值.

CD

【解析】(1)证明：是等边三角形，

**.AC=CB,NACD=NB,

又CD=BF,

:.△ACD^XCBF(SIS),

J/DAC=/FCB,

・・./BAD=NACF,

■:NEDB=\8G-Z.ADE-ZADC=]2Q°-NADC,NFCB=M0-4B-，CFB=、20°-

/CFB,

:・/EDB=4FCB,

：.CF//DE,

四边形a行是平行四边形：

(2)解：过尸作FG1BC于G,

12/35

:四边形C叱是平行四边形，4DEF=45",

：.4FC4/DEF=45°,

/.FG=CG,

设BG=x,则CG=FG=BG*tan600=y[3x,

CgBF=-—=2x,

cos600

：.BC=B&rCG=(1+V3)x,_

：.BD=BC-CD=(1+V3)x-2x=(愿-1)x,

•BD=(V3-1)X=V3-1

"CD2X~.

一十.菱形的性质(共1小题)

12.(2022*嘉定区二模)如图，已知在菱形49C。中，£为边力。的中点，彦与劭交于点G,

过点G作GFLCD于点、F,Z1=Z2.

(1)若勿【=3,求的长；

(2)求证：BG^GRCE.

,N2=N38,AD^CD,

；N1=N2,

N1=NCDB,

：.CG^DG,即△3G是等腰三角形，

GF1.CD,

：.CF=DF,

•：DF=3,

••CD=6,

：.AD=6\

(2)证明：如图，延长绥交班的延长线于点M则NAEM=NDEC,

V点£■是4。的中点,

:・AE=DE=DF、

,:AB〃CD,

:・NM=NDCE,

:•XAE旭匕DEC(A4S),

：.EM=CE,

,:DE=FD,DG=DG,N2=NG，£

:•△GDEQ4GDF(弘S),

：,EG=GF,

,:BM〃CD、

・・・NM=N1,ZGBM=ZGDC,

13/35

,.・N1=NG〃Q

:■NM=4GBM,

:・BG=MG,

■:GM=GHEM,

:,BG=FG^CE.

一十一.矩形的判定（共1小题）

13.（2022*松江区校级模拟）如图，在△48C中，48=4C,点、。在BC上,以4?、4E为腰

做等腰且N474N/48C,连接笫，过£作日7〃8c交）延长线于尸，连接

（1）求证：NECA=NABC;

（2）如果彳尸=48,求证：四边形侬石是矩形.

【解析】证明：（1）,.・444?,

，4ABe=NACB,

・・・N%"180°-2/ABC,

同理N%£=180°-24ADE,

・.・ZABC=NADE,

：./BAg乙DAE,

：./BAD=iCAE,

X：AB=AC,AD=AE,

[△ABD^XACE（弘S）,

，4ECA=2ABO,

（2）'：/ECA=/ABC,NABC=4ACB,

:・/ECF=/ACB,

*：EF//BC,

:・NEFC=/ACB,

:・/EFC=/ECF,

：.EF=EC,

••・△/Id/运△4C£

:・BD=EC,

：.BD=EF,

.・・四边形侬正是平行四边形，

*：AF=AB=AC,

14/35

:.』AFB=ZABF,4ABC=ZACB,

,/ZAFB^ZABPrZABC+ZACB^180°,

：./ABR/ABC=M,

即/惭=90°,

二平行四边形侬厉是矩形.

一十二.梯形（共1小题）

14.（2022•宝山区二模）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,N86g90°,AABX5,AD

=2,

（1）求CD的长;

（2）若N48C的平分线交办于点£连接求的正切值.

【解析】（1）过点4作力尸_L8C垂足为尸，

由题意得下04X2,AF=CD,（1分）

,:BX5,：.BF=3,（1分）

在中解得4尸=4,ACD=4.（1分）

（2）设EXx,由AB=BC,NABE=NCBE,BE=BE,

得△然虑△腔，

AE^EC^x,ZAEANCEB.（2分）

DE=A-x,在《中，AU=A3»DUG=（4-x）2+22,得x=5.（1分）

2

BC5

tanAAEB—tanZ.CEB———^——2.（2分）

CE5

~2

一十三.直角梯形（共1小题）

15.（2022*徐汇区模拟）在直角梯形ABCD中，AB//CD,NABX90。,NDAB=6Q°,AB

=2CD,对角线儿?与劭相交于点0,线段），班的中点分别为£,F.

（1）求证：XF0E9l\D0C-,

（2）求sinN窕尸的值.

15/35

【解析】证明：(1)•.•您是△/8的中位线,

：.EF//AB,EF=LB,

2

<CD=、AB,CD//AB,

2

EF=CD,EF//CD,

：.ZOEF^ZOCD,AODC^ZOFE,

在△人厉和△〃，花■中，

'/OEF=NOCD

V<EF=CD,

ZOFE=ODC

:.△FQgXDOC(AS>4)；

(2)过点。作ZW垂直49,垂足为“，

四边形ABCD为直角梯形，

二四边形DHBC为矩形,

-：AB=2CD,

：.AH=CD,

在RtZk/l//中

设CD^AH^k,

则D4AH*tan60",

/.DH=V3k,

•*-BC=V3k.

'：EF//AB,

：.NOEF=ZCAB,

•：4ABC=qO",

7AC=VAB2+BC2=V7k'

16/35

-I•四.圆心角、弧、弦的关系（共1小题）_

16.（2022•宝山区模拟）已知△49C中，Z5=45°,AB=472,tan<?=2,。。过点4C,

交8c边于点。.且俞=血，求微的长.

【解析】解：如图，连接延长4。交8c于点£

VAD=AC,

：.AD^AC,

•.•点0是等腰△4CO的外心，

：.AELCD,nCM2CE.

在直角△>>的中，N8=45°,AB=4^2,则4£=4.

•.•tanC*=2,

.•.迪=2,即AE=2CE,

CE

:.CgAE=4,即线段能的长度是4.

一十五.圆的综合题（共2小题）

17.（2022.宝山区模拟）如图，在半径为3的圆0中，OA、08都是圆。的半径，且N4应

=90°，点C是劣弧标上的一个动点（点C不与点力、B重合）,延长4c交射线必于点

D.

（1）当点C为线段4）中点时，求N4仍的大小；

（2）如果设Bgy,求y关于x的函数解析式，并写出定义域：

（3）当起喈时，点£在线段勿上，且g=1,点尸是射线以上一点，射线）与射

s

线加交于点G,如果以点4G、尸为顶点的三角形与△似?£相似，求,aAG£的值.

^ADGE

17/35

图1

♦・•点C为线段4。中点，N478=90°,

：・OC=CA=CD,

U：OC=OA,

**.0A=0C=AC,

...△"C是等边三角形，

・・・N/=60°,

，N加8=90°-Z/1=90°-60°=30°;

(2)如图2,连接0C,AB,过点0作0/AL/IC于点//,

图2

9：OA=OC,OH，AC,AC=x,

,"fM^V0A2-AH2=-j9-1x2=yV36-x2-

•:N"/AOH=NAO出NDOH=90°,

4A=/DOH,

18/35

°：4AH0=40HD=qN,

:•△AOHS^ODH,

・AHOA

••—,

OHOD

,:BD=y,

1

~2X3

yv36-x

2

.IZ=3V36-X-3X

••y------------------------♦

x

・・•点。是劣弧标上的一个动点(点C不与点48重合)，

：.Q<AC<AB,

AB=VOA2-H3B2=V32+32=3近,

：.0〈xV3近,

.•/关于x的函数解析式为y=31犯工2二3工定义域为0Vx<3近；

o/ISx2.乂18

3136-(-T-)-3X—

当KA时，由(2)可知，劭=」-------三--------=1,

匹518

"5"

•：0E=\,08=3,

:・BE=2,DE=3,⑺=4,

Yl\AGFsl\EGD,

:・NGFA=ND,

•：4GFA=4OFE,

：.NOFE=ND,

19/35

•:乙g乙0,

:•△OFES^ODA、

・OF0E即OF1

ODOA43

：.0F=生,

3

AF=OA-OF=3-9=2

33

匕AGFSXEGD,

5_

/^_\2=_25_

SADGEED'<3，81

18.（2022*平阳县一模）数学家庞斯莱发明过一种玩具（如图1）,这种玩具用七根小棍做

成，各结点均可活动，AD^AF,CXDE=EF=FC,且OC<AF-CF.使用时，将4。钉牢

在平板上，使4。间的距离等于木棍0C的长，绕点0转动点C,则点C在。。上运动，

点£在直线8G上运动，BGJLAB.图2是该玩具转动过程中的一幅示意图.

（1）判断点4C,£在同一条直线上吗？请说明理由，

（2）当点0,G,尸在同一条直线上时.

①求证：CD//AB.

②若0C-2,3=3,tanZ0467=A,求8£的

2

【解析】（1）解：点4,C,£在同一条直线上，理由如下:

■:CD=DE=EF=CF,

20/35

・・・四边形如尸是菱形，

:・CE1FD,OfF=0'D,

：.AFOr£=90°,

・・•川•=4?,

：.AOf1FD,

・・・N初尸=90°,

・・・N4。RNFO,£=180°,

・••点AC,E在同一条直线上；

(2)设。。与48交于点K连接CM,

①证明：・・•四边形CZ?炉是菱形，

:.CF=CD,AE1.FD,

：.NCFD=ZCDF,

:彳"是直径，

:・AE，CM,

：.FD//CM,

：.ZOCM=ZCFD,£FDC=/DCM,

:・/DCM=/OCM,

YOC=OM、

：.^OCM=Z.OMC,

：.乙DCM=20MC,

：.CD//AB\

②解：延长与48交于点乂

设8仁x,BE=y,

・.•四边形CDEF是麦彤,

：.FO//EN,ED=CDy

：./ECD=/CED,

21/35

CD"AB,

J四边形COM?是平行四边形，

:・/ECD=/CAB,

：.CD=ON=3,4CAB=/CED,

:.AN=EN,

•：OC=OA=2,

：.EN=AN=AO^ON=2^3=5,

/.AB=5+x,

在RtZ\4用中，tanZfl46^=^=A,

AB2

•.•--y--=1,,

5+x2

x=2y-5,

在RtZ\£^V中，由=8占+8/匕

A52=y+（2y-5）2,

解得，yi=0（舍去），y2=4,

:・BE=4.

一十六.相似三角形的性质（共1小题）

19.（2022*松江区校级模拟）如图所示，48日7的顶点£在矩形4员刀对角线47的延长线

上，BC=1,AB=4^,4E与房交于点G,连接力尸，满足△48叱△庞瓦（其中4对应C,

8对应E,打对应8）

（1）求证：N£4Z?=30°.

（2）若CE=L,求tanN咐的值.

3

【解析】(1)证明：・：XABFs^CEB,

：.ZFAB=/BCE,

•・•四边形力8⑺是矩形，

：.AD//BC,NDAB=』ABC=9G0,

：・/DAC=/ACB,

■:NBCH/ACB=\8G,

.♦・/7用N"k?=180°,

即侪N%G=180°,

:•/FA步9N+N〃4J80°,

—FAM乙DAC=qG,

22/35

VZDAB=90°,

：.ZBAOZDAC=90°,

，/FAD=/BAC,

在RtZ\?18C中，

：tanN"6'=弛

ABV33

AZ546,=30°,

N幺片30°；

(2)由(1)得N48c=90°,NHk?=30°,

：.AX2BX2X\=2,

：.AE=AC+CE=2+工工

33

■:△ABFsXCEB,

•AFAB

••一一■■-二,

BCCE

3

：.AF=3y[Z,

由(1)得：/FAMZDAgqQ。,

则NR1£=9O°,

在RtZiRff中，tanZA£4==3^.

~3

一十七.相似三角形的判定与性质(共2小题)

20.(2022*普陀区二模)已知：如图，在菱形力成沙中，对角线47、BD交于点E,点M是

CD中点、,联结日/并延长，交N0C8的外角N0C”的平分线于点£

(1)求证：ME=MF,,

(2)联结〃尸，如果BD.求证：四边形2%尸是正方形.

AZACD=XxBCD,ZCED^90°,

2

■:CF斗分2DCN,

NDCF=LADCN,

2

二N&?尸=久8处=90°,

2

23/35

•・•点加为3的中点，

:・EM=CM,

:./MEC=/MCE,

-MCF=/F、

：.MC=MF,

:.ME=MF・、

(2)•:A^=EB・BD,

•・•ABBD,

EBAB

又：/A8E=NDBA,

:.△ABEsXDBA、

：.ZAEB=ZDAB,

•.•四边形483是菱形，

:.AELBE,

:.NDAB=/AEB=9G,

.•.四边形(483是正方形，

：.ED=FC,

由(1)知，E4MD=MF=MC,

：.EF=CD,

四边形。灯方是矩形，

'：ED=EC,

四边形尸是正方形.

21.(2022・黄浦区二模)如图，已知在BOAB,BD斗分4ABC,交边4?于点

£是8c边上一点，且8£=外，过点4作4G〃〃E,分别交劭、BC于点F、G,联结房

(1)求证：四边形4的是菱形；

(2)求证：/片=8。BC-.

s

(3)若AB=AC,BG=CE,联结〃；求△迦,的值.

SAABC

【解析】解：(1)证明：如图,

•:BD平分4ABC,

:.NABF=ZEBF,

'：BA=BE,BF=BF,

：.4ABFQAEBF{SAS'),

:.AF=EF,

同理可得△/仇运(S4S),

24/35

:・AD=ED,4ADB=4EDB,

'：AG//DE.

:・/AFD=/EDF,

：.NAFD=NADF,

：.AF=AD,

：.AF=FE=ED=DA,

・・・四边形川用?是菱形.

(2)证明：由(1)得/\ABW/\EBF,

，BAG=4BEF,

・・•四边形AFED是菱森,

：.AD//FE,

:./BEF=/C,

：.4BAG=NC,

/ABG=ZCBA,

:・/\ABGs丛CBA,

AAB=BG即初=gBC.

BCAB

(3)由(2)得，XABGsXCBA、AB=AC,

:・AG=BG,

：.NGAB=ZGBA,

：・/AGC=2乙GAB、

•:BG=CE,

:・BE=CG,

：.CG=CA,

：.NCAG=ZCGA,

■:4CAG=2NDAE、

:,NDAE=NABC,

:ZDEA=/ACB,

:、△DAESRABC,

・

S/kADE=(AE)2

3△ABCBC

":A)=BOBC,AB=BE,BG=EC,

:.BW=ESBC,

，点、E是BC的黄金分割点、,

<BE=V5-1

，eBC2

.CE=3-V5

**BC2

•?NEAC=NC,

:.CE=AE,

.AE=3-V5

"BC2

25/35

.SAADE_7-375

SAABC2

一十八.相似形综合题（共1小题）

22.（2014»崇明县二模）已知：在△48C中,Z/45C=90°,48=5,NG=30°，点D是AC

边上一动点（不与4C重合），过点。分别作交48于点E,DFLBC燹BC于悬F,

联结£尸，设4£=x,EF=y.

（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）以尸为圆心尸C为半径的。尸交直线4?于点G,当点G为力。中点时，求x的值；

（3）如图2,联结劭将△的）沿直线劭翻折，点£落在点£'处，直线与直线4C

相交于点M,当为等腰三角形时，求N力劭的度数.

【解析】解：(1),:DELAB,DFLBC,NA8X90。,

Z.ZDEB=ZDFB=ZABC=900,

四边形砌中为矩形，

：.ED//BF,EB//DF

:.NADE=NX3C,

在RtZ\〃ZJ中，ZXPf=30",AE=x

：.ED^yf3X,AD^2x,/1BAC^6Q°_

在Rt△弼中，BE=5-x,BF=ED=ax

•■•£F=VBF2+BE2

y=V4X2-10X+25(。<*<5),

(2)在RtZk/SC中，ZC=30°,4B=5

：.AC=W,BC=5V3,_

J.FC^BC-BF=5炳-V3x

方法1:

连接EG,FG,如图2,

在RtA/4£Z?中，G为4?中点

：.EG=A&=AE

•••△/EG为等边三角形

:・NAGE=60°,

U：FC=FG

：.ZFGC=ZC=3Q°

：.ZEGF=90°,

在Rt△叱中，Ef^=Ed+Ge

26/35

4X2-10X+25=X2+(5A/3-V3x)2

.5

,•x巧，

方法2:

连接FG,作FHX.GC交GC于点H,如图2,

：.CG=2CH,

在Rt△胡中，HC=叵FC=15-3X

22

.•.C415-3X,

'：AC=A(hCG^-3x=10,

.5

••

方法3：

连接&?并延长交班延长线于点只如图3,

,:DF〃PB,

・DFFGDG

,,――="'一二,

APGPGA

."P=4a4P=10-x,

FP=2FG=10V3-2V3X

在RtZk8所中，Pe=P*+B^,

，2，-25武50=0,

二金，x2=10(舍去)；

X12

(3)由翻折可得N48〃=N/?8£',△町府是等腰三角形时，N/劭的大小存在三种情况:

当点"落在47边上时，

①当劭=8M时，/BD4乙BMD,

；/弟//8帆//俯=180°,

.-.60°+2N4如180°二幺段_=18。°

2

:.NABg20",

②当仍=ZW时，NDB4/DMB

VZAZA8俯ZAMB=180°

：.3^ABO/：A=}8Q°

.♦.N48占40°,

当点M在延长线上时，

③当8p=8M时，/BDg/BMD,

,:NAD济N4ZDBE',

•/1，

••ZADB=yZABD-

•：ZBAC+Z