表面积与体积练习题及答案

外表积与体积一、填空题1.(2021·南京三模)圆锥的母线长为2，高为eq\r(3)，则该圆锥的侧面积是________．2.各棱长为1的正三棱锥的全面积为________．3.长方体的一个顶点上三条棱的长分别为2,4,6，，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的外表积为________．4.一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为9的正方形，则此三棱柱的体积为________．5.一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为eq\r(3)，则这个圆锥的全面积是________．6.(2021·湖北)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，假设放入三个一样的球(球的半径与圆柱的底面半径一样)后，水恰好淹没最上面的球(如下图)，则球的半径是________cm.7.(2021·宁夏)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的外表积为________．8.在如下图的斜截圆柱中，圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱侧面面积S＝________cm2.9.(2021·全国Ⅱ)正四棱锥S­ABCD中，SA＝2eq\r(3)，则当该棱锥的体积最大时，它的高为________．二、解答题10.正三棱柱形木桶，底面边长为2，侧棱长为3，这样的桶里能否放进一个体积为eq\f(π,3)的小球(桶壁厚度忽略不计)11.(2021·扬州中学期中试题)如图，某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)．已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的食盐，现有两个方案：一是新建仓库的底面直径比原来的大4m(高不变)，二是高度增加4m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两个方案所建仓库的体积；(2)分别计算按这两个方案所建仓库的侧面积；(3)哪一个方案更经济些？12.(2021·辽宁改编)正六棱锥P­ABCDEF中，G为PB的中点，求三棱锥D­GAC与三棱锥P­GAC的体积之比．参考答案1.2解析：圆锥的底面半径为r=eq\r(22-3)=1，则圆锥的侧面积为S侧=2.2.eq\r(3)解析：每个正三角形的面积为eq\f(\r(3),4)，全面积为eq\f(\r(3),4)4=eq\r(3).3.56解析：长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线．设球半径为R，由题意知2R=eq\r(22+42+62)=2eq\r(14)，则R=eq\r(14).所以球的外表积为S=4R2=56.4.eq\f(81\r(3),4)解析：该正三棱柱的底面边长为3，高为9，则其体积为V=Sh=eq\f(\r(3),4)329=eq\f(81\r(3),4).5.3解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则l=2r.由题意知，轴截面面积S=eq\f(\r(3),4)(2r)2=eq\r(3)r2=eq\r(3)，∴r=1.故圆锥的全面积S=rl+r2=3.6.4解析：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3eq\f(4,3)r3+r28=r26r，解得r=4.7.eq\f(7,3)a2解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知AP=eq\f(2,3)eq\f(\r(3),2)a=eq\f(\r(3),3)a，OP=eq\f(1,2)a，所以球的半径R满足：R2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2=eq\f(7,12)a2，故S球=4R2=eq\f(7,3)a2.8.2600解析：S=(50+80)20=2600.9.2解析：设底面边长为a，则高h=eq\r(SA2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)=eq\r(12-\f(a2,2))，所以体积为V=eq\f(1,3)a2h=eq\f(1,3)a2eq\r(12-\f(1,2)a2)=eq\f(1,3)eq\r(12a4-\f(1,2)a6)，设y=12a4-eq\f(1,2)a6，则y′=48a3-3a5，令y′=0解得a=0或4，易得当a=4时，V最大，此时h=2.10.设球的半径为R，则eq\f(4,3)R3=eq\f(,3)，解得R3=eq\f(1,4)，而正三棱柱底面内切圆半径r=eq\f(\r(3),6)2=eq\f(\r(3),3)，则R6=eq\f(1,16)，r6=eq\f(1,27)，则R6＞r6，即R＞r，故这样的桶里不能放进一个体积为eq\f(,3)的小球．11.(1)当仓库底面直径比原来大4m时，底面半径为8m，高为4m，体积V1=eq\f(1,3)824=eq\f(256,3)m3；当仓库的高比原来大4m时，底面半径为6m，高为6m，体积为V2=eq\f(1,3)628=96m2.(2)当仓库底面直径比原来大4m时，底面半径为8m，高为4m，侧面积为S1=8eq\r(82+42)=32eq\r(5)m3.当仓库高度比原来大4m时，底面半径为6m，高为8m，侧面积为S2=6