2023-2024学年湖北省恩施州高中教育联盟高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省恩施州高中教育联盟高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1+i+A.0 B.1 C.2 D.2.已知集合A={x∈Z|−A.{−1,0,1,2}3.已知椭圆x225+y216=1的两个焦点分别为F1，F2，斜率不为0的直线l过点FA.10 B.16 C.20 D.254.若A，B是相互独立事件，但不是互斥事件，则事件A∪B的概率是(

)A.P(A)+P(B) 5.如图，这是一半径为4.8m的水轮示意图，水轮圆心O距离水面2.4m，已知水轮每60s逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时(图中点P0)

A.点P距离水面的高度h(m)与t(s)之间的函数关系式为h=4.8sin(π30t−π6)

B.点6.已知光线从点A(−2,1)射出，经直线2A.x−3y−1=0 B.7.在平行四边形ABCD中，∠DAC=90°，AB=2，BC=A.35 B.24 C.8.如图，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1A.52 B.72 C.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列选项正确的有(

)A.若x>1，则x+4x+1有最小值3 B.若x∈R，则2xx2+110.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在线段AB1(A.AP⊥BD1

B.AP与GH所成角的余弦值是36

C.P11.已知抛物线E：x2=4y的焦点为F，A，B是抛物线上两点，点PA.E的准线方程为x=−1

B.若|AF|+|BF|=8，则线段AB的中点到x12.已知平面内一点M在圆C：x2+y2+8x+8y+31=0上，分别过定点A，B的两条直线lA.动点P的轨迹是除去点(−3,0)的一个圆

B.PA+2PB的最大值是56

C.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数y=ln(2x14.已知数列{an}满足an+1=15.已知双曲线C：x22−y2=1,O为坐标原点，不经过点A(2,1)的直线l交双曲线C于16.如图，在△ABC中，AC=22,BC=6,C=π4，过AC的中点M的动直线l与线段AB交于点N，将△A四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

2023年12月21日，第十四届学校文化论坛在某市举行，志愿者的服务工作是会议举办的重要保障.现随机抽取了100名志愿者候选人的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95].绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)求18.(本小题12分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)，点M(1,2)在C上．

(1)求C的方程；

(2)若点F是C的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l219.(本小题12分)

在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinA−sinB3a−20.(本小题12分)

已知在非零数列{an}中，a1=1，an−an−1=−12anan−1(n≥2,n∈N*)21.(本小题12分)

在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AP=2，PC=22，且PA⊥AB，E为BC的中点，22.(本小题12分)

已知动圆T过定点E(−1,0)，且在定圆C：(x−1)2+y2=16的内部与其内切．

(1)求动圆圆心T的轨迹方程．

(2)当过点P答案和解析1.【答案】A

【解析】解：i+i2+i3+i4=0，i4=1，

则i4n+2.【答案】C

【解析】解：集合A={x∈Z|−1≤x<2}={−3.【答案】C

【解析】解：由题意得a=5，由椭圆定义可得

△ABF2周长：C=AB+AF2+BF2

=AF4.【答案】D

【解析】解：A，B是相互独立事件，但不是互斥事件，

则事件A∪B的概率是：

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P5.【答案】D

【解析】解：设点P距离水面的高度为h和t的函数解析式为h=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)，

由题意知，A=4.8，B=2.4，T=60，所以ω=2πT=π30，

所以h=4.8sin(π30t+φ)+2.4，

当t=0时，h=0，所以4.8sinφ+2.4=0，解得sinφ=6.【答案】B

【解析】解：设点A(−2,1)关于直线2x−y+10=0的对称点为A′(a,b)，

则b−1a+2×2=−17.【答案】C

【解析】解：如图，

平移AD使A与C重合，记平移后D所在的点为点E，此时AC⊥CE,AC⊥CB,AC=AB2−BC2=1，

则∠BCE的余弦值即为平面BAC与平面DAC8.【答案】D

【解析】解：因为双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，

所以|OA|=|OB|，又|OF1|=|OF2|，

所以四边形AF1BF2为平行四边形．

设|AF1|=m，|AF2|=n，则|BF2|=m，9.【答案】BC【解析】解：A中，x>1时，x+4x+1=x+1+4x+1−1，令t=x+1>2，则f(t)=t+4t−1在(2,+∞)上单调递增，

所以f(t)>f(2)=2+42−1=3，所以f(t)没有最小值，即A不正确；

B中，x=0时，2xx2+1=0；

当x>0时，2x10.【答案】AB【解析】解：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则D1(2,0,2)，B(0,2,0)，A(2,2,0)，B1(0,2,2)，G(0,0,1)，H(2,1,2)，

BD1=(2,−2,2)，AB1=(−2,0,2)，

BD1⋅A11.【答案】BC【解析】解：对于A选项，抛物线x2=4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y=−1，故A错误；

对于B选项，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8，可得y1+y2=6，

所以线段AB的中点到x轴的距离为y1+y22=3，故B正确；

对于C选项，设A在准线上投影为A1，

因为12.【答案】AB【解析】解：将圆C：x2+y2+8x+8y+31=0化为标准方程：(x+4)2+(y+4)2=1，

易得直线l1：(a−1)x+y+3a−4=0，即a(x+3)−x+y−4=0，可知恒过定点A(−3,1)，

直线l2：x+(1−a)y−4=0，即x+y−4−ay=0，可知恒过定点B(4,0)，

且直线l1的斜率必存在，再由(a−1)×1+1×(1−a)=0，可得l1⊥l2，

图所示：对于A项，由l1⊥l2，且l1∩l2=P，可知点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，

其方程为：(x−12)213.【答案】(−【解析】解：y=ln(2x+1)+4−x2，

则2x+114.【答案】25【解析】解：an+1=2an,0≤an≤12,2an−1,12<an<1,a1=45，

可得a215.【答案】−1【解析】解：设直线l的方程为y=kx+t，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

联立y=kx+tx22−y2=1，整理可得(1−2k2)x2−4ktx−2t2−2=0，

Δ=16k2t2−4(1−2k2)(−2t2−2)16.【答案】25【解析】解：因为C=π4,△ABC中，根据余弦定理，AB=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosC=25，

根据正弦定理ACsinB=ABsinC，得sinB=55，由AC<AB知B<C，则cosB=255，

如图1，以底面点B为空间原点建系，根据底面几何关系，得点A(4,2,0)，C(6,0,0)，

设点A′(x,y,z)，点A′的投影H(x,0,0)在x轴上，

即A′(x,0,z)，M(5,1,0)，由MC=AM=A′M，

根据两点间距离公式，可得(6−5)2+(0−1)2=(x−5)2+(17.【答案】解：(1)∵第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同，

∴由题意可知，10a+10b=0.310(0.045+0.020+a)=0.7，

解得a=0.005b=0.025，

因为0.05+0.25=0.30>0.25，

设第25百分位数为x∈[55,65)，则0.05+(x−55)×0.025=0.25，

解得x=63，

所以估计这100名候选者面试成绩的第25百分位数为63．

(2)根据分层随机抽样，[45,55)和[55,65)的频率比为0.0050.025=15，

在[45,55)和[55,65)中分别选取1人和5人，分别编号为A和1，2，3，4，5，

则在这【解析】(1)由频率分布直方图及已知条件列方程求出求出a，b，由此能求出第25百分位数．

(2)根据分层随机抽样，[45,55)和[55,65)的频率比为0.0050.025=15，在[45,55)和[55,65)中分别选取18.【答案】解：(1)因为点M(1,2)在C上，

所以2p=4，p=2，即C：y2=4x．

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x3,y3)，E(x4,y4)，

直线l1的方程为y=k1(x−1)(直线斜率存在且不为【解析】(1)由题意，根据所给信息以及抛物线的定义即可求出p的值，进而可得抛物线C的方程；

(2)设出A，B，C，D四点的坐标以及直线l1的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到x19.【答案】解：(1)在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinA−sinB3a−c=sinCa+b，

由正弦定理得a−b3a−c=ca+b，即a2+c2−b2=3ac，

由余弦定理得co【解析】(1)由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可；

(2)由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得20.【答案】(1)证明：依题意，当n≥2时，由an−an−1=−12anan−1，

两边同时除以anan−1，可得1an−1−1an=−12，

即1an−1an−1=12，

∵1a1=1，

∴数列{1an}是以1为首项，12为公差的等差数列．

(2)解：由题意，当【解析】(1)先将题干中的递推公式进行转化，再两边同时除以anan−1，进一步推导即可发现数列{1an}是以1为首项，12为公差的等差数列，从而证得结论成立；

(2)根据题干已知条件并结合公式bn=S1,n=1Sn21.【答案】解：(1)证明：取PA的中点为M，连接MG，BM，

则MG//AD,MG=12AD，

又因为BE//AD,BE=12AD，

所以BE//MG，BE=MG，即BEGM为平行四边形，即EG/​/BM，

又因为BM⊂平面PAB，EG⊄平面PAB，

所以EG/​/平面PAB；

(2)不妨设EG与平面AEF所成的角为θ，则tanθ=612，即sinθ=15．

如图，连接AE，AF，EF．

因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，所以△ABC为正三角形，

因为E为BC的中点，所以AE⊥B【解析】(1)由线面平行的判定定理即可证明；

(2)由线面垂直的判定定理可得A