微积分(上)复习

微积分(上)复习2024-01-24目录contents微分学基本概念与运算积分学基本概念与运算微分方程初步知识多元函数微分学基础无穷级数初步知识01微分学基本概念与运算VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处有增量$Deltax$，$(x_0+Deltax)$也在该邻域内时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数。微分定义设函数$y=f(x)$在某区间内有定义，$x_0$及$x_0+Deltax$在这区间内，如果函数的增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$可表示为$Deltay=ADeltax+o(Deltax)$（其中A是不依赖于$Deltax$的常数），而$o(Deltax)$是比$Deltax$高阶的无穷小，那么称函数$f(x)$在点$x_0$是可微的，且ADeltax称作函数在点$x_0$相应于自变量增量$Deltax$的微分，记作$dy$，即$dy=ADeltax$。导数定义导数与微分定义导数性质与运算法则导数性质可导函数的和、差、积、商仍可导；复合函数的导数等于外函数的导数与内函数导数的乘积；反函数的导数等于原函数导数的倒数。运算法则包括四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则等。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。高阶导数求法归纳起来可分为逐次求导法、高阶导数公式法和间接法。高阶导数设函数$u=g(x)$在点$x$可导，函数$y=f(u)$在点$u=g(x)$可导，则复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$可导，且其导数为$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$或$frac{d}{dx}f[g(x)]=f'(u)g'(x)$。复合函数求导高阶导数及复合函数求导微分在近似计算中应用当$Deltax$很小时，有$Deltayapproxdy$，即$Deltayapproxf'(x_0)Deltax$。利用这个公式，我们可以求出函数在某点的近似值。微分近似公式在测量或计算中，由于各种因素的影响往往会产生误差。利用微分可以对误差进行估计和控制。误差估计02积分学基本概念与运算设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的长度记为$Deltax_i$，在每个小区间上任取一点$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$。当$n$趋于无穷大，且$lambda=max{Deltax_i}$趋于零时，该和式的极限称为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$int_{a}^{b}f(x)dx$。设$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则$f(x)$的所有原函数称为$f(x)$的不定积分，记作$intf(x)dx=F(x)+C$，其中$C$为任意常数。定积分不定积分定积分与不定积分定义定积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式性质等。性质包括和的积分等于积分的和、常数倍可提到积分号前、乘法分配律等。运算法则积分性质与运算法则换元法通过变量代换简化被积函数或改变积分区间，使得新的积分更容易求解。常见的换元法有三角代换、根式代换、倒代换等。分部积分法当被积函数是两个不同类型函数的乘积时，可以尝试使用分部积分法。该方法的基本思想是将其中一个函数先求导再与另一个函数相乘，然后进行积分。通过多次使用分部积分法，可以逐步简化被积函数并求解出原积分。换元法及分部积分法应用无穷限广义积分当积分的上限或下限为无穷大时，称该积分为无穷限广义积分。求解这类积分时，通常需要将其转化为定积分的极限形式进行求解。瑕点广义积分当被积函数在积分区间内存在无界点时，称该积分为瑕点广义积分。求解这类积分时，需要将被积函数在瑕点附近的行为进行分析，并选择合适的方法进行求解。常见的求解方法有分割法、变量替换法等。广义积分简介03微分方程初步知识微分方程定义描述未知函数与其导数之间关系的方程。要点一要点二微分方程分类根据方程中未知函数的最高阶导数的阶数，可分为一阶、二阶及高阶微分方程；根据方程是否线性，可分为线性微分方程和非线性微分方程。微分方程概念及分类一阶线性微分方程标准形式$y'+P(x)y=Q(x)$解法步骤先求解对应齐次方程$y'+P(x)y=0$的通解，再利用常数变易法求得原方程的一个特解，最后通过叠加原理得到原方程的通解。一阶线性微分方程解法$y''=f(x)$，$y''=f(x,y')$，$y''=f(y,y')$可降阶高阶微分方程的三种类型通过适当的变量代换，将高阶微分方程降为一阶或二阶微分方程进行求解。解法思路可降阶高阶微分方程解法通过建立物体振动的数学模型，利用微分方程求解物体的振动频率、振幅等参数。振动问题人口模型经济模型工程问题利用微分方程描述人口数量的变化，预测未来人口发展趋势。通过建立经济现象的微分方程模型，分析经济现象的发展规律，为经济决策提供依据。在工程中，许多实际问题可以通过建立微分方程模型进行求解，如梁的弯曲、热传导等问题。微分方程在实际问题中应用04多元函数微分学基础多元函数定义设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合，$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数的性质包括有界性、单调性、周期性、连续性等。多元函数概念及性质VS设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y0$而$x$在$x0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$Deltaz=f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)$。如果$Deltaz$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时的极限存在，那么此极限值称为函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$处对$x$的偏导数。全微分定义如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依赖于$Deltax,Deltay$而仅与$x,y$有关，$rho=(Deltax^2+Deltay^2)^frac{1}{2}$，此时称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而$ADeltax+BDeltay$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。偏导数定义偏导数与全微分计算多元复合函数和隐函数求导法则多元复合函数求导法则链式法则。隐函数求导法则隐函数存在定理和隐函数求导公式。设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某邻域内有定义。如果对于该邻域内异于$(x0,y0)$的任一点$(x,y)$，都有$f(x,y)<f(x0,y0)$（或$f(x,y)>f(x0,y0)$），则称函数在点$(x0,y0)$有极大值（或极小值）。多元函数极值定义通过比较各驻点的函数值大小来确定。多元函数最值问题多元函数极值和最值问题05无穷级数初步知识比较判别法利用级数相邻两项之比的极限值来判断级数收敛性。比值判别法根值判别法积分判别法01020403将级数转化为函数，通过判断函数的可积性来判断级数收敛性。通过比较级数与已知收敛或发散的级数，来判断其收敛性。通过求级数各项绝对值的n次方根的极限来判断级数收敛性。常数项级数收敛性判断方法幂级数展开与收敛域确定利用泰勒公式或麦克劳林公式将函数展开为幂级数形式。幂级数展开通过比较级数与已知收敛的级数，或者利用比值判别法、根值判别法等方法来判断幂级数的收敛域。收敛域确定将周期函数表示为一系列正弦函数和余弦函数的线性组合。在信号处理、图像处理、振动分析等领域有广泛应用，如将复杂信号分解为简单正弦波的叠