模糊数学课件

模糊集的基本概念

模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的.

然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.

例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.

尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.

模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.§1.2模糊理论的数学基础经典集合经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作x

A),要么不属于集合(记作x

A)，二者必居其一.

集合的表示法：

(1)枚举法，A={x1,x2,…,xn}；

(2)描述法，A={x|P(x)}.

A

B

若x

A，则x

B；

A

B

若x

B，则x

A；

A=B

A

B且A

B.

集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为

(A).并集A∪B={x|x

A或x

B}；交集A∩B={x|x

A且x

B}；余集Ac

={x|x

A}.集合的运算规律幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；

吸收律：A∪(A∩B)

=A，A∩(A∪B)

=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U

，A∩U=A

；

A∪

=A

，A∩

=

；还原律：(Ac)c=A

；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；

排中律：A∪Ac

=U，A∩Ac

=

；U为全集，

为空集.集合的直积：

X

Y={(x,y)|x

X,y

Y

}.映射与扩张映射f：X

Y集合A的特征函数：特征函数满足：取大运算,如2∨3=3取大运算,如2∧3=2扩张：点集映射集合变换二元关系

X

Y的子集R称为从X到Y的二元关系，特别地，当X=Y时，称之为X上的二元关系.二元关系简称为关系.

若(x,y)R，则称x与y有关系，记为R(x,y)=1；

若(x,y)R，则称x与y没有关系，记为R(x,y)=0.

映射R:X

Y{0,1}实际上是X

Y的子集R上的特征函数.关系的三大特性：

设R为X上的关系

(1)自反性：若X上的任何元素都与自己有关系R，即R(x,x)=1，则称关系R具有自反性；

(2)对称性：对于X上的任意两个元素x,y，若x与y有关系R时，则y与x也有关系R，即若R(x,y)=1，则R(y,x)=1，那么称关系R具有对称性；

(3)传递性：对于X上的任意三个元素x,y,z，若x与y有关系R，y与z也有关系R时，则x与z也有关系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，则R(x,z)=1，那么称关系R具有传递性.

关系的矩阵表示法

设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn}，R为从X到Y的二元关系，记rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.

布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.关系的合成

设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1°

R2是X到Z上的一个关系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}关系合成的矩阵表示法

设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的关系R1=(aik)m×s，Y到Z的关系R2=(bkj)s×n，则X到Z的关系可表示为矩阵的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.

定义：若R为n阶方阵，定义R2

=R°

R，R3

=R2

°

R…

例设X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,R1={(x,y)|x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(x,y)|y–

z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},则R1与R2的合成R1°

R2={(x,y)|x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.合成(°

)运算的性质：性质1：(A°B)°C=A°(B°C)；性质2：Ak

°Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性质4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性质5：A≤B，C≤D

A°C≤B°D.O为零矩阵，I为n阶单位方阵.A≤B

aij≤bij

.关系三大特性的矩阵表示法：

设R为X={x1,x2,…,xn}

上的关系，则其关系矩阵R=(rij)n×n

为n阶方阵.(1)R具有自反性

I≤R；(2)R具有对称性

RT

=R

；(3)R具有传递性

R2≤R

.

若R具有自反性，则

I≤R≤R2≤R3≤…下面证明：R具有传递性

R2≤R.R=(rij)n×n

设R具有传递性,即对任意的i,j,k，若有rij=1，rjk=1，则有rik=1.

对任意的i,j，若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=0，则∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij.

若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=1，则存在1≤s≤n，使得(ris∧rsj)=1，即ris=1,rsj=1.

由于R具有传递性，则rij=1，所以∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=rij.综上所述

R2≤R.

设R2≤R，则对任意的i,j,k，若有

rij=1，rjk=1，即(rij∧rjk)=1，因此∨{(ris∧rsk)|1≤s≤n}=1，

由R2≤R，得rik=1，所以R具有传递性.集合上的等价关系

设

X上的关系R具有自反性、对称性、传递性，则称R为X上的等价关系.

若x与y有等价关系R，则记为x

y.集合上的等价类

设

R是X上的等价关系，x

X.定义x的等价类：[x]R={y|y

X

，y

x}.集合的分类

设

X是非空集，Xi

是X的非空子集，若∪Xi=X，且Xi∩Xj

=

(i

j)，则称集合族{Xi

}是集合X的一个分类.

定理：集合X上的任一个等价关系R可以确定X的一个分类.即

(1)任意x

X，[x]R非空；

(2)任意x,y

X，若x与y没有关系R，则[x]R∩[y]R=

；

(3)X=∪[x]R.

证:(1)由于R具有自反性，所以x∈[x]R，即[x]R非空.

(2)假设[x]R∩[y]R

,取z∈[x]R∩[y]R，则z与x有关系R，与y也有关系R.由于R具有对称性，所以x与z有关系R，z与y也有关系R.又由于R具有传递性，x与y也有关系R.这与题设矛盾.

(3)略.例设X={1,2,3,4},定义关系R1：xi＜xj；R2

：xi+xj为偶数；R3

：xi+xj=5.

则关系R1是传递的，但不是自反的，也不是对称的；容易验证关系R2是X上的等价关系；关系R3是对称和传递的，但不是自反的.按关系R2可将X分为奇数和偶数两类，即X={1,3}∪{2,4}.按关系R3可将X分为两类，即X={1,4}∪{2,3}.格

设在集合L中规定了两种运算∨与∧,并满足下列运算性质：幂等律：a∨a=a

，a∧a=a

；交换律：a∨b=b∨a，a∧b=b∧a；结合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)，

(a∧b)∧c=a∧(b∧c)

；吸收律：a∨(a∧b)

=a，

a∧(a∨b)

=a.则称L是一个格，记为(L,∨,∧).

设(L,∨,∧)是一个格，如果它还满足下列运算性质：分配律：(a∨b)∧c=(a∧c)∨(b∧c),

(a∧b)∨c=(a∨c)∧(b∨c).则称

(L,∨,∧)为分配格.

若格(L,∨,∧)满足：

0-1律：在L中存在两个元素0与1，且a∨0=a，a∧0=0，a∨1=1，a∧1=a，则称

(L,∨,∧)有最小元0与最大元1，此时又称

(L,∨,∧)为完全格.

若在具有最小元0与最大元1的分配格

(L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足：还原律：(ac)c=a；互余律：a∨ac=1，a∧ac=0，则称(L,∨,∧,c)为一个Boole代数.

若在具有最小元0与最大元1的分配格

(L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足：还原律：(ac)c=a

；对偶律：(a∨b)c=ac∧bc，

(a∧b)c

=ac∨bc，则称(L,∨,∧,c)

为一个软代数.

例1任一个集合A的幂集

(A)是一个完全格.

格中的最大元为A(全集)，最小元为

(空集)，并且(J(A),∪,∩,

c)

既是一个Boole代数，也是一个软代数.

例2记[0,1]上的全体有理数集为Q，则(Q,∨,∧)是一个完全格.

格中的最大元为1，最小元为0.

若在Q中定义余运算c为ac

=1-

a，则(Q,∨,∧,c)

不是一个Boole代数，但它是一个软代数.§1.3模糊子集及其运算模糊子集与隶属函数

设U是论域，称映射A(x)：U→[0,1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.

使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.

当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.

例设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为也可用Zadeh表示法：模糊集的运算相等：A=B

A(x)=

B(x)；包含：A

B

A(x)≤B(x)；并：A∪B的隶属函数为

(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B的隶属函数为

(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-

A(x).

例设论域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设A

=(0.8,0.55,0,0.3,1).B

=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见Ac

B,

Bc

A.

又A∪Ac

=(0.8,0.55,1,0.7,1)

U,

A∩Ac

=(0.2,0.45,0,0.3,0)

.模糊集的并、交、余运算性质

幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；还原律：(Ac)c=A

；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，

(A∩B)c=Ac∪Bc；

对偶律的证明：对于任意的x

U(论域)，

(A∪B)c(x)=1-

(A∪B)(x)=1-

(A(x)∨B(x))=(1-

A(x))∧(1-

B(x))=Ac(x)∧Bc(x)

=Ac∩Bc(x)

模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即A∪Ac

U，A∩Ac

.

模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.§1.4模糊集的基本定理(A)

=A

={x|A(x)≥

}

-截集：

模糊集的

-截集A

是一个经典集合，由隶属度不小于

的成员构成.

例：论域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}.

定理1设A,B(U)(A,B是论域U的两个模糊子集)，,[0,1]，于是有

-截集的性质：(1)A

B

A

B

；(2)

≤

A

A

；(3)(A∪B)

=A

∪B

，(A∩B)

=A

∩B

.定理2(分解定理)设A(U)，

x

A，则A(x)=∨{

，

[0,1]，x

A

}定义(扩张原理)设映射f：X

Y，定义f(A)(y)=∨{A(x)，f(x)=y

}§1.5隶属函数的确定1.模糊统计方法

与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.2.指派方法

一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。3.借用已有的“客观”尺度

扩展原理，又称扩张原理，是模糊集理论的基础原理，它将一个X到Y的映射f扩展成一个F(X)到F(Y)的映射（也称X到Y的模糊映射）.扩展原理§1扩展原理的几种表示形式一、经典扩展原理二、扩展原理

集合套的观点由表现定理,一个集合套唯一确定一个模糊集.由表现定理,一个集合套唯一确定一个模糊集.扩展原理I定理1扩展原理III证明(1)扩展原理II扩展原理I(2)扩展原理II扩展原理I经典扩展原理性质经典扩展原理性质模糊集合论中扩展原理的性质可达扩展原理III定理2（复合函数的扩展原理）一元扩展原理§2多元扩展原理一元扩展原理多元扩展原理二元扩展原理回顾一元扩展原理定理1模糊集的卡氏积隶属函数为定理2证明 仅证(1)式同理可证(2)式成立.定理3证明一元扩展定理I定理2集合套的观点隶属函数的观点集合套的观点二元扩展原理I二元扩展原理II二元扩展原理III二元扩展原理隶属函数为实数集上的模糊集之间的代数运算

模糊关系§1模糊关系一、经典集合论中的关系二、模糊关系定义三、截关系1.定义§2 二元对比排序

二元对比排序的思想在前面第二章已做过简要介绍，此处从略.§3 模糊关系的合成一、经典关系的合成二、模糊关系的合成1.定义定义（复合）下面我们用关系套来研究模糊关系合成.利用经典关系的合成，由表现定理，H可以唯一确定一个模糊集.定理1合成运算的两种定义方式(1)隶属函数(2)集合套有限论域上的模糊关系的合成

有限论域上的模糊关系可以用模糊矩阵来表示.

有限论域上的模糊关系合成可以用模糊矩阵的乘积来表示.三、模糊关系合成运算的性质性质1（结合律）推论性质2推论性质3次分配律合成运算不满足交换律.四、逆关系的定义1.定义2.逆关系的性质§4模糊等价关系

一、经典等价关系与分类二、模糊等价关系定义1定理1模糊等价矩阵三、模糊相似关系定义1定理1证明(1)同理证明(2)推论1定义2定理2分析定理3推论1定理4定理5平方法从模糊相似矩阵出发，求传递闭包的方法.聚类分析使用数学方法对事物进行分类.§5聚类分析(1)数量积法(2)最大最小法(3)算术平均最小法(4)几何平均最小法(5)绝对值指数法(6)绝对值减数法(7)线段打分法

由第一步得到的模糊矩阵一般只满足自反性和传递性.第二步聚类（一）传递闭包法二、聚类理论依据它们各自将X分类.§6用平方法求传递闭包的理论依据

直接聚类法的理论依据在§5已作介绍.

模糊关系方程

求综合决策的逆问题就是解模糊关系方程，它是模糊数学的一个重要的内容.

研究模糊关系方程的相容性及其解法就是我们第六章的主要内容.一、模糊关系方程的一般形式

所以，我们只研究第一种形式的模糊关系方程.二、模糊关系方程的解的结构模糊关系方程有解，即相容.解的全体组成模糊关系方程的解集.§1模糊关系方程相容性条件及其最大解若定义1定理1论域是有限集时模糊关系方程由定理1模糊关系方程可以写成原方程有解的充分必要条件是特别地，模糊关系方程可以写成有解的充分必要条件是模糊关系方程模糊关系方程有解的一个判别条件.例1

判断下面的模糊关系方程是否有解，若有解，求出其最大解.解原模糊关系方程有解（相容），最大解§2有限集上的模糊关系方程一、一般形式的模糊关系方程模糊关系方程定理2给出模糊关系方程定理2方程(II)有解的充分必要条件是拟极小解Xg拟极小解路径g定理2分析 若原方程有解.由定理2，简化矩阵法——拟极小解路径——拟极小解.总结第一章模糊集合的基本概念第二章模型识别第三章模糊关系第四章扩展原理第五章模糊映射与模糊变换第六章模糊关系方程

模糊集合的基本概念

一、模糊集合论的起源§1预备知识

现实世界中遇到的对象分多是这种模糊的、不确定性的类型，模糊集合正反映了这类“亦此亦彼”的模糊性.

模糊数学是研究模糊现象的定量处理方法. 二、诞生时间、标志L.A.Zadeh1965InformationandControlFuzzySets

为了与模糊集合相区别，将我们所熟悉的普通的集合称之为普通集合、经典集合、分明集合.思考： 如何将集合的定义，由普通集合推广到模糊集合.普通集合

元素对集合的属于程度最小是零，此时隶属度为0.

元素对集合的属于程度最大是百分之百，此时隶属度为1.普通集合§3模糊子集定义及运算一、模糊子集的概念

以人的年龄作为论域X,模糊集表示“年老”,

表示“年轻”，不妨设X=[0,150].Zadeh给出它们的隶属函数分别如下：例1Old\youngoldyoungZadeh记法2.序对表示法3.向量表示法二、模糊集合的表示方法三、模糊子集之间的关系与运算

记X上的模糊子集的全体为,称为X的模糊幂集.四、模糊集合与普通集合之间的关系五、模糊集合间的运算规律

模糊集合间的并、交、补（余）运算具有如下的性质.1)幂等律2)交换律3)结合律4)吸收律5）分配律

6)零-壹律7)复原律8)对偶律注：模糊集的补运算不满足互补律，即不一定成立.§4 分解定理与表现定理一、截集与强截集1.定义2.性质性质1性质1'性质2性质3性质4性质5例1解性质6定义2性质7

当 时,称为正规模糊集.

下面将要介绍的分解定理就是反映这一事实的. 先来学习数积概念与性质.

从前面介绍的性质可以看出当从1逐渐下降趋于0，而不达到0时，是从的核Ker逐渐扩展为的支集Supp.因此，我们可以将模糊集看作是其边界在Ker和Supp之间游移,即将模糊集看作是普通集合族 的总体.1.数积的概念与性质其隶属函数为二、分解定理定义定理1（分解定理I）证明2.分解定理定理2（分解定理II）定理3（分解定理III）三、表现定理定义1则称H为X上的集合套.X上的全体集合套记作U(X).例1由分解定理III，可知定义2

在U(X)中定义并、交、补运算如下设定理4（表现定理）§5 表现定理的证明例1定义1例2定义2

模糊聚类分析§2.1模糊矩阵

定义1

设R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵.

当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.

当模糊方阵R

=(rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.定义2设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，相等：A

=B

aij=bij；包含：A≤B

aij≤bij；并：A∪B

=(aij∨bij)m×n；交：A∩B

=(aij∧bij)m×n；余：Ac

=(1-

aij)m×n.模糊矩阵的并、交、余运算性质幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：

A∪O=A，A∩O=O；

A∪E=E，A∩E=A；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,

(A∩B)c=Ac∪Bc.模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂

设A

=(aik)m×s，B

=(bkj)s×n，定义模糊矩阵A与B的合成为：A

°

B

=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊方阵的幂

定义：若A为n阶方阵，定义A2

=A°

A，A3

=A2

°

A，…，Ak=Ak-1°

A.合成(°

)运算的性质：性质1：(A°

B)°C=A°(B°C)；性质2：Ak

°

Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A°

(B∪C)=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性质4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性质5：A≤B，C≤D

A°

C≤B°

D.注：合成(°

)运算关于(∩)的分配律不成立，即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)模糊矩阵的转置

定义设A=(aij)m×n,

称AT

=(aijT

)n×m为A的转置矩阵，其中aijT

=aji.转置运算的性质：性质1：(AT)T

=A；性质2：(A∪B)T

=AT∪BT，

(A∩B)T

=AT∩BT；性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n；性质4：(Ac)T=(AT)c；性质5：A≤B

AT≤BT.证明性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n.证明：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,

记(A°

B)T=(cijT

)n×m,AT

=(aijT

)s×m,

BT

=(bijT

)n×s,

由转置的定义知,

cijT

=cji,aijT

=aji,bijT

=bji.

BT

°

AT=[∨(bikT∧akjT

)]n×m

=[∨(bki∧ajk)]n×m

=[∨(ajk∧bki)]n×m=(cji)n×m

=(cijT

)n×m=(A°

B)T.模糊矩阵的

-

截矩阵

定义7设A=(aij)m×n,对任意的

∈[0,1]，称A

=(aij(

))m×n,为模糊矩阵A的

-

截矩阵,其中

当aij≥

时，aij(

)=1；当aij＜

时，aij(

)=0.

显然，A的

-

截矩阵为布尔矩阵.

对任意的

∈[0,1]，有性质1：A≤B

A

≤B

；性质2：(A∪B)

=A

∪B

，(A∩B)

=A

∩B

；性质3：(A°

B)

=A

°

B

；性质4：(AT

)

=(A

)T.下面证明性质1：A≤B

A

≤B

和性质3.性质1的证明：A≤B

aij≤bij；当

≤aij≤bij时，aij(

)=bij(

)=1；当aij＜

≤bij时，aij(

)=0,bij(

)=1；当aij≤bij＜

时，aij(

)=bij(

)=0；综上所述aij(

)≤bij(

)时，故A

≤B

.性质3的证明：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij(

)=1

cij≥

∨(aik∧bkj)≥

k,(aik∧bkj)≥

k,aik≥

,bkj≥

k,aik(

)=bkj(

)=1∨(aik(

)∧bkj(

))=1cij(

)=0

cij＜

∨(aik∧bkj)＜

k,(aik∧bkj)＜

k,aik＜

或bkj＜

k,aik(

)=0或bkj(

)=0∨(aik(

)∧bkj(

))=0所以,cij(

)=∨(aik(

)∧bkj(

)).(A°

B)

=A

°

B

.§2.2模糊关系

与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.

设有论域X，Y，X

Y的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系.

模糊子集R的隶属函数为映射R:X

Y[0,1].并称隶属度R(x,y)为

(x,y)关于模糊关系R的相关程度.

特别地，当X=Y时，称之为X上各元素之间的模糊关系.模糊关系的运算

由于模糊关系R就是X

Y的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.设R，R1，R2均为从X到Y的模糊关系.相等：R1=R2

R1(x,y)=

R2(x,y)；包含：R1

R2

R1(x,y)≤R2(x,y)；并：R1∪R2的隶属函数为

(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2的隶属函数为(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；余：Rc的隶属函数为Rc(x,y)=1-

R(x,y).

(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc(x,y)表示(x,y)对模糊关系“非R”的相关程度.模糊关系的矩阵表示

对于有限论域

X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，则X到Y模糊关系R可用m×n阶模糊矩阵表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)关于模糊关系R的相关程度.

又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi与

yj之间要么有关系(rij=1),要么没有关系(rij=0).

例设身高论域X={140,150,160,170,180}(单位：cm),体重论域Y={40,50,60,70,80}(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81模糊关系的合成

设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1°

R2是X到Z上的一个关系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}

当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.

设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的模糊关系R1=(aik)m×s，Y到Z的模糊关系R2=(bkj)s×n，则X到Z的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊关系合成运算的性质性质1：(A°B)°C=A°(B°C)；性质2：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；性质4：A

B，C

D

A°C

B°D.注：(1)合成(°

)运算关于(∩)的分配律不成立,即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)

(2)这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算的性质.§2.3模糊等价矩阵模糊等价关系

若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：

(1)自反性：R(x,x)=1；

(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；

(3)传递性：R2

R,

则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.

当论域X={x1,x2,…,xn}为有限时,X上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵,即R满足：I≤R

(

rii=1

)RT=R(

rij=rji)R2≤R.R2≤R(

∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij).模糊等价矩阵的基本定理

定理1

若R具有自反性(I≤R)和传递性(R2≤R),则R2=R.

定理2

若R是模糊等价矩阵,则对任意

∈[0,1]，R

是等价的Boole矩阵.

∈[0,1]，A≤B

A

≤B

；(A°B)

=A

°B

；(AT

)

=(A

)T

证明如下：

(1)自反性：I≤R

∈[0,1]，I

≤R

∈[0,1]，I

≤R

，即R

具有自反性；

(2)对称性：RT=R

(RT)

=R

(R

)T=R

，即R

具有对称性；

(3)传递性：R2≤R

(R

)2≤R

，即R

具有传递性.

定理3

若R是模糊等价矩阵,则对任意的0≤

＜

≤1,R

所决定的分类中的每一个类是R

决定的分类中的某个类的子类.

证明：对于论域X={x1,x2,…,xn}，若xi,xj按R

分在一类，则有rij(

)=1

rij≥

rij≥

rij(

)=1，即若xi,xj按R

也分在一类.

所以，R

所决定的分类中的每一个类是R

决定的分类中的某个类的子类.模糊相似关系

若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：

(1)自反性：R(x,x)

=1；

(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)

；则称模糊关系R是X上的一个模糊相似关系.

当论域X={x1,x2,…,xn}为有限时，X上的一个模糊相似关系R就是模糊相似矩阵，即R满足：

(1)自反性：I≤R

(

rii=1

)；

(2)对称性：RT=R

(

rij=rji

).模糊相似矩阵的性质

定理1

若R是模糊相似矩阵，则对任意的自然数k，Rk也是模糊相似矩阵.

定理2

若R是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数k(k≤n)，对于一切大于k的自然数l，恒有Rl=Rk，即Rk是模糊等价矩阵(R2k=Rk).此时称Rk为R的传递闭包，记作t(R)=Rk.

上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.平方法求传递闭包t(R)：R

R2

R4

R8

R16…§2.4模糊聚类分析数据标准化

设论域X={x1,x2,…,xn}为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状:xi

={xi1,xi2,…,xim},i=1,2,…,n于是,得到原始数据矩阵为平移•

标准差变换其中平移•

极差变换模糊相似矩阵建立方法相似系数法----夹角余弦法相似系数法----相关系数法其中距离法rij=1–cd(xi,xj)其中c为适当选取的参数.海明距离欧氏距离切比雪夫距离d(xi,xj)=∨{|xik-

xjk|,1≤k≤m}Boole矩阵法：

定理：设R是论域X={x1,x2,…,xn}上的一个相似的Boole矩阵，则R具有传递性(当R是等价Boole矩阵时)

矩阵R在任一排列下的矩阵都没有形如的特殊子矩阵.Boole矩阵法的步骤如下：(1)求模糊相似矩阵的

-截矩阵R

；(2)若R

在某一排列下的矩阵有形如的特殊子矩阵,则将R

中上述特殊形式子矩阵的0改为1，直到在任一排列下R

中不再产生上述特殊形式子矩阵为止.最佳分类的确定

在模糊聚类分析中，对于各个不同的

∈[0,1]，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的.

但在许多实际问题中，需要给出样本的一个具体分类，这就提出了如何确定最佳分类的问题.

设X

=(xij)n×m为n个元素m个指标的原始数据矩阵.

为总体样本的中心向量.

对应于

值的分类数为r，第j类的样本数为nj，第j类的样本标记为第j类样本的中心向量为作F-

统计量：

如果满足不等式F＞F

(r-1,n-r)的F值不止一个，则可根据实际情况选择一个满意的分类，或者进一步考查差(F-F

)/F

的大小，从较大者中找一个满意的F值即可.

实际上，最佳分类的确定方法与聚类方法无关，但是选择较好的聚类方法，可以较快地找到比较满意的分类.

模糊模型识别§3.1模糊模型识别模型识别

已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别.

模型识别在实际问题中是普遍存在的.例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别.模糊模型识别

所谓模糊模型识别,是指在模型识别中,模型是模糊的.也就是说,标准模型库中提供的模型是模糊的.模型识别的原理

为了能识别待判断的对象x=(x1,x2,…,xn)T是属于已知类A1,A2,…,Am中的哪一类？

事先必须要有一个一般规则,一旦知道了x的值,便能根据这个规则立即作出判断,称这样的一个规则为判别规则.

判别规则往往通过的某个函数来表达,我们把它称为判别函数,记作W(i;x).

一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否正确.§3.2最大隶属原则模糊向量的内积与外积

定义称向量a=(a1,a2,…,an)是模糊向量,其中0≤ai≤1.

若ai只取0或1,则称a=(a1,a2,…,an)是Boole向量.

设a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn)都是模糊向量，则定义

内积：a

°

b

=∨{(ak∧bk)|1≤k≤n}；

外积：a⊙b

=∧{(ak∨bk)|1≤k≤n}.内积与外积的性质(a

°

b

)c=ac⊙bc

;(a⊙b

)c=ac

°

bc.模糊向量集合族

设A1,A2,…,An是论域X上的n个模糊子集,称以模糊集A1,A2,…,An为分量的模糊向量为模糊向量集合族，记为A=(A1,A2,…,An).

若X上的n个模糊子集A1,A2,…,An的隶属函数分别为A1(x),A2(x),…,An(x),则定义模糊向量集合族A=(A1,A2,…,An)的隶属函数为A(x)=∧{A1(x1),A2(x2),…,An(xn)}或者A(x)=[A1(x1)+A2(x2)+…+An(xn)]/n.其中x=(x1,x2,…,xn)为普通向量.最大隶属原则

最大隶属原则Ⅰ设论域X={x1,x2,…,xn}上有m个模糊子集A1,A2,…,Am(即m个模型),构成了一个标准模型库,若对任一x0∈X,有k∈{1,2,…,m},使得Ak(x0)=∨{A1(x0),A2(x0),…,Am(x0)}，则认为x0相对隶属于Ak.

最大隶属原则Ⅱ设论域X上有一个标准模型A,待识别的对象有n个：x1,x2,…,xn∈X,

如果有某个xk满足A(xk)=∨{A(x1),A(x2),…,A(xn)},

则应优先录取xk.

例1在论域X=[0,100]分数上建立三个表示学习成绩的模糊集A=“优”,B=“良”,C=“差”.当一位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪一类？A(88)=0.8B(88)=0.7A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.

根据最大隶属原则Ⅰ,88分这个成绩应隶属于A,即为“优”.

例2

论域X={x1(71),x2(74),x3(78)}表示三个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,根据最大隶属原则Ⅱ，x1(71)最差.例3细胞染色体形状的模糊识别

细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体.即X={(A,B,C)|A+B+C=180,A≥B≥C}

标准模型库={E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意三角形)}.

某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.

直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列约束条件：

(1)当A=90时,R(A,B,C)=1;(2)当A=180时,R(A,B,C)=0;(3)0≤R(A,B,C)≤1.

因此，不妨定义R(A,B,C)=1-|A-90|/90.则R(x0)=0.955.

或者其中p=|A–90|则R(x0)=0.54.

正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足下列约束条件：(1)当A=B=C=60时,E(A,B,C)=1;(2)当A=180,B=C=0时,E(A,B,C)=0;(3)0≤E(A,B,C)≤1.

因此，不妨定义E(A,B,C)=1–(A–

C)/180.则E(x0)=0.677.

或者其中p=A–C

则E(x0)=0.02.

等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约束条件：(1)当A=B或者B=C时,I(A,B,C)=1;(2)当A=180,B=60,C=0时,I(A,B,C)=0;(3)0≤I(A,B,C)≤1.

因此，不妨定义I(A,B,C)=1–[(A–

B)∧(B–

C)]/60.则I(x0)=0.766.

或者

p=(A–

B)∧(B–

C)则I(x0)=0.10.等腰直角三角形的隶属函数(I∩R)(A,B,C)=I(A,B,C)∧R(A,B,C);(I∩R)(x0)=0.766∧0.955=0.766.任意三角形的隶属函数T(A,B,C)=Ic∩Rc∩Ec=(I∪R∪E)c.T(x0)=(0.766∨0.955∨0.677)c=(0.955)c=0.045.

通过以上计算,R(x0)=0.955最大,所以x0应隶属于直角三角形.

或者(I∩R)(x0)=0.10;T(x0)=(0.54)c=0.46.仍然是R(x0)=0.54最大,所以x0应隶属于直角三角形.例4大学生体质水平的模糊识别.

陈蓓菲等人在福建农学院对240名男生的体质水平按《中国学生体质健康调查研究》手册上的规定,从18项体测指标中选出了反映体质水平的4个主要指标(身高、体重、胸围、肺活量),根据聚类分析法,将240名男生分成5类：A1(体质差),A2(体质中下),A3(体质中),A4(体质良),A5

(体质优),作为论域U(大学生)上的一个标准模型库,然后用最大隶属原则,去识别一个具体学生的体质.5类标准体质的4个主要指标的观测数据如下表所示.身高(cm)体重(kg)胸围(cm)肺活量(cm3)A1158.4±3.047.9±8.484.2±2.43380±184A2163.4±4.850.0±8.689.0±6.23866±800A3166.9±3.655.3±9.488.3±7.04128±526A4172.6±4.657.7±8.289.2±6.44349±402A5178.4±4.261.9±8.690.9±8.04536±756

现有一名待识别的大学生x={x1,x2,x3,x4}={175,55.1,86,3900}，他应属于哪种类型？阈值原则

设论域X={x1,x2,…,xn}上有m个模糊子集A1,A2,…,Am(即m个模型),构成了一个标准模型库,若对任一x0∈X,取定水平

∈[0,1].

若存在i1,i2,…,ik,使Aij(x0)≥

(j=1,2,…,k),则判决为：x0相对隶属于

若∨{Ak(x0)|k=1,2,…,m}＜

,则判决为：不能识别,应当找原因另作分析.

该方法也适用于判别x0是否隶属于标准模型Ak.若Ak(x0)≥

,则判决为：x0相对隶属于Ak;

若Ak(x0)＜