高考数学理北师大版一轮复习训练7-3合情推理与演绎推理

核心考点·精准研析考点一类比推理

1.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,与半球(如图一)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥(如图二),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆QUOTE+QUOTE=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图三),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于 ()A.4πB.8πC.16πD.32π2.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d=QUOTE,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为()A.3 B.5 C.QUOTE D.3QUOTE【解析】1.选C.构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥,则当截面与底面距离为h(0≤h≤3)时,小圆锥的底面半径为r,则QUOTE=QUOTE,所以r=QUOTEh,故截面面积为4πQUOTE,把y=h代入椭圆QUOTE+QUOTE=1可得x=±QUOTE,所以橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4πQUOTE,由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积V=2(V圆柱V圆锥)=2QUOTE=16π.2.选B.类比平面内点到直线的距离公式,可得空间中点(x0,y0,z0)到直线Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=QUOTE,则所求距离d=QUOTE=5.类比推理的分类考点二演绎推理

【典例】已知数列{an}中,a1=1,an+1=QUOTE(n∈N+). 导学号(1)求a2,a3,a4的值,猜想数列{an}的通项公式.(2)运用(1)中的猜想,证明数列QUOTE是等差数列,并注明大前提、小前提和结论.【解题导思】序号题目拆解(1)猜想数列的通项公式根据a2,a3,a4的结构特征归纳猜想(2)证明数列是等差数列证明QUOTEQUOTE=常数【解析】(1)因为数列{an}中,a1=1,an+1=QUOTE,a2=QUOTE,a3=QUOTE,a4=QUOTE,猜想:an=QUOTE.(2)因为通项公式为an的数列{an},若an+1an=d,d是常数,则{an}是等差数列,…大前提又因为QUOTEQUOTE=QUOTE,为常数;…小前提所以数列QUOTE是等差数列.…结论演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.设数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2Sn(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值并写出其通项公式.(2)用三段论证明数列{an}是等比数列.【解析】(1)由an=2Sn,当n=1时,a1=2S1=2a1,解得a1=1,当n=2时,a2=2S2=2a1a2,解得a2=QUOTE,当n=3时,a3=2S3=2a1a2a3,解得a3=QUOTE,当n=4时,a4=2S4=2a1a2a3a4,解得a4=QUOTE,…由此归纳推理得an=QUOTE(n∈N*).(2)因为通项公式为an的数列{an},若QUOTE=p,p是非零常数,则{an}是等比数列;因为通项公式an=QUOTE,又QUOTE=QUOTE;所以通项公式an=QUOTE的数列{an}是等比数列.考点三归纳推理

命题精解读1.考什么:(1)考查数学定义、等式、不等式的证明.(2)考查逻辑推理的核心素养.2.怎么考:与数列、基本初等函数结合考查数学概念、数列相关的等式、不等式的证明.3.新趋势:与三角、统计等知识点的交汇问题.学霸好方法1.数字排列问题的解题方法:先从行的规律归纳开头与末尾的数与所在行的关系式,再从列的规律归纳数与所在列的关系式,最后归纳表中各个数与行列的关系式2.与式子有关的推理(1)与不等式有关的归纳推理:观察所给几个不等式两边式子的特点,注意纵向看、找出隐含规律.(2)与数列有关的归纳推理:通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出式子即可.3.图形问题的解法:与图形变化有关的归纳推理,合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.与数字有关的归纳推理【典例】(2019·宜昌模拟)大衍数列,源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,揭示了中国传统文化中的太极衍生原理(其衍生过程如图所示).已知大衍数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列第25项与第26项之和为 ()A.600 B.650 C.700 D.750【解析】选B.0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,72,84,98,112,128,144,162,180,200,220,242,264,288,312,338,故此数列第25项与第26项之和为312+338=650.与式子有关的归纳推理【典例】(2019·武汉模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,……,第n个三角形数为QUOTE=QUOTEn2+QUOTEn,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=QUOTEn2+QUOTEn正方形数N(n,4)=n2五边形数N(n,5)=QUOTEn2QUOTEn六边形数N(n,6)=2n2n可以推测N(n,k)=________________,由此计算N(5,12)=________________. 导学号

【解析】原已知式子可化为:N(n,3)=QUOTEn2+QUOTEn=QUOTEn2+QUOTEn;N(n,4)=n2=QUOTEn2+QUOTEn;N(n,5)=QUOTEn2QUOTEn=QUOTEn2+QUOTEn;N(n,6)=2n2n=QUOTEn2+QUOTEn;可推测N(n,k)=QUOTEn2+QUOTEn,故N(5,12)=5×524×5=105.答案:QUOTEn2+QUOTEn105与图形有关的归纳推理【典例】(2020·衡水模拟)如图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来,……,如此类推.设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为an,则QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE= ()导学号A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.a3=12,a4=20,a5=30,猜想an=n(n+1)(n≥3,n∈N*),所以QUOTE=QUOTE=QUOTEQUOTE,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE.1.(2020·山东省实验中学模拟)观察下列式子,ln2>QUOTE,ln3>QUOTE+QUOTE,ln4>QUOTE+QUOTE+QUOTE,……,根据上述规律,第n个不等式应该为________________.

【解析】根据题意,对于第一个不等式,ln2>QUOTE,则有ln(1+1)>QUOTE,对于第二个不等式,ln3>QUOTE+QUOTE,则有ln(2+1)>QUOTE+QUOTE,对于第三个不等式,ln4>QUOTE+QUOTE+QUOTE,则有ln(3+1)>QUOTE+QUOTE+QUOTE,以此类推:第n个不等式为:ln(n+1)>QUOTE+QUOTE+…+QUOTE.答案:ln(n+1)>QUOTE+QUOTE+…+QUOTE2.(2020·西北工业大学附中模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以下排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________________.

12345678910……【解析】第n1行最后一个数是1+2+3+…+(n1)=QUOTE,第n(n≥3)行从左至右的第3个数是QUOTE+3=QUOTE.答案:QUOTE如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,1)处标2,点(0,1)处标3,点(1,1)处标4,点(1,0)处标5,点(1,1)处标6,点(0,1)处标7,…,以此类推