中考数学证明题60例

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页中考数学证实题60例一、解答题（共60小题）1．（2015•遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延伸线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证实四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．2．（2015•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，衔接BD，AF，则BDAF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分离交边AC，DE，DF于点G，H，N，衔接BH，GF，求证：BH=GF．3．（2015•镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分离延伸OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次衔接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=°时，四边形BFDE是正方形．4．（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G衔接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．5．（2015•玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延伸线于点C，E为的中点，衔接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．6．（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．7．（2015•营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，衔接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，衔接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，衔接CE，求CE的长．8．（2015•徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分离在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=时，四边形BFCE是菱形．9．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，衔接BE并延伸与AD的延伸线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．10．（2015•湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分离为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证实：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．12．（2015•咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分离交AC、AB于点E、F．（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．13．（2015•梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分离交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．14．（2015•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．15．（2015•铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，衔接DF并延伸交BC的延伸线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．16．（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．17．（2015•铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分离在边CD、AB上．（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．18．（2015•天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：（1）AC•PD=AP•BC；（2）PE=PD．19．（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．20．（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，衔接PO．（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留足迹，不写作法），并证实：PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．21．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，衔接MN交BD延伸线于点E．（1）求证：BD+2DE=BM．（2）如图2，衔接BN交AD于点F，衔接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=．22．（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分离以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延伸线分离交于点E、F，衔接AD、BD、CD（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．23．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延伸线上，且OE=OB，衔接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）倘若OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．24．（2015•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．25．（2015•庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．（1）当AB=2时，求△GEC的面积；（2）求证：AE=EF．26．（2015•青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．27．（2015•钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）衔接OC，倘若OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．28．（2015•黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上随意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．（1）求证：PN与⊙O相切；（2）倘若∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．29．（2015•潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延伸线交于点M，∠COB=∠APB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．30．（2015•盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上随意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延伸线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；（2）求证：直线BF是⊙O的切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延伸线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么异常的四边形？请在图2中补全图象并证实你的结论．31．（2015•内江）如图，将▱ABCD的边AB延伸至点E，使AB=BE，衔接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）衔接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．32．（2015•南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分离在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．33．（2015•南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延伸线上的一点，CD与半圆O相切于点D，衔接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（确切到0.01）34．（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延伸线与AD的延伸线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）衔接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．35．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．36．（2015•南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．①求证：四边形AFF′D是菱形．②求四边形AFF′D的两条对角线的长．37．（2015•梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③衔接BD，与AC交于点E，衔接AD，CD．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．38．（2015•龙岩）如图，E，F分离是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：AE=DC；（2）已知DC=，求BE的长．39．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，衔接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．40．（2015•辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分离交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延伸线于点F．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．41．（2015•连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD举行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．（1）求证；∠EDB=∠EBD；（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．42．（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分离以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，衔接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．43．（2015•酒泉）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延伸线与BC的延伸线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE=cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE=cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）44．（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延伸线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．45．（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过看见，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证实；（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？46．（2015•黄石）在△AOB中，C，D分离是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分离为OA，OB的中点，证实：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为随意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，预测∠AEB=θ是否成立？请说明理由．47．（2015•黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，衔接AN，过点C的切线交AB的延伸线于点P．（1）求证：∠BCP=∠BAN（2）求证：=．48．（2015•湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，衔接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．49．（2015•葫芦岛）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延伸线于点E，与⊙O相交于G、F两点．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？50．（2015•呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分离为边AB、CD的中点，BD是对角线．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证实你的结论．51．（2015•呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延伸线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径．52．（2015•贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）．53．（2015•贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8．（1）求证：AF=EF；（2）求证：BF平分∠ABD．54．（2015•河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延伸BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，衔接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②衔接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形．55．（2015•桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分离是AB、CD的中点．（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；（2）对角线AC分离与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．56．（2015•贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延伸线相交于点M，衔接AC，CM．（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）（2）求证：四边形ABMC是菱形．57．（2015•甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分离交于M，H．（1）求证：CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证实你的结论．58．（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延伸EF交边BC于点G，衔接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．59．（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．（1）证实：AB=CD；（2）证实：DP•BD=AD•BC；（2）证实：BD2=AB2+AD•BC．60．（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延伸线交于点D，DE⊥PO交PO延伸线于点E，衔接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是的切线．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．

2015年全国中考数学证实题60例参考答案与试题解析一、解答题（共60小题）1．（2015•遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延伸线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证实四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）按照AAS证△AFE≌△DBE；（2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，按照等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．解答：（1）证实：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证实：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）解：设菱形DC边上的高为h，∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形的面积计算，主要考查学生的推理能力．2．（2015•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，衔接BD，AF，则BD=AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分离交边AC，DE，DF于点G，H，N，衔接BH，GF，求证：BH=GF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）按照等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，按照平移的性质，可得AC与DF的关系，按照全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）按照相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，按照全等三角形的判定与性质，可得答案．解答：（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．在△ABF和△DFB中，，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF；（2）证实：如图：MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF．在△BMH和△FNG中，，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．3．（2015•镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分离延伸OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次衔接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=20°时，四边形BFDE是正方形．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又因为BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF；（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．解答：（1）证实：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE与△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）；（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°．故答案为：20．点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．本题关键是按照SAS证实△BAE≌△BCF．4．（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G衔接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）按照折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易证FG=FE，故由四边相等证实四边形DEFG为菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．解答：（1）证实：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；（2）解：设DE=x，按照折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．点评：本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定主意是解答此题的关键．5．（2015•玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延伸线于点C，E为的中点，衔接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．考点：切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）由∠BOD=60°E为的中点，得到，于是得到DE∥BC，按照CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；（2）衔接OE，由（1）知，，得到∠BOE=120°，按照扇形的面积公式列方程即可得到结论．解答：解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E为的中点，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形；（2）衔接OE，由（1）知，，∴∠BOE=120°，∵阴影部分面积为6π，∴=6π，∴r=6．点评：本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证实是解题的关键．6．（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．考点：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）按照四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再按照邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；（2）按照“边角边”证实即可．解答：（1）证实：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）衔接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，按照四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证实三角形全等的关键，也是本题的难点．7．（2015•营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，衔接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，衔接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，衔接CE，求CE的长．考点：切线的判定；扇形面积的计算．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）衔接OC，证实△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证实结论；（2）证实△ADP∽△PDA，得到成比例线段求出BC的长，按照S阴=S⊙O﹣S△ABC求出答案；（3）衔接AE、BE，作BM⊥CE于M，分离求出CM和EM的长，求和得到答案．解答：（1）证实：如图1，衔接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切线；（2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD•DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD为△的中位线，∴BC=6，OD=6，AB=10．∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；（3）解：如图2，衔接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵点E是的中点，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB•cos45°=5，∴EM==4，则CE=CM+EM=7．点评：本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和相似三角形的判定和性质，灵便运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键．8．（2015•徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分离在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=4时，四边形BFCE是菱形．考点：平行四边形的判定；菱形的判定．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，按照菱形的性质即可得到结果．解答：（1）证实：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴当BE=4时，四边形BFCE是菱形，故答案为：4．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注重数形结合思想的应用，注重控制辅助线的作法．9．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，衔接BE并延伸与AD的延伸线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）按照同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再按照两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证实△BEC和△FCD全等，按照全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证实即可；（2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再按照矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．解答：（1）证实：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC与△FED中，，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是边CD的中点，∴CE=DE，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四边形BDFC的面积=3×=3；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）决定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况研究．10．（2015•湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分离为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．解答：证实：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．点评：此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练控制矩形的判定主意是解本题的关键．11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证实：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）求出方程根的判别式，利用配主意举行变形，按照平方的非负性证实即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，按照题意求出m的值．解答：（1）证实：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，控制一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．12．（2015•咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分离交AC、AB于点E、F．（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．考点：切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）衔接OD、OE、ED．先证实△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证实四边形AODE是菱形；（2）衔接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证实△ADC∽△AFD，得出AD2=AC•AF，进而求出AD．解答：（1）证实：如图1，衔接OD、OE、ED．∵BC与⊙O相切于一点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE=AO=0D，∴四边形AODE是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形AODE是菱形．（2）解：设⊙O的半径为r．∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴，即10r=6（10﹣r）．解得r=，∴⊙O的半径为．如图2，衔接OD、DF．∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC•AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练控制相关图形的性质及判定是解本题的关键．13．（2015•梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分离交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）先按照EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．按照∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；（2）由勾股定理求出BP的长，按照EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再按照锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再按照EQ=EF﹣QF即可得出结论．解答：（1）证实：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP===4．∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2×=．由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．点评：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．14．（2015•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）连结AE，如图，按照圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证实△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．解答：（1）证实：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注重利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充足发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的普通主意是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．15．（2015•铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，衔接DF并延伸交BC的延伸线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：作DG∥BC交AC于G，先证实△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证实△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．解答：证实：作DG∥BC交AC于G，如图所示：则∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等边三角形，∴AD=GD，∴AD=CE．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练控制等边三角形的判定与性质，并能举行推理论证是解决问题的关键．16．（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．考点：全等三角形的判定．菁优网版权所有专题：证实题．分析：按照同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．解答：解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．点评：本题主要考查全等三角形的判定，控制全等三角形的判定主意是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．17．（2015•铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分离在边CD、AB上．（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．考点：矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）首先按照矩形的性质可得AB平行且等于CD，然后按照DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可证实四边形AFCE是平行四边形；（2）按照四边形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE的长度，按照相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长．解答：解；（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AE=CE，设DE=x，则AE=，CE=8﹣x，则=8﹣x，解得：x=，则菱形的边长为：8﹣=，周长为：4×=25，故菱形AFCE的周长为25．点评：本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是则矩形对边平行且相等的性质以及菱形四条边相等的性质．18．（2015•天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：（1）AC•PD=AP•BC；（2）PE=PD．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）首先按照AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再按照DE⊥AB，判断出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判断出=，即可判断出ED=2EP，据此判断出PE=PD即可．（2）首先按照△AEP∽△ABC，判断出；然后按照PE=PD，可得，据此判断出AC•PD=AP•BC即可．解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴=…①，又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，∴===…②，由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD．（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴，∵PE=PD，∴，∴AC•PD=AP•BC．点评：（1）此题主要考查了切线的性质和应用，要熟练控制，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练控制．19．（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）延伸DE交AB于点G，衔接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．解答：证实：（1）延伸DE交AB于点G，衔接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DOE+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证实线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是挑选恰当的判定条件．20．（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，衔接PO．（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留足迹，不写作法），并证实：PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．考点：切线的判定与性质；弧长的计算；作图—基本作图．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）按照作一个角等于已知角的作图主意作图即可，衔接OA，作OB⊥PC，按照角平分线的性质证实OA=OB即可证实PC是⊙O的切线；（2）首先证实△PAB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．解答：解：（1）作图如右图，衔接OA，过O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，∴OA=OB，即d=r，∴PC是⊙O的切线；（2）∵PA、PC是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵AB=AP=4，∴△PAB是等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt△AOP中，tan60°=∴OA=∴==．点评：本题考查了尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及弧长的计算，求出圆心角和半径长是解决问题的关键．21．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，衔接MN交BD延伸线于点E．（1）求证：BD+2DE=BM．（2）如图2，衔接BN交AD于点F，衔接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）过点M作MP⊥BC交BD的延伸线于点P，首先证实△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到结论；（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的长．解答：（1）证实：过点M作MP⊥BC交BD的延伸线于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∴PM∥CN，∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，∴BM=PM，∵BM=DN，∴DN=MP，在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM，∴DE=EP，∵△BMP是等腰直角三角形∴BP=BM∴BD+2DE=BM．（2）解：∵AF：FD=1：2，∴DF：BC=2：3，∵△BCN∽△FDN，∴设正方形边长为a，又知CM=2，∴BM=DN=a+2，CN=2a+2∴，解得：a=2，∴DF=，BM=4，BD=2，又∵△DFG∽△BMG，∴，∴，∴DG=．故答案为：．点评：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，运用三角形相似求出正方形的边长是解决第2小题的关键．22．（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分离以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延伸线分离交于点E、F，衔接AD、BD、CD（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）按照题意得出BD=CD=BC，由SSS证实△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可；（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定义求出∠DBE=∠DCF=55°，然后按照弧长公式求出、的长度，即可得出结果．解答：（1）证实：按照题意得：BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC为等边三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴的长度=的长度==；∴、的长度之和为+=．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算；熟练控制全等三角形和等边三角形的判定与性质，并能举行推理计算是解决问题的关键．23．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延伸线上，且OE=OB，衔接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）倘若OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，按照平行四边形的判定即可得到结论；（2）按照等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．解答：证实：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．24．（2015•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．考点：矩形的判定；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有专题：证实题．分析：首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后按照△ABE的面积得到囫囵四边形的面积和AD的长，按照平行四边形的面积计算主意得当DA⊥AB即可判定矩形．解答：证实：作EF⊥AB于点F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相同，∴AB∥CD∥x轴，∴m﹣2=4，m=6，将B（6，n）代入直线y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4，△AEB的面积是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四边形ABCD是矩形．点评：本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大．25．（2015•庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．（1）当AB=2时，求△GEC的面积；（2）求证：AE=EF．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）首先按照△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，从而求得GC=即可求得S△GEC；（2）取AB的中点H，衔接EH，按照已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF；解答：解：（1）∵AB=BC=2，点E为BC的中点，∴BE=EC=1，∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB：EC=BE：GC，即：2：1=1：GC，解得：GC=，∴S△GEC=•EC•CG=×1×=；（2）证实：取AB的中点H，衔接EH；∵ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°∴∠1=∠2，∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，∴AE=EF；点评：此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解（2）题的关键是取AB的中点H，得出AH=EC，再按照全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．26．（2015•青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．考点：菱形的判定．菁优网版权所有专题：证实题．分析：首先按照平行四边形的判定主意，判断出四边形ADCE是平行四边形；然后判断出AE=CE，即可判断出四边形ADCE是菱形，据此解答即可．解答：证实：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，又∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形．点评：此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练控制，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分离是两条对角线所在直线．27．（2015•钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）衔接OC，倘若OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．考点：切线的判定．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）由AB为⊙O的直径，可得∠D=90°，继而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，则可证得BC是⊙O的切线；（2）按照点O是AB的中点，点E时BD的中点可知OE是△ABD的中位线，故AD∥OE，则∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出结论．解答：（1）证实：∵AB为⊙O的直径，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）∵点O是AB的中点，点E时BD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴AD∥OE，∴∠A=∠BOC．、∵由（1）∠D=∠OBC=90°，∴∠C=∠ABD，∵tanC=，∴tan∠ABD===，解得BD=6，∴AB===3．点评：本题考查的是切线的判定，熟知经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答此题的关键．28．（2015•黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上随意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．（1）求证：PN与⊙O相切；（2）倘若∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．考点：切线的判定与性质；弧长的计算．菁优网版权所有专题：计算题；证实题．分析：（1）衔接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，利用AAS得到三角形PEO与三角形PFO全等，利用全等三角形对应边相等得到=OE，即可决定出PN与圆O相切；（2）在直角三角形POE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OE的长，∠EOB度数，利用弧长公式即可求出劣弧的长．解答：（1）证实：衔接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，∵PM与圆O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴OF=OE，则PN与圆O相切；（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2，∴∠EOP=60°，OE=2，∴∠EOB=120°，则的长l==．点评：此题考查了切线的判定与性质，弧长公式，熟练控制切线的判定与性质是解本题的关键．29．（2015•潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延伸线交于点M，∠COB=∠APB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．考点：切线的判定与性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）按照切线的性质，可得∠MAP=90°，按照直角三角形的性质，可得∠P+M=90°，按照余角的性质，可得∠M+∠MOB=90°，按照直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，按照切线的判定，可得答案；（2）按照相似三角形的判定与性质，可得==，按照解方程组，可得答案．解答：（1）证实：∵PA切⊙O于点A，∴∠MAP=90°，∴∠P+M=90°．∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，∵PB经过直径的外端点，∴PB是⊙O的切线；（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴==，=①，=②联立①②得，解得，当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2．点评：本题考查了切线的判定与性质，（1）利用了切线的判定与性质，直角三角形的判定与性质，余角的性质；（2）利用了相似三角形的判定与性质，解方程组．30．（2015•盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上随意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延伸线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；（2）求证：直线BF是⊙O的切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延伸线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么异常的四边形？请在图2中补全图象并证实你的结论．考点：圆的综合题．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）按照垂径定理求得PC，衔接OC，按照勾股定理求得即可；（2）求得△PBC∽△BFA，按照相似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可证得结论；（3）通过证得AE=BF，AE∥BF，从而证得四边形AEBF是平行四边形．解答：（1）解：CD⊥AB，∴PC=PD=CD=，衔接OC，设⊙O的半径为r，则PO=PB﹣r=4﹣r，在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，即r2=（4﹣r）2+（）2，解得r=．（2）证实：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（3）四边形AEBF是平行四边形；理由：解：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P，∴当点P与点O重合时，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O的切线，∴BA⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE的中位线，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．∴∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF的中位线，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四边形AEBF是平行四边形．点评：本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定等，熟练控制性质定理是解题的关键．31．（2015•内江）如图，将▱ABCD的边AB延伸至点E，使AB=BE，衔接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）衔接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）按照平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；（2）欲证实四边形BECD是矩形，只需推知BC=ED．解答：证实：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD=EC．∴在△ABD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．32．（2015•南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分离在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB=2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB=DF，等量代换即可得证．解答：证实：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（ASA）；（2）作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四边形EBFD为平行四边形，∴FD=EB，∴DA=DF．点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练控制平行四边形的判定与性质是解本题的关键．33．（2015•南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延伸线上的一点，CD与半圆O相切于点D，衔接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（确切到0.01）考点：切线的性质；解直角三角形．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）衔接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系举行证实即可；（2）按照三角函数举行计算即可．解答：证实：（1）衔接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半径为．点评：此题考查切线的性质，关键是按照切线的性质和直径的性质转化为角的关系举行分析．34．（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延伸线与AD的延伸线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）衔接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．考点：圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）按照圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，按照邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB；（2）首先证实△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再按照∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．解答：证实：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是控制圆内接四边形对角互补．35．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有专题：证实题．分析：（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．解答：证实：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．点评：本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．36．（2015•南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为CA．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，