第1章-矢量分析与场论

第1章矢量分析与场论1.1矢量及其代数运算1.2圆柱坐标系与球坐标系1.3矢量场1.4标量场1.5亥姆霍兹定理习题1.1矢量及其代数运算1.1.1标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。

例如，矢量A可以表示成

A=aA

（1-1-1）

其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a=A/A，其大小等于1。图1-1直角坐标系中一点的投影一个大小为零的矢量称为空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（UnitVector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、z轴分量的方向。

空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(PositionVector)，它在直角坐标系中表示为

r=axX+ayY+azZ

（1-1-2）式中，X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax、ay、

az

可以将矢量A表示成：

A=axAx+ayAy+azAz

（1-1-3）

矢量A的大小为A：

A=(A2x+A2y+A2z)1/2（1-1-4）1.1.2矢量的代数运算1.矢量的加法和减法任意两个矢量A与B相加等于两个矢量对应分量相加，它们的和仍然为矢量，即

C=A+B=ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz)

(1-1-5)

任意两个矢量A与B的差等于将其中的一个矢量变号后再相加，即

D=A-B=A+(-B)=ax(Ax-Bx)+ay(Ay-By)+az(Az-Bz)(1-1-6)2.矢量的乘积

矢量的乘积包括标量积和矢量积。

1）标量积

任意两个矢量A与B的标量积(ScalarProduct)是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图1-2所示，记为

A·B=ABcosθ(1-1-7)图1-2标量积的图示例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：

ax·ay=ay·az=ax·az=0

ax·ax=ay·ay=az·az=1

任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表示为

A·B=AxBx+AyBy+AzBz

(1-1-9)

标量积服从交换律和分配律，即

A·B=B·A(1-1-10)A·(B+C)=A·B+A·C(1-1-11)(1-1-8)

2）矢量积任意两个矢量A与B的矢量积（VectorProduct）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面，如图1-3所示，记为

C=A×B=anABsinθ(1-1-12)

an=aA×aB（右手螺旋）图1-3矢量积的图示及右手螺旋

(a)矢量积的图示；(b)右手螺旋矢量积又称为叉积(CrossProduct)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即

A×B=-B×A

(1-1-13)

A×(B+C)=A×B+A×C(1-1-14)直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：

ax×ay=az,ay×az=ax,az×ax=ay

ax×ax=ay×ay=az×az=0

在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为(1-1-15)

=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)(1-1-16)矢量的其他运算详见附录一。1.2圆柱坐标系和球坐标系

1.2.1圆柱坐标系

空间任一点P的位置可以用圆柱坐标系中的三个变量(ρ,φ,z)来表示，如图1-4所示。其中，ρ是位置矢量OP在xy面上的投影，φ是从+x轴到位置矢量OP在xy面上的投影之间的夹角，z是OP在z轴上的投影。由图1-4可以看出，圆柱坐标与直角坐标之间的关系为

x=ρcosφ

y=ρsinφz=z

（1-2-1）如同直角坐标系一样，圆柱坐标系也具有三个相互垂直的坐标面，如图1-5所示。

图1-4圆柱坐标系一点的投影图1-5圆柱坐标系三个互相垂直的坐标坐标面（1-2-2）表示一个以z轴作轴线的半径为ρ的圆柱面，ρ的变化范围为0≤ρ<∞。坐标面（1-2-3）表示一个以z轴为界的半平面，φ的变化范围为0≤φ≤2π。

坐标面

z=常数（1-2-4）

表示一个平行于xy平面的平面。z的变化范围为-∞<z<+∞。由于三个面相交成直角，因此能够建立互相垂直的坐标轴：ρ、φ

和z，相应的单位矢量为aρ、aφ和az，分别指向ρ、φ和z增加的方向。应该指出：圆柱坐标系中的三个单位矢量（与直角坐标系的不同）除az外，aρ和aφ都不是常矢量，它们的方向随P点的位置不同而变化，但aρ、aφ和az三者始终保持正交关系，并遵循右手螺旋法则，即

aρ×aφ=az,aφ×az=aρ,az×aρ=aφaρ×aρ=aφ×aφ=az×az=

0

（1-2-5）

aρ·aφ=aφ·az=aρ·az=0aρ·aρ=aφ·aφ=az·az=1（1-2-6）圆柱坐标系的位置矢量r可以表示为

r=aρρ+azz

（1-2-7）图1-6圆柱坐标系单位矢量的变换圆柱坐标系中的单位矢量aρ和aφ在单位矢量ax和ay上的投影示于图1-6，显然

aρ=axcosφ+aysinφaφ=ax(-sinφ)+ay

cosφ（1-2-8）

所以，直角坐标系中的单位矢量变换到圆柱坐标系中的单位矢量的表达式写成矩阵形式为

（1-2-9）将上式求逆即可得到从圆柱坐标系到直角坐标系的转换关系为（1-2-10）式（1-2-9）和（1-2-10）表明：如果矢量A是在圆柱坐标系给定的，根据式（1-2-10）可以得到直角坐标系的表达式；反之，若矢量A是在直角坐标系给定的，则根据式（1-2-9）可以得到圆柱坐标系的表达式。圆柱坐标系中的任意一点P沿ρ、φ和z方向的长度增量分别为

dlρ=dρ,dlφ=ρdφ,dlz=dz

（1-2-11）

它们与沿各自坐标增量之比分别为（1-2-12）圆柱坐标三个坐标面的面元矢量分别为

dSρ=aρρdφdz

（1-2-13）

dSφ=aφdρdz

（1-2-14）

dSz=azρdφdρ（1-2-15）

体积元为

dV=ρdφdρdz（1-2-16）

1.2.2球坐标系

在球坐标系中，空间一点P唯一地用三个坐标变量(r,θ,φ)来表示，如图1-7所示。此处，位置矢量r又称为矢径(RadiusVector)，r是其大小，θ是位置矢量r与z轴的夹角，φ是从+x轴到位置矢量r在xy面上的投影OM之间的夹角。由图1-7可以看出，球坐标与直角坐标之间的关系为

x=rsinθcosφ

y=rsinθsinφz=rcosθ（1-2-17）

同样，球坐标也有三个坐标面，如图1-8所示。坐标面（1-2-18）表示一个半径为r的球面，r的变化范围为0≤r<∞。图1-7球坐标系一点的投影图1-8球坐标系三个互相垂直的坐标面坐标面

θ=常数表示一个以原点为顶点、以z轴为轴线的圆锥面，θ的变化范围为0≤θ≤π。

坐标面（1-2-19）表示一个以z轴为界的半平面，φ的变化范围为0≤φ<2π。球坐标系的位置矢量可以表示为

r=arr(1-2-20)

球坐标系中任意点P(r,θ,φ)的三个单位矢量为ar、aθ和aφ，它们互相正交且遵循右手螺旋法则，即

ar×aθ=aφ,aθ×aφ=ar,aφ×ar=aθ

ar×ar=aθ×aθ=aφ×aφ=0

ar·aθ=aθ·aφ=ar·aφ=0

ar·ar=aθ·aθ=aφ·aφ=1（1-2-21）（1-2-22）

图1-9球坐标的三个单位矢量在ax、ay和az

上的投影单位矢量ar、aθ和aφ在单位矢量ax、ay

和az上的投影分别示于图1-9(a)、(b)和(c)。由图1-9可以得到直角坐标系中的单位矢量变换到球坐标的表达式为（1-2-23）将上式求逆即可得到球坐标中的单位矢量变换到直角坐标的表达式为（1-2-24）式（1-2-23）和（1-2-24）表明：如果矢量A是在球坐标系给定的，根据式（1-2-24）可以得到直角坐标系的表达式；反之，若矢量A是在直角坐标系给定的，则根据式（1-2-23）可以得到球坐标系的表达式。空间一点P沿r、θ和φ方向的长度增量分别为

dlr=dr,dlθ=rdθ,dlφ=rsinθdφ（1-2-25）

则球坐标中的拉梅常数为（1-2-26）而沿球面、θ=常数平面和φ=常数平面的三个面元矢量分别为

dSr=arr2sinθdθdφ（1-2-27）

dSθ=aθrsinθdrdφ

（1-2-28）

dSφ=aφrdrdθ

（1-2-29）

球坐标的体积元为

dV=r2sinθdrdθdφ（1-2-30）

【例1-1】

将圆柱坐标系中的矢量表达式

转换为直角坐标系的表达形式。

1.3矢量场1.3.1矢量场的矢量线矢量场空间中任意一点P处的矢量可以用一个矢性函数A=A(P)来表示。当选定了直角坐标系后，它就可以写成如下形式：

A=A(x,y,z)（1-3-1）设Ax,Ay,

Az为矢性函数A在直角坐标系中的三个坐标分量，且假定它们都具有一阶连续偏导数，则A又可以表示为

A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z)（1-3-2）

所谓矢量线(ＶectorLine)，乃是这样一些曲线：在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上（如图1-10所示），像静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等，都是矢量线的例子。图1-10力线图现在我们来讨论矢量线方程的表达式。设P为矢量线上任一点，其矢径为r，则根据矢量线的定义，必有

A×dr=

0

（1-3-3）

在直角坐标系中，矢径r的表达式为

r=axx+ayy+azz

（1-3-4）

将其代入式（1-3-3）即得矢量场的矢量线满足的微分方程为（1-3-5）【例1-2】

设点电荷q位于坐标原点，它在空间任一点P(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为式中，q、ε0

均为常数，r=axx+ayy+azz为P点的位置矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。图1-11点电荷的电场矢量线1.3.2矢量场的通量及散度

1.矢量场的通量在矢量场A中取一个面元dS及与该面元垂直的单位矢量n（外法向矢量，如图1-12所示），则面元矢量表示为

dS=ndS（1-3-6）图1-12矢量场的通量及散度由于所取的面元dS很小，因此可认为在面元上各点矢量场A的值相同，A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量(Ｆlux)，记作

A·dS=ＡcosθdS（1-3-7）

因此矢量场A穿过整个曲面S的通量为（1-3-8）如果S是一个闭曲面，则通过闭合曲面的总通量可表示为（1-3-9）

2.矢量场的散度

1）散度的定义设有矢量场A，在场中任一点P处作一个包含P点在内的任一闭合曲面S，设S所限定的体积为ΔV，当体积ΔV以任意方式缩向P点时，取下列极限:（1-3-10）如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场A在点P处的散度（Divergence），记作（1-3-11）显然，式（1-3-11）的物理意义是从点P单位体积内散发的通量。在直角坐标系中，散度的表达式为（1-3-12）

2）哈米尔顿（Hamilton）算子为了方便，我们引入一个矢性微分算子，在直角坐标系中有：（1-3-13）式（1-3-13）称作哈米尔顿算子，记号(读作del)是一个微分符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函数A的点积为一标量函数。在直角坐标系中，散度的表达式可以写为（1-3-14）即矢量函数A在圆柱坐标系和球坐标系中的散度表达式分别为（1-3-15）（1-3-16）3）高斯散度定理（DivergenceTheorem）在矢量分析中，一个重要的定理是（1-3-17）上式称为散度定理。【例1-3】

在矢量场A=axx2+ayxy+azyz中，有一个边长为1的立方体，它的一个顶点在坐标原点上，如图1-13所示。试求：（1）矢量场A的散度;（2）从六面体内穿出的通量，并验证高斯散度定理。图1-13单位立方体1.3.3矢量场的环量及旋度

1.环量的定义设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线，定义矢量场A环绕闭合路径l的线

积分为该矢量的环量（Circulation），记作（如图1-14所示）（1-3-18）矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，我们引入矢量场旋度的概念。图1-14矢量场的环量图1-15闭合曲线方向与面元的方向示意图2.矢量场的旋度

1）旋度的定义

设P为矢量场中的任一点，作一个包含P点的微小面元ΔS，其周界为l，它的正向与面元ΔS的法向矢量n成右手螺旋关系(如图1-15所示)。当曲面ΔS在P点处保持以n为法矢不变的条件下，以任意方式缩向P点，若其极限（1-3-19）图1-16旋度及其投影称固定矢量R为矢量A的旋度（Curl或Rotation），记作

rotA=R（1-3-20）

式（1-3-19）为旋度矢量在n方向的投影，如图1-16所示，即（1-3-21）因此，矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为（1-3-22）为方便起见，也引入算子，则旋度在直角坐标系中的表达式为（1-3-23）矢量函数A在圆柱坐标系和球坐标系中的旋度表达式分别为（1-3-24）（1-3-25）旋度的一个重要性质就是任意矢量旋度的散度恒等于零，即

▽·(▽×A)≡0

（1-3-26）

这就是说，如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可以用另一个矢量A的旋度来表示，即当▽·B=0

则有

B=▽×A（1-3-27）2）斯托克斯定理（Stokes'Theorem）矢量分析中另一个重要定理是

（1-3-28）式（1-3-28）称为斯托克斯定理，其中S是闭合路径l所围成的面积，它的方向与l的方向成右手螺旋关系。式（1-3-28）表明：矢量场A的旋度沿曲面S法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分（证明从略）。

图1–17四分之一圆盘【例1-4】

已知一矢量场F=axxy-ay2x,试求：

（1）该矢量场的旋度;（2）该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分，如图1-17所示，验证斯托克斯定理。1.4标量场1.4.1标量场的等值面

一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标系中，可将u表示为

u=u(x,y,z)（1-4-1）

令

u(x,y,z)=C,C为任意常数（1-4-2）式（1-4-2）在几何上一般表示一个曲面，在这个曲面上的各点，虽然坐标(x,y,z)不同，但函数值相等，称此曲面为标量场u的等值面。随着C的取值不同，得到一系列不同的等值面，如图

1-18

所示。同理，对于由二维函数v=v(x,y)所给定的平面标量场，可按v(x,y)=C得到一系列不同值的等值线。图1–18标量场的等值面

1.4.2方向导数

1.方向导数的定义设P0为标量场u=u(P)中的一点，从点P0出发引出一条射线l，如图1-19所示。在l上P0点邻近取一点P，记线段

P0P=Δl，如果当P→P0时，的极限存在，则称它为函数u(P)在点P0处沿l方向的方向导数(DirectionalDerivative)，

记为：

（1-4-3）图1-19方向导数2.方向导数的计算公式

在直角坐标系中，设函数u=u(x,y,z)在P0(x0,y0,z0)处可微，则有（1-4-4）式（1-4-4）中，当Δl→0时δ→0。将上式两边同除以Δl并取极限得到方向导数的计算公式：（1-4-5）式中，cosα,cosβ,cosγ为l方向的方向余弦。1.4.3标量场的梯度

1.梯度的定义方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，必定在某个方向上变化率为最大。为此，我们定义一个矢量G，其方向就是函数u在点P处变化率为最大的方向，其大小就是这个最大变化率的值，这个矢量G称为函数u在点P处的梯度（Gradient），记为（1-4-6）算子▽与标量函数u相乘为一矢量函数。在直角坐标系中，梯度又可以表示为（1-4-7）另外，以后我们还经常用到标量拉普拉斯算子(LaplaceOperator)，即

▽2=▽·▽（1-4-8）在直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式为（1-4-9）标量函数u在圆柱坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为（1-4-10）（1-4-11）标量函数u在球坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为（1-4-12）（1-4-13）

2.梯度的性质梯度有以下重要性质：（1）方向导数等于梯度在该方向上的投影，即

（1-4-14）

（2）标量场u中每一点P处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(P)增大的方向。也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。（3）▽×▽u≡

0

（1-4-15）

式（1-4-15）表明：如果一个矢量场F满足▽×F=

0

，即F是一个无旋场，则矢量场F可以用一个标量函数u的梯度来表示，即F=▽u，该标量函数称为势函数(PotentialFunction)，对应的矢量场称为有势场。如静电场中的电场强度就可以用一个标量函数的梯度来表示。3.梯度的积分

设标量场u，根据梯度的性质：标量场的梯度F是一个无旋场，则由斯托克斯定理知，无旋场沿闭合路径的积分必然为零，即而图1-20无旋场沿不同路径的积分(如图1-20所示)，即

这说明积分与路径无关，仅与始点P1和终点P2的位置有关。又假如选定始点P1为不动的固定点（参考点），P2点为任意动点，则P2点的函数值可表示为（1-4-16）式（1-4-16）表明：如果已知一个无旋场，选定一个参考点，就可由式（1-4-16）求得其标量场u。如在静电场中，已知电场强度，就可求得电位函数（第2章中介绍）。1.5亥姆霍兹定理设一个矢量场A既有散度，又有旋度，则可将其分解为一个无旋场分量A1和一个无散场分量A2之和，即

A=A1+A2（1-5-1）

其中无旋场分量A1的散度不等于零，设为ρ，无散场分量A2的旋度不等于零，设为J，因此有

▽·A=▽·(A1+A2)=▽·A1=ρ

（1-5-2）

▽×A=▽×(A1+A2)=▽×A2=J

（1-5-3）如上可见，矢量场A的散度代表着形成矢量场的一种源——标量源ρ，而矢量场A的旋度代表着形成矢量场的另一种源——矢量源J。一般来说，当一个矢量场的两类源(ρ,J)

在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理(HelmholtzTheorem)。亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等）都应该从散度和旋度两个方面去进行，其中

▽·A=ρ

▽×A=J（1-5-4）

称此为矢量场基本方程的微分形式。或者从矢量场的通量和环量两个方面去研究，即（1-5-5）上式称为矢量场基本方程的积分形式。习题1.1已知A、B和C为任意矢量，（1）若A·B=A·C，则是否意味着B总等于C呢？试讨论之；（2）试证明：A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)。1.2给定三个矢量A、B和C如下：

A=ax+2ay-3azB=-4ay+az

C=5ax-2az求:（1）矢量A的单位矢量aA；（2）矢量A和B的夹角θAB；（3）A·B和A×B;（4）A·(B×C)和(A×B)·C；（5）A×(B×C)和(A×B)×C。1.3有一个二维矢量场F(r)=ax(-y)+ay(x)，

求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。1.4已知直角坐标系中的点P1(-3,1,4)和P2(2,-2,3):（1）在直角坐标系中写出点P1、P2的位置矢量r1和r2；（2）求点P1到P2的距离矢量的大小和方向;（3）求矢量r1在r2的投影。1.6求数量场ψ=ln(x2+y2+z2)通过点P(1,2,3)的等值面方程。1.7用球坐标表示的场

，求:（1）在直角坐标系中的点(-3,4,-5)处的|E|和Ez；（2）E与矢量B=2ax-2ay+az之间的夹角。1.8试计算

的值，式中的闭合曲面S是以原点为顶点的单位立方体，r为立方体表面上任一点的位置矢量。

1.9求标量场ψ(x,y,z)=6x2y3+ez在点P(2,-1,0)的梯度。1.10在圆柱体x2+y2=9和平面x=0、y=0、z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S:（1）求矢量场A沿闭合曲面S的通量，其中矢量场A的表达式为

A=ax3x2+ay(3y+z)+az(3z-x)（2）验证散度定理。1.11从P(0,0,0)到Q(1,1,0)计算,其中矢量场A的表达式为

A=ax4x-ay14y2曲线C沿下列路径：（1）x=t,y=t2;（2）从(0,0,0)沿x轴到(1,0,0)，再沿x=1到(1,1,0)；（3）此矢量场为保守场吗？1.12（1）若矢量场A=(2+16r2)az，在半径为2和0≤θ≤π/2的半球面上计算