第2章电磁场的基本规律

第1页场的基本概念三个坐标系三个度两个转换(公式)两个恒等式一个运算两个定理场基本方程的微分和积分形式场点和源点的梯度关系第一章__矢量分析总结

第2页第一章__矢量分析总结

哈密顿算符：梯度：散度：旋度：斯托克斯定理散度定理（高斯定理）面-体积分转化：面-线积分转化：第3页第一章__矢量分析总结

梯度的旋度恒等于零：旋度的散度恒等于零:拉普拉斯运算：

格林定理第一恒等式：

第二恒等式：

第一章__矢量分析总结

场基本方程的微分形式：场基本方程的积分形式：场点和源点的梯度关系：亥姆霍兹定理：

只要一个矢量场的散度和旋度处处是已知的，那么就可以惟一地求出这个矢量场第4页第2章电磁场的基本规律

电磁学有三大实验定律：库仑定律安培定律法拉弟电磁感应定律以此为基础，麦克斯韦进行了归纳总结，建立了描述宏观电磁现象的规律－麦克斯韦方程组2.1电荷守恒定律

自然界中最小的带电粒子包括电子和质子一般带电体的电荷量通常用q表示从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间中的从宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范围内时，可假定电荷是以连续的形式分布在这个范围中几种表示法：体积中－电荷体密度

曲面上－电荷面密度

s曲线上－电荷线密度

l2.1.1电荷与电荷密度如何产生电子

体电荷密度：设分布于体积元

V′中的电荷电量为

q，则体电荷密度

的定义为

面电荷密度：设分布于面积元

S′中的电荷电量为

q，则面电荷密度

s的定义为

线电荷密度：设分布于线元

l′中的电荷电量为

q，则线电荷密度

l的定义为

点电荷：电量为q、集中在体积为零的几何点上的电荷点电荷密度的

函数表示法

函数的定义和性质设坐标原点为O，选定空间某点的坐标为r（观察点坐标），移动坐标r′(源点坐标)，R

=

r-r′。

函数的定义和性质如下：

用

函数表示点电荷体密度

设点荷q位于r′处，空间任意点r的电荷体密度可以表示成：

电流由定向流动的电荷形成，通常用

I

表示电流强度，定义为

当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，此时称为恒定（稳恒）电流空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅用穿过某截面的电荷量无法描述电流的分布情况引入电流密度来描述电流的分布情况2.1.2电流及电流密度

体电流密度如图，设P为空间中的任意点，过P取面积元dS。其中：J=

v

即为电流密度矢量，由此可以得到通过截面积S的电流设单位体积内有N个带电粒子，所有粒子带有相同的电荷q，且都以相同的速度v运动，体积中的总电荷将在dt

时间内经dS

流出柱体，可以得到dt

时间内通过dS

的电荷量为其中：en为曲面S的法向单位矢量

反映空间各点电流流动情况的物理量，形成一个空间矢量场一般是时间t的函数，即J

=J(r,t)

J

在空间某点的方向为该点电流流动的方向

J

在空间某点的大小为单位时间内垂直通过单位面积的电量如有N种带电粒子，电荷密度分别为

i，平均速度vi，则有关于体电流密度的说明

=0时可能存在电流。如导体中电荷体密度为0，但因正电荷不动，有式中Js=Jh

即为面电流密度，单位为A/m（安培/米）

如图，设电流集中在厚度为h的薄层内流动，薄层的横截面

S，en为表示截面方向的单位矢量。显然穿过截面的电流为

面电流密度当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时，电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量Js来表示。

Js是反映薄层中各点电流流动情况的物理量，它形成一个空间矢量场分布

Js在某点的方向为该点电流流动的方向

Js在某点的大小为单位时间内垂直通过单位长度的电量

当薄层的厚度趋于零时，面电流称为理想面电流只有当电流密度J趋于无穷，面电流密度Js才不为零，即关于面电流密度的说明

线电流当电流沿一横截面可以忽略的曲线流动，电流被称为线电流。长度元dl上的电流Idl称为电流元。

电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。实验证明，电荷是守恒的，既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从一个地方移动到另一个地方。取电流流动空间中的任意一个体积V，其中的电荷在单位时间内减少的数量应该等于流出包围V的封闭曲面S的电流，即2.1.3电荷守恒定律与电流连续性方程电荷守恒定律积分形式

V静止或固定1）当体积V为整个空间时，闭合面S为无穷大界面，将没有电流经其流出，此式可写成对电荷守恒定律的进一步讨论即整个空间的总电荷是守恒的。此式也称为电流连续性方程。2）利用高斯定理由

电荷守恒定律微分形式电流连续方程微分形式

3）积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系。4）空间中某点电荷密度变化，此点即成为电流的散度源，发出或汇集电流。5）当电流不随时间变化时，称为恒定电流（或稳恒电流）。此时要求电荷分布与时间无关，即

对时间的偏导数为零，可以得到

恒定电流场是无散度场（无源场、无散场）恒定电流形成不间断的闭合回路传导位移运流

例1在球面坐标系中，传导电流密度为J=er10r-1.5(A/m2)

求：（1）通过半径r＝1mm的球面的电流值；（2）在半径r=1mm的球面上电荷密度的增加率；（3）在半径r=1mm的球体内总电荷的增加率。解：（1）（2）在球面坐标系中（3）由电荷守恒定律得静电场：由静止电荷产生的电场重要特征：对位于电场中的电荷有力的作用研究内容：电荷、电场强度的空间分布规律(场源关系)、电场的计算第二节真空中静电场的基本规律电磁场与电磁波第二章__电磁场的基本规律

2.2真空中静电场的基本规律2.2.1库仑定律电场强度

库仑定律描述真空中静止点电荷q1和q2的相互作用力，其数学表达式为式中F12表示q1作用在q2上的静电力，R12=r2－r1。异号:

与

反向，

为引力

：从q1

指向q2

的单位矢量

真空介电常数：

SI制（国际单位制）：长度的单位：m（米）质量的单位：kg（千克）时间的单位：s（秒）的单位：N（牛顿）q的单位:C（库仑）用矢量表示

:同号:与同向，为斥力库仑定律是静电场的基本定律，为何还要定义电场强度（见参考教材P53-54）电磁场与电磁波_2.2.1库仑定律电场强度（法拉/米）

多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即

连续分布电荷系统的静电力必须进行矢量积分只给出了作用力的大小和方向，没有说明传递方式或途径对库仑定律的进一步讨论

大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上库仑定律的实验验证1785年,库仑设计制作了一台精巧的扭称,它能够测量小到的微弱作用力,库仑用它来测量电荷之间的作用力,库仑在他的论文中,详细记述了同号电荷间排斥力的测量过程.异号电荷之间电引力的库仑单摆实验若将电力与距离的关系写成其中是偏离平方反比的修正数,则库仑实验得出的结果是Cavendish示零实验解：将V分解成无数个体积元，各体积元可看成点电荷

(rˊ)dV，利用库仑定律得q所受静电力

对电荷分布在曲面或曲线上的情况，只需将电荷体密度、体积元和积分区域作相应的替换即可。如，对面电荷有

例:体积为V的区域中体电荷密度为

(rˊ)，空间r处有一个点电荷q，如图所示。写出V中的电荷作用在点电荷q上的静电力表达式。如果电荷是分布在一个曲面或曲线上，静电力的表达式又如何?

电场的定义电场是电荷周围形成的物质，另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用静止电荷产生的电场称为静电场，随时间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场

电场强度矢量电场中的单位正点电荷q0所受的电场力除了与自身所带电量q0有关，还与所在点的电场有关，即有关系式

对电场强度的进一步讨论

电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场电场强度是单位点电荷受到的电场力，它只与产生电场的电荷有关此式对静电场和时变电场均成立

点电荷产生的电场单个点电荷在空间任意点激发的电场为

N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为

连续分布的电荷系统产生的电场连续分布于体积V中的电荷在空间任意点r产生的电场为

面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如

线电荷

面电荷某些典型的场强值(V/m)室内电线附近:约地面附近:约120雷雨云附近:约电视显像管内:约高压电器击穿空气处:约X光管内:约氢原子的电子所在处:约脉冲的表面处:约铀核的表面处:约因而，系数，作用在0.7mC点电荷上的电场力为每个电荷经受的力的大小为。解:

从4.9µC的点电荷到0.7mC点电荷的距离矢量为

[例]两个带电量分别为0.7mC和4.9µC的点电荷位于自由空间的点(2,3,6)和(0,0,0)，试计算作用在0.7mC点电荷上的电场力。电磁场与电磁波_2.2.1库仑定律电场强度第33页解：场点坐标为，表示线元，坐标为。电场强度与无关,具有轴对称性:在P点的电场分量：

[例]有限长直线上均匀分布着线密度为的电荷，求线外任一点的电场强度。电磁场与电磁波_2.2.1库仑定律电场强度直线为无限长时，

即：

电磁场与电磁波第二章__电磁场的基本规律

例

图中所示为一个半径为r的带电细圆环，圆环上单位长度带电

l，总电量为q。求圆环轴线上任意点的电场。解：将圆环分解成无数个线元，每个线元可看成点电荷

l(r)dl，则线元在轴线任意点产生的电场为由对称性和电场的叠加性，合电场只有z分量，则（即）；解：电荷密度：

[例]

一半径a的导体球，总电量为

Q，求球内外的电场强度。故球外任意一点的电场强度：

球内点的电场强度：

电磁场与电磁波_2.2.1库仑定律电场强度结果分析（1）当z→0，此时P点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，E=0（2）当z→∞，R与z平行且相等，r<<z，带电圆环相当于一个点电荷，有第二章作业：2.3,2.6,2.7,2.9,2.11,2.13,2.15,2.16,2.18,2.21,2.22,2.25,2.26,2.27,2.29,2.30,2.312.2.2静电场的散度与旋度

静电场的散度和高斯定理

设静止电荷

分布在V区域中，空间任意点r的电场强度为利用关系式

两边取散度，由于与源座标无关，可将其移到积分号中，得①再利用函数的挑选性，得因已假设电荷分布在区域V内，故可将上式写为:高斯定理的微分形式两边取体积分，考虑散度定理，有高斯定理的积分形式对静电场高斯定理的讨论

空间任意点电场的散度只与当地的电荷分布有关静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场穿过任意闭合面的电通量正比于闭合面所包围的总电量电场散度与电场是不同的物理量无电荷处，源的强度(散度）为零，但电场不一定为零

静电场的旋度和环路定理由于式①中微分算子与源座标无关，可以从积分号中提出，得①两边取旋度，得当做任意标量

利用矢量恒等式得环路定理的微分形式利用斯托克斯公式，得环路定理的积分形式等式两端在任意曲面S上进行面积分，有对环路定理的讨论

空间中静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡源，电力线不构成闭合回路静电场沿任意闭合回路的积分都为零电场旋度和电场强度是不同的两个物理量，从不同角度描述同一个物理对象虽然空间中电场的旋度处处为零，但电场却可能存在，二者没有必然的联系

静电场的性质矢量场的性质可以用其散度和旋度全面地描述。前者描述矢量场场线扩散的状况，而后者则描述矢量场场线的形状。有源场。电力线由电荷发出，电荷是电场的源无旋场。电力线不构成闭合回路有源无旋的静电场呈现扩散状的分布形式积分形式微分形式意义总结静电场的基本方程

静电场是保守场电荷是静电场的源

高斯定理：静电场是有源场,电力线起始于正电荷,终止于负电荷环路定理：静电场是无旋场,是保守场,电场力做功与路径无关

电磁场与电磁波第二章__电磁场的基本规律

球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等;用高斯定理计算电场分布具有一定对称性情况的电场强度→

电磁场与电磁波_2.2.2静电场的散度与旋度轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等;电磁场与电磁波第二章__电磁场的基本规律

无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。电磁场与电磁波_2.2.2静电场的散度与旋度[例]

电荷按体密度分布于一个半径a的球形区域内，其中ρ0为常数，计算球内外的电场。解:由高斯定律：，得球外r>a时，

电磁场与电磁波第二章__电磁场的基本规律

此例中，如果电荷密度为ρ0

，则球内r<a时:，电磁场与电磁波_2.2.2静电场的散度与旋度第57页1.平行平面场如果在经过某一轴线(设为z

轴）的一族平行平面上，场F的分布都相同，即F=f（x，y），则称这个场为平行平面场。如无限长直导线产生的电场。特殊形式的电磁场（SpecialFormsofElectromagneticField）电磁场与电磁波第二章__电磁场的基本规律

2.轴对称场如果在经过某一轴线(设为z

轴)的一族子午面上，场F的分布都相同，即F=f（r,

），则称这个场为轴对称场。如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带电导线产生的电场。电磁场与电磁波第二章__电磁场的基本规律

3.球面对称场如果在一族同心球面上（设球心在原点），场F的分布都相同，即F=f（r），则称这个场为球面对称场。如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。电磁场与电磁波第二章__电磁场的基本规律

例电量Q均匀分布在半径为a的球形区域中，求空间的电场分布、电场的散度和旋度。解：电量Q均匀分布在球形区域中，其体密度为高斯定理得得2.3真空中恒定磁场的基本规律恒定磁场由恒定电流产生，又称静磁场。2.3.1安培力定律磁感应强度

两个电流元间的作用力真空中的两个恒定电流元之间也存在相互作用力，其数学表达式为安培力定律的微分形式对微分形式安培力定律的讨论

两个电流元之间静磁力的大小与电流元成正比、与距离的平方成反比，方向由电流元方向及二者连线方向确定

dF12≠－dF21，这与库存仑定律不同。这是因为孤立的稳恒电流元根本不存在，仅仅是数学上的表示方法而已

两个电流环的相互作用力在回路C1上式积分，得到回路C1作用在电流元I2dl2上的力再在C2上对上式积分，即得到回路C1对回路C2的作用力安培力定律的积分形式②对安培力定律的讨论

满足牛顿第三定律只给出作用力的大小和方向，没说明作用力如何传递

磁感应强度磁力是通过磁场来传递的电流或磁铁在其周围空间会激发磁场B，当另外的电流或磁铁处于这个磁场中时，会受到力（磁力）的作用处于磁场中的电流元Idl所受的磁场力dF与该点磁场B、电流元强度和方向有关，即③

毕奥－萨伐尔定律设闭合回路C上通有稳恒电流I，它在空间任意点r处产生的磁感应强度B，由②和③比较得毕奥－萨伐尔定律

体电流产生的磁场

运动电荷的磁场④某些典型磁场的B值(T)室内电线周围:约地球磁场:约小磁针:约大型电磁铁:约2实验室磁场:太阳黑子:约0.3脉冲星表面磁场:约人体心脏:约例

有限长直线电流的磁感应强度。解：在导线上任取电流元Idl，其方向沿着电流流动的方向，即z方向。由比奥—萨伐尔定律，电流元在导线外一点P处产生的磁感应强度为其中当导线为无限长时，

1→0，

2→

磁场对运动电荷的作用力可以用磁场对电流元的作用力推导出来：内电量为dq,电子运动速度为，则电流元受力→导体内运动电荷受力以速度运动的电荷q在磁场中受的力：洛仑兹力

[电磁场中运动电荷受力]

解：采用圆柱坐标，使z轴与线电流相合，原点在线的中点。场由于对称性与φ无关，故可将场点放在φ

=0

的平面上。场点坐标为(ρ,0,z),电流元坐标为

(0,0,z′)[例]计算通过电流I的一段长为l

的直导线的磁感应强度。ρρρ其中

{前面有负号，否则当，，这是不对的}如果，，则

无限长直线电流

ρρρ{例}

两平行无限长直线电流I1

和I2，距离为d，求每根导线单位长度受力。导线2单位长度受力：,即

解：I1

在I2处的为：导线1单位长度受力：{与的方向相反}当I1=I2时，

H/m，如果d=1m，，则I=1A受力：这就是国际单位制中用来作为定义1A的方法。同方向的直线电流为吸力，反向电流为斥力。2.3.2恒定磁场的散度与旋度

恒定磁场的散度和磁通连续性原理④等于零一个矢量⑤磁通连续性原理微分形式磁通连续性原理积分形式对磁通连续性原理的讨论

静磁场的散度处处为零，不存在磁力线的扩散源和汇集源磁场散度与磁感应强度是不同的物理量，磁场散度描述磁力线的分布特点，而不是磁场本身磁力线连续不断，无头无尾，穿过任何闭合面的通量为零

恒定磁场的旋度和安培环路定理对上式两端取旋度,并利用适量恒等式得:(2.3.10)应用和函数的挑选性,上式右边第二项可以表示为（13）利用恒等式和以及、可得（14）（15）将式（15）代入式（13）右边第一项，并应用散度定理，得式中的S是区域V的边界面。由于电流分布在区域V内，在边界面S上，电流没有法向分量，故（16）将式（14）和式（16）代入式（13），得安培环路定理积分形式再利用斯托克斯定理，并面积分变换成回路积分，得两边取面积分，得安培环路定理微分形式

恒定磁场的性质无源（无散）场。磁力线无头无尾且不相交有旋场。电流是磁场的旋涡源，磁力线构成闭合回路对安培环路定理的讨论

空间任意点磁场的旋度只与当地的电流密度有关恒定电流是静磁场的旋涡源，电流激发旋涡状的静磁场，并决定旋涡源的强度和旋涡方向磁场旋度与磁场是不同的物理量，它们的取值没有必然联系。没有电流的地方，磁场旋度为零，但磁场不一定为零任意回路上恒定磁场的回路积分，等于穿过回路所围区域的总电流强度例无限长同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b、厚度为t，内外导体分别通有电流I和－I。求各区域的磁感应强度、磁场的散度和旋度。解：由于电流沿z轴方向流动，所以磁场只有

分量。电流均匀分布在导体内，有在r<a区域，将安培环路定理应用于任意半径为r的回路，有

在a<r<b区域在b<r<b+t

区域

，有

在r>b+t区域，回路所围电流强度为零，B=0计算机模拟的磁感应强度随r的变化，图中的c=b+t

求▽•B：在柱坐标系中，其中Br=Bz=0，各区域中B

与

无关，故各区域均有▽•B=0求▽×B：在柱坐标系中，考虑到B只有

分量且与z无关，有

可见，所有区域磁场散度都为零，旋度由电流密度确定。另外，磁场的散度、旋度和磁感应强度的取值没有相互联系物质对电磁场的响应可分为：极化→电介质→束缚电荷→

ε磁化→磁介质→束缚电流→μ传导→导体→电子定向运动→σ第四节媒质的电磁特性电磁场与电磁波第二章__电磁场的基本规律

2.4介质的电磁特性2.4.1

电介质的极化电位移矢量

当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。

介质极化的相关概念介质：内部存在不规则而迅速变化的微观电磁场的带电系统电偶极子和电偶极矩：由两个相距l的等量异号点电荷±q

组成的带电体系，其电特性用电偶极矩p=ql表示，是个矢量

介质分子的分类：无极分子和有极分子。在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，宏观上不显出电特性无极分子

有极分子无外加电场无极分子有极分子

E有外加电场正负电荷中心重合正负电荷中心不重合位移极化离子极化取向极化

介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分子的取向一致，宏观上出现电偶极矩极化电荷（束缚电荷）：介质极化后，其表面和内部出现的宏观电荷分布

极化强度矢量描述介质极化的程度，等于单位体积内的电偶极矩，即

极化电荷密度设分子的电偶极矩p=ql。凡负电荷处于体积中的电偶极子必定穿过面元dS，则正电荷将穿出体积。

显然，经dS穿出体积的正电荷总量为在空间中任意取一个体积V，其边界为S，则经S穿出V的正电荷量为，则V中出现的极化电荷qP为

在介质表面上，极化电荷面密度为

空气介质en对介质极化问题的讨论=常数时称为均匀极化，此时介质内部不会出现极化电荷，极化电荷只会出现在介质表面上均匀介质内部一般不存在极化电荷自由电荷所在地一定有极化电荷出现

电位移矢量和电介质中的高斯定理当介质中出现极化电荷的时候，极化电荷会产生与自由电荷相同的电场，即有介质中的高斯定理①，为场矢量，是源矢量。D的单位为C/m2即非场矢量也不是源矢量，而是混合矢量，;②在实际问题中，把作为场来看，因为，和是一样变化;③与介质有关，不能由，得出与介质无关;④在任一闭合面S的通量只与S内的自由电荷总量有关，而与电荷的分布无关；场中任一点D的散度等于该点的体电荷密度，而与其它处的电荷分布无关。的物理意义说明：

电介质的本构关系对于线性各向同性介质，有介质的本构关系

对于均匀介质，

为与坐标（位置）无关的常数线性介质，介电常数与电场强度无关，否则为非线性介质各向同性介质,介电常数与电场强度的方向无关，D与E同向

对于线性各向异性介质，有解：例

内外半径分别为a和b的空心极化介质球中，已知极化强度，P0为常数，求

P和

SP。r=b球面上r=a球面上Oab例2.4.1

半径为a的球形区域内充满分布不均匀的体密度电荷，设其体密度为

(r)。若已知电场分布为式中的A为常数，试求电荷体密度

(r)。解：由高斯定律的微分形式，得将E的散度在球坐标系中展开，得2.4.2磁介质的磁化磁场强度

磁介质分子可等效地看作一个小的环电流，称为分子电流。与介质中的电荷产生微观电场一样，分子电流会产生微观磁场。当受到宏观外磁场作用时，分子电流的分布会产生变化，从而出现宏观的附加电流，并由此影响到原来的宏观磁场。

磁介质磁化有关概念分子电流及磁矩：分子电流可看成载流小线圈或小电流环，其特性可用磁矩pm=i

S来表示，是个矢量介质的磁化：没有外场时，分子电流无规则排列，取向均匀，介质不显宏观电流和宏观磁矩。外加磁场时，磁矩取向沿磁场方向排列并趋于一致，介质出现宏观磁矩和宏观磁化电流磁化电流：介质磁化后内部和表面出现的宏观电流JM和JSM

磁化强度矢量描述介质磁化的程度，等于单位体积内的分子磁矩，即

磁化电流密度在介质内部取曲面S，边界为C，穿过S的总电流IM。显然，只有被回路C穿过的分子电流对IM才有贡献。BC

设dl是回路C上的一个线元，

S为分子电流环的面积。显然，中心处于体积为

S·dl的柱体内的分子电流一定被回路C穿过，则被回路C穿过的分子总数为

另一方面，从S背面流出的电流IM可以表示为其中JM为磁化电流体密度。综合两式，得

在磁介质表面上，有

对介质磁化问题的讨论

M=常数时称为均匀磁化，此时磁介质内部不会出现磁化电流，磁化电流只会出现在磁介质表面上均匀磁介质内部一般不存在磁化电流

磁场强度和磁介质中的安培环路定理介质中的磁化电流会产生与恒定电流相同的磁效应，即有介质中的安培环路定理

磁介质的本构关系对于线性各向同性介质，有介质的本构关系

对于均匀磁介质，

为与坐标（位置）无关的常数线性介质，磁导率与磁场强度无关，否则为非线性介质各向同性介质,磁导率与磁场强度的方向无关，B与H同向

对于线性各向异性介质，有第99页关于

的物理意义：

①是为了简化有介质时磁场的分析引入的一个辅助矢量，它的表现形式是其定义；②与介质有关！对于铁，，所以铁的比空气中小得多，由此可见铁块对的影响。电磁场与电磁波第二章__电磁场的基本规律

例2.4.3半径为a的磁化介质球球心在坐标原点，磁化强度为，A和B为常数，求JM和JSM。解：r=a球面上所以z

e

Oereza例2.4.4内、外半径分别为

内=a和

外=b的圆筒形磁介质中，沿轴向有电流密度为J=ezJ0的传导电流。设磁介质的磁导率为

，求磁化电流分布。bazJ

解：利用安培环路定理得2.4.3导电媒质的传导特性

欧姆定律在导电媒质中，电场强度E与电流密度J的关系为

焦尔定律

在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功。设：电荷量

V，运动速度v，则电场力在时间

t内所做的功为电场做功的功率为功率密度（单位体积中的损耗功率）为体积为V的导电媒质内的损耗功率为焦尔定律的微分形式

欧姆定律

2.5.1法拉第电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律穿过一个回路的磁通发生变化时，在这个回路中将有感应电动势出现，并在回路中产生电流。

电磁场与电磁波第二章__电磁场的基本规律

自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相反的问题，即磁场能否产生电流。1831年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著名的法拉第电磁感应定律。

2.5电磁感应定律和位移电流

自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相反的问题，即磁场能否产生电流。

1831年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著名的法拉弟电磁感应定律。法拉弟电磁感应定律的表述当通过导体回路所围面积的磁通量

发生变化时，回路中产生的感应电动势

in的大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即2.5.1法拉第电磁感应定律式中负号表示感应电动势总是要阻止磁通量的变化。已设感应电动势正方向和磁通量正方向之间存在右手螺旋关系。设任意导体回路C围成的曲面为S，其单位法向矢量为n，回路附近的磁感应强度为B，则穿过回路的磁通为

法拉第电磁感应定律的积分与微分形式电流由电荷定向运动形成，电荷定向运动是电场力作用的结果，即空间中存在感应电场Ein。

当一个单位正电荷在电场的作用下绕回路C一周时，电场力所做的功与电动势之间的关系为＝电源对电荷做的功＝电源电动势＝感应电动势E

法拉第电磁感应定律的积分形式等式右端表示穿过S的磁通量随时间的变化率，有两种情况:(1)当回路静止时：磁通量的变化由磁场随时间变化引起，有

法拉弟电磁感应定律的微分形式库仑电场，在任意回路上的线积分为零等式右端两项分别对应磁场变化和导体运动的贡献。当磁场不随时间变化时，有

导体在磁场中运动时，其内部的电荷随之运动，电荷受到的力为

感应电场是由于电荷在磁场中运动而形成的洛仑兹力

磁场变化项导体运动项(2)当导体回路C以速度v运动时（后面有证明）对法拉第电磁感应定律的讨论

Ein是磁场随时间变化而激发的(E=Ec+Ein)

时变电场(含感应电场)是有旋场，磁场随时间变化处会激发旋涡状的电场

变化的磁场会产生电场对任意回路（不一定有导体存在）成立磁场不随时间变化时，有，与静电场的形式相同(此时不存在感应电场)，可见静电场是时变场的特殊情况法拉第电磁感应定律变化的磁场产生电场（感应电场）法拉第电磁感应定律的积分形式法拉第电磁感应定律的微分形式参见P91回路静止法拉第电磁感应定律的微分形式磁场变化项导体运动项回路与磁场变化C1C2S2S1BdS3dl

当回路和磁场都变化时，电磁感应定律的证明假设环路C,在磁场B中由t的C1移动到的C2,于是利用Taylor公式展开于是C1C2S2S1BdS3dl当环路由C1移动到C2后,形成的体积由面积S1,S2和S3包围,因此于是可得于是可得由于最终可得

（1），矩形回路静止；xbaoyx均匀磁场中的矩形环L

（3）

且矩形回路上的可滑动导体L以匀速运动。

解(1)均匀磁场

随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故例2.5.1

长为a、宽为b的矩形环中有均匀磁场

垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。

（2）矩形回路的宽边b=常数，但其长边因可滑动导体L以匀速运动而随时间增大；

(3)矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在磁场中运动产生的，故得

(2)均匀磁场

为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体L在磁场中运动产生的，故得或

（1）线圈静止时的感应电动势；

解:

（1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故

（2）线圈以角速度ω

绕x

轴旋转时的感应电动势。例2.5.2

在时变磁场中，放置有一个axb的矩形线圈初始时刻线圈平面的法向单位矢量与成α角，如图所示。试求：

xyzabB时变磁场中的矩形线圈

假定时，则在时刻t时，与y

轴的夹角，故

方法一：利用式计算

（2）线圈绕x轴旋转时，的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。

上式右端第二项与(1)相同，第一项xyzabB时变磁场中的矩形线圈12234

方法二：利用式计算。2.5.2位移电流

静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即

这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即变化的磁场可以激发电场。有两个新的问题：静态情况下的磁场基本方程在非静态时是否也变化变化的电场是否能产生磁场即

或

矛盾的提出非静态情况下，电荷分布随时间变化，有

另一方面，假定非静态情况下磁场的基本方程不变，有两边取散度

安培环路定理的修正位移电流的引入修正的思路：在方程的右端加入一个附加项Jd

，即有步骤：

令：

显然

矛盾解决

时变场的安培环路定理

位移电流，意义？

令

Jd

满足

加入的

Jd

应该具有合理的物理意义

对安培环路定理和位移电流的讨论

时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导电流外，还有位移电流位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变化时，会形成磁场的旋涡源，从而激发起旋涡状的磁场

变化的电场会激发磁场，这就是位移电流的物理意义，同时也是所期望的位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法引入，它深刻提示了电场与磁场之间的联系，由此建立了麦克斯韦方程组，奠定了电磁理论的基础。近代无线电技术的应用，证实了麦克斯韦方程组的正确性，也证实了位移电流的假想安培环路定理的积分形式位移电流密度电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。

例2.5.3

海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。

解：设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为其振幅值为传导电流的振幅值为故式中的k为常数。试求：位移电流密度和电场强度。

例2.5.4

自由空间的磁场强度为

解自由空间的传导电流密度为0，故由式,得

例2.5.5

铜的电导率、相对介电常数。设铜中的传导电流密度为。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。而传导电流密度的振幅值为通常所说的无线电频率是指f=300MHz以下的频率范围，即使扩展到极高频段（f=30～300GHz），从上面的关系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。

解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为2.6麦克斯韦方程组

微分形式麦克斯韦方程组由四个微分方程方程组成

两个旋度方程：法拉弟电磁感应定律和安培环路定理

两个散度方程：高斯散度定理和磁场散度定理（可以证明时变场时这两个方程与静态场时形式一样）2.6.1麦克斯韦方程组的微分形式①②③④2.6.2麦克斯韦方程组的积分形式①②③④2.6.3介质的本构关系只含两个场量的麦克斯韦方程麦克斯韦方程组的涵义

时变电场的激发源除电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场的激发源除传导电流以外，还有变化的电场

电场和磁场互为激发源，相互激发电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体——电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个分量

在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电场和磁场仍可以相互激发，形成电磁振荡并传播，这就是电磁波麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，且已被事实证明

在无源空间中，两个旋度方程右边相差一个负号，正是这个负号使电场和磁场构成了相互激励又相互约束的关系

解：(1)导线中的传导电流为忽略边缘效应时，间距为d

的两平行板之间的电场为E=u/d

，则

例

2.6.1

正弦交流电压源连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。(1)证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r

处的磁场强度。CPricu平行板电容器与交流电压源相接与闭合线铰链的只有导线中的传导电流，故得

(2)以r

为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故式中的S0为极板的面积，而为平行板电容器的电容。则极板间的位移电流为

例

2.6.2

在无源的电介质中，若已知电场强度矢量，式中的E0为振幅、ω为角频率、k为相位常数。试确定k与ω

之间所满足的关系，并求出与相应的其他场矢量。

解：是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦方程组可以确定k与ω

之间所满足的关系，以及与相应的其他场矢量。对时间

t积分，得由以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的H和D代入式2.7电磁场的边界条件

麦克斯韦方程组可以应用于任何连续的介质内部在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变需要知道并适当表示界面两侧电磁场的突变关系。通常把这种突变关系称为电磁场的边值关系或边界条件

推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组的积分形式界面上的场矢量可以分解为法向分量和切向分量两部份，所以可以分成法向分量和切向分量边界条件2.7.1边界条件的一般形式

电场强度E和磁场强度H的边界条件在分界面上作一矩形回路，将用于此回路，且考虑h0，得

沿分界面切向

l方向电场强度切向分量连续同理

电场位移矢量D和磁感应强度B的边界条件在分界面上取一个扁盒，将应用于此盒，并考虑h0，得nhhen

同理

磁感应强度法向分量连续{单位切向点乘矢量为切向分量；单位法向叉乘矢量为切向分量}

理想导体表面上的边界条件2.7.2两种特殊情况下的边界条件

理想导体是电导率为无穷大的导体，其中电场强度和磁感应强度均为零。设区域2为理想导体，区域1为介质，有D2n，E2t，B2n，H2t为零，得电场垂直于理想导体表面磁场平行于理想导体表面

理想介质表面上的边界条件理相介质表面上不存在面电荷

s和面电流Js，即有总结：边界条件实质：基本方程在介质分界面的一种表现形式边界条件作用：定解(场量既满足基本方程，又满足边界条件)⑴分界面无自由电荷(ρs=0)，D1n=D2n,即分界面有自由电荷()，D1n-D2n

=

ρs,即⑵，即⑶，即⑷分界面无电流()，，即分界面有电流()，，即可以证明,如果时，边界条件⑴、⑵已被包括在⑶、⑷中电磁场与电磁波_2.7.1边界条件的一般形式

2.7.2两种特殊情况下的边界条件

良导体：电导率都在107S/m量级→理想导体(σ为无限大)电介质：电导率都在10-14S/m量级→理想介质(σ=0)一、理想导体（完纯导体）表面上的边界条件理想导体内：由

如果存在，必为有限值，而理想导体的σ=∞，故；电磁场与电磁波第二章__电磁场的基本规律

第141页导体表面：由，即没有平行于理想导体表面的电场分量E1t=0由，即没有垂直于理想导体表面的磁场分量

H1n=0如果理想导体表面有场，一定是平行于表面，垂直于表面如果理想导体表面有电场，也一定有自由电荷{由，∵D2n=0，∴}理想导体表面有磁场就一定有表面电流：{由，，∴}

电磁场与电磁波_2.7.2两种特殊情况下的边界条件

理想导体表面常用的边界条件：Et=0

或{理想导体表面Et=0，由→Hn=0；由，而Hn=0，可知即

}理想导体表面总是有磁场，尽管电场可能不存在(没有电场即ρs=0)由于理想导体内不存在电场，所以电磁波投射到它的表面上总是发生全反射，反射波的功率等于入射波的功率，没有功率进入理想导体。

电磁场与电磁波_2.7.2两种特殊情况下的边界条件

理想导体表面上的边界条件总结→理想