第1章绪论、第2章信号分析基础-2013

信号分析与处理技术教材：机械工程测试·信息·信号分析（卢文祥）基础：机械工程测试技术基础（熊诗波）机械与能源分院华顺明Tel-mail:nithuasm@126.com

什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？系统的概念§1.1测试·信息·信号第一章绪论信号的概念

消息

(message):信息

(information):信号

(signal):人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。通常把消息中有意义的内容称为信息。本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。信号是信息的载体，通过信号传递信息。一、信号的概念信号实例

信号我们并不陌生。如刚才铃声—声信号，表示该上课了；

十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通；

电视机天线接受的电视信息—电信号；广告牌上的文字、图象信号等等。

信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。

如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。系统的基本作用是对信号进行传输和处理。系统输入信号激励输出信号响应二、系统的概念？信号处理对信号进行某种加工或变换。目的：消除信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。信号传输通信的目的是为了实现消息的传输。原始的光通信系统——古代利用烽火传送边疆警报；声音信号的传输——击鼓鸣金。利用电信号传送消息。1837年，莫尔斯(F.B.Morse)发明电报；1876年，贝尔(A.G.Bell)发明电话。利用电磁波传送无线电信号。1901年，马可尼(G.Marconi)成功地实现了横渡大西洋的无线电通信；全球定位系统GPS(GlobalPositioningSystem)；个人通信具有美好的发展前景。信号的描述§2.1信号的描述和分类几种典型确定性信号信号的分类第二章信号分析的基础一、信号的描述信号：是信息的一种物理体现，它一般是随时间位信号：按物理属性分：电信号和非电信号，它们可电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法：本课程讨论电信号---简称“信号”。（2）信号的图形表示--波形（1）表示为时间的函数“信号”与“函数”两词常相互通用。置变化的物理量。以相互转换。二、信号的分类按实际用途划分：电视信号、雷达信号、控制信号、通信信号……

信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。

按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号；连续信号和离散信号；周期信号和非周其信号；能量信号和功率信号；因果信号与反因果信号；实信号与复信号1.确定信号和随机信号可用确定的时间函数表示的信号：f(t)随机信号：确定性信号：伪随机信号：

貌似随机而遵循严格规律产生的信号：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。但实际传输的信号是不确定的，常受到各种干扰及噪声的影响。取值具有不确定性的信号：伪随机码。2.连续信号和离散信号连续时间信号：在一定的连续的时间范围内，对于值域连续值域不连续任意的时间值，都有对应的函数值

“连续”指函数的定义域—时间连续，但可含间断点简称连续信号。，至于值域可连续也可不连续。离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号。定义域—时间是离散的离散点间隔离散时刻tk(k=0,±1,±2,…)有定义

Tk=tk+1-tk可以相等也可不等；其余时间无定义。通常取等间隔T，表示为f(kT)，简写为f(k)；等间隔的离散信号称为序列，其中k称为序号。上述离散信号可表达为：表达式写为：或写为：f(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}↑k=0对应某序号k的序列值称为第k个样点的“样值”。

模拟信号、抽样信号、数字信号数字信号：模拟信号：抽样信号：量化抽样连续信号幅值时间均连续时间幅值离散连续时间幅值均离散离散信号模拟信号数字信号3.周期信号和非周期信号

定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号f(t)满足

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…离散周期信号f(k)满足

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。连续周期信号举例例

判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t

（2）f2(t)=cos2t+sinπt分析

两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。解答解答（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为

ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信号，其角频率和周期分别为

ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。（2）

cos2t和sinπt的周期分别为T1=πs，T2=2s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。离散周期信号举例1例判断正弦序列f(k)=sin(βk)是否为周期信号，若是，确定其周期。解

f

(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…式中β称为数字角频率，单位：rad。由上式可见：

仅当2π/β为整数时，正弦序列才具有周期N=2π/β。当2π/β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N=M(2π/β)，M取使N为整数的最小整数。当2π/β为无理数时，正弦序列为非周期序列。离散周期信号举例2例

判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)

（2）f2(k)=sin(2k)解（1）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的数字角频率分别为β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4为有理数，故它们的周期分别为N1=8，N2=4，故f1(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。（2）sin(2k)的数字角频率为β1=2rad；由于2π/β1=π为无理数，故f2(k)=sin(2k)为非周期序列。举例由上面几例可看出：①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。例1例2例3连续周期信号示例离散周期信号示例1离散周期信号示例24．能量信号与功率信号

将信号f(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为|f(t)|2，在区间(–∞,∞)的能量和平均功率定义为（1）信号的能量E（2）信号的功率P

若信号f(t)的能量有界，即E<∞,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时P=0

若信号f(t)的功率有界，即P<∞,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时E=∞离散信号的功率和能量离散信号，也有能量信号、功率信号之分。若满足

的离散信号，称为能量信号。

若满足

的离散信号，称为功率信号。一般规律※

一般周期信号为功率信号。

时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号。5．一维信号和多维信号一维信号：多维信号：

还有其他分类，如：只由一个自变量描述的信号，如语音信号。由多个自变量描述的信号，如图像信号。实信号与复信号因果信号和反因果信号三．几种典型确定性信号本课程讨论确定性信号1.指数信号3.复指数信号4.抽样信号(SamplingSignal)先连续，后离散；先周期，后非周期。2.正弦信号指数信号重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。单边指数信号---衰减通常把称为指数信号的时间常数，记作

,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。l

指数衰减,l

直流(常数)Ol

指数增长K正弦信号振幅：K

周期：频率：f

角频率：初相：θ

衰减正弦信号：

复指数信号讨论①不能产生②用来描述各种信号③信号分析及运算简化ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt)抽样信号(SamplingSignal)性质:①②③④⑤⑥

两信号的相加和相乘信号的时间变化

平移反转尺度变换信号的微分和积分§2.2信号的基本运算一、信号的加法和乘法同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。离散序列相加、乘二、信号的时间变换1.信号的反转；2.信号的平移；3.信号的展缩（尺度变换）；.4.混合运算举例。1.信号反转将

f

(t)→f

(–t)

，

f

(k)→f

(–k)

，称为对信号f(·)

t→-t

没有实现此功能的实际器件，数字信号处理中可的反转或反折。

从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴反转180o。如

以实现此概念，例如堆栈中的“后进先出”。

2.信号的平移

将f

(t)→f

(t–t0)

，

f

(k)→f

(k

–k0)称为对信号f(·)的t→t–1右移t→t+1左移雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。平移或移位。若t0(或k0)>0，则将f(·)右移；否则左移。如：3.信号的展缩(尺度变换）将

f

(t)→f

(at)

，称为对信号f(t)的尺度变换。t→2t

压缩t→0.5t

扩展离散信号：由于f

(ak)仅在为ak

为整数时才有意义，进行尺度如：若a>1，则波形沿横坐标压缩；若0<a<1，则扩展。变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。4.混合运算举例例1例3平移与反转相结合平移、反转、尺度变换相结合例2平移与尺度变换相结合注意：混合运算时，三种运算的次序可任意。平移与反转相结合举例例

已知f(t)如图所示，画出f(2–t)。

解答

法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)

②再反转f

(t+2)→f

(–t+2)法二：①先反转f

(t)→f

(–t)②再右移f

(–t)→f

(–t+2)左移右移=f

[–(t–2)]平移与展缩相结合举例例

已知f(t)如图所示，画出f(3t+5)

解答

时移

尺度变换尺度变换时移平移、展缩、反折相结合举例例

已知f(t)如图所示，画出f(-2t-4)。

解答压缩，得f

(2t–4)反转，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)也可以先压缩、再平移、最后反转。压缩，得f

(2t)右移2，得f

(2t–4)反转，得f

(–2t–4)三．微分和积分冲激信号阶跃函数；

冲击函数；阶跃序列和单位样值序列。§1.3阶跃函数和冲激函数

函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。一、单位阶跃函数电路如图：持续下去。1.定义在t=0时刻，电路接入电源，波形图如上图：注意：在t=0处，发生跳变,未定义或1/2。单位阶跃函数1且无限2.延迟单位阶跃信号3.阶跃函数的性质（1）可以方便地表示某些信号

f(t)=ε(t)-ε(t-T)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间f(t)

t1T二．单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对幅度极大，矩形脉冲演变为冲击函数；

狄拉克（Dirac)定义；冲击函数与阶跃函数关系；

冲击函数的性质。作用时间极短一种物理量的理想化模型。1.矩形脉冲演变为冲击函数δ(t)含义：宽为τ,高为τ/1

,面积为1

变化：

面积1不变，脉冲宽度τ

脉冲幅度t

τ

←

单位冲击函数函数，在t=0点有一“冲激”，在t=0点以外各处，函数值为零。τ

0

→

τ/1注意：如果矩形面积=E，E冲激强度为E矩形脉冲如右图：

2.狄拉克(Dirac)定义函数值只在t=0时不为零；

积分面积为1；

t=0时，，为无界函数。

3.δ(t)与ε(t)的关系求导积分引入冲激函数之后，间断点的导数也存在f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求导三．

冲激函数的性质

取样性尺度变换复合函数形式的冲击函数1.取样性(筛选性)⑵对于平移情况：⑴如果f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有

取样性证明分t=0和t≠0两种情况讨论

1.当t≠0时，δ(t)=0，f(t)δ(t)=0，积分结果为0

2.当t=0时，δ(t)≠0，f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

，取样性质举例02.对

(t)的尺度变换证明

据此:(1)δ(2t)=0.5δ(t)当a=–1时

δ(–t)=δ(t)为偶函数举例(2)冲激信号尺度变换的证明从定义看：

p(t)面积为1，强度为1

p(at)面积为，强度为

冲激信号尺度变换举例例1例2举例已知f(t)，画出g(t)=f’(t)和g(2t)求导压缩3.复合函数形式的冲激函数

实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t)=0有n个互不相等的实根ti

(i=1，2，…，n)ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)ε[f(t)]图示说明例f(t)=t2–4

一般地，这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为的n个冲激函数构成的冲激函数序列。ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)冲激函数的性质总结（1）取样性

（2）奇偶性

（3）比例性

（4）微积分性质四.序列δ(k)和ε(k)这两个序列是普通序列------非奇异函数1.单位(样值)序列δ(k)取样性质：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)例定义1-1-22012.单位阶跃序列ε(k)定义ε(k)与δ(k)的关系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)

或ε(k)=δ(k)+δ(k–1)+…定义

系统的分类系统的数学模型系统的框图描述§1.4系统的描述连续系统与离散系统动态系统与即时系统

单输入单输出与多输入多输出系统线性系统与非线性系统时不变与时变系统因果系统与非因果系统稳定系统与不稳定系统常用分类方法：一、系统的分类系统的分类连续(时间)系统：系统的激励和响应均为连续信号；

离散(时间)系统：系统的激励和响应均为离散信号；

混合系统：连续系统与离散系统的组合；是连续信号，一个为离散信号。如A/D，D/A变换器，系统的激励和响应一个是⑴.连续系统与离散系统

二者的数学模型分别是？系统的分类

若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。

如：含有记忆元件(电容、电感等)的电路是动态系统

否则称：即时系统或无记忆系统（电阻串并联）。

⑵.动态系统与即时系统

二者的数学模型分别是？二、系统的数学模型

连续系统解析描述：微分方程离散系统解析描述：差分方程1.连续系统的解析描述

图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，列方程并整理得二阶常系数线性微分方程抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统机械减振系统其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为

能用相同方程描述的系统称为：物理系统不同：数学模型相同2.离散系统的解析描述例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为β元/月，求第k个月初存折上的款数。设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为βy(k-1),则

y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)

即：y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)=f(0)。

上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。三．系统的框图描述

连续系统的基本单元离散系统的基本单元

系统的模型（微分方程、差分方程）：微分差分运算包含表示单元符号并连接成系统加法乘法1.连续系统的基本单元延时器加法器积分器数乘器乘法器2.离散系统的基本单元加法器迟延单元数乘器由微分方程画框图例1例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，画框图。解：将方程写为y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)由微分方程画框图例2例2

请画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。解：

系统的特性

系统的分析方法§1.5系统的特性与分析方法一、系统的特性

连续系统与离散系统动态系统与即时系统

单输入单输出与多输入多输出系统线性系统与非线性系统时不变与时变系统因果系统与非因果系统稳定系统与不稳定系统常用分类方法：

系统的特性

线性性质时不变性因果性稳定性1.线性

y(t):系统的响应、f(t):系统的激励⑴线性性质：齐次性和可加性可加性：齐次性：f(·)→y(·)

y(·)=T[f(·)]f(·)→y(·)

af(·)→a

y(·)

f1(·)→y1(·)

f2(·)→y2(·)

f1(·)+f2(·)→y1(·)+y2(·)

af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)

综合，线性性质：2.时不变性时不变系统：系统参数不随时间变化线性系统时不变常系数微分方程时变变系数微分方程本书讨论：均为线性时不变系统。(LinearTime-Invariant)，简称LTI系统。LTI系统还具有微分特性和积分特性（2）微分特性：

（1）线性性质：齐次性和可加性(3)积分特性：若f(t)→yzs(t)

f’(t)→y’zs

(t)若f(t)→yzs(t)3.因果性

因果系统：即因果系统:激励是原因，响应是结果，响应是不输出不超前于输入。判断方法：指零状态响应不会出现在激励之前的系统。有t<t0

，yzs(t)=0t=t0时f(t)加入：

可能在激励施加之前出现的。4.稳定性

一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yzs(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。若|f(.)|<∞，其|yzs(.)|<∞，则系统稳定。判断方法：二.LTI系统分析概述

系统分析：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立系统的数学方程并求出解答。

系统的分析方法：输入输出法（外部法）状态变量法（内部法）外部法时域分析（经典法、零状态响应、冲击响应法）变换域分析连续系统—频域法和复频域法离散系统—频域法和z域法系统特性：系统函数（单位脉冲响应函数、频响、传函）求解的基本思路：把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。采用的数学工具：时域：频域：复频域：卷积积分（连续）与卷积和（离散）傅里叶变换（FT与DFT）拉普拉斯变换与Z变换（LT与ZT）第二章连续系统的时域分析1.LTI连续系统的时域分析：2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换时域分析法：函数的变量----t域分析法的基础

3.时域分析法主要内容：概述：求出响应与激励关系经典法零输入响应和零状态响应冲击响应与卷积积分建立线性微分方程并一、微分方程的经典解

any(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)高等数学中经典解法：完全解=齐次解+特解。

LTI连续系统：常系数的n阶线性常微分方程

齐次解：

满足齐次方程的通解，又叫齐次解

特解：

满足非齐次方程的解，叫特解

§2.1LTI连续系统的响应1.齐次解举例齐次方程：特征方程：特征根：后由初始条件定特征根λn个单实特征根齐次解r重实根1对共轭复根r重共轭复根齐次解的形式由特征根定:待定系数Ci在求得全解齐次解举例解：系统的特征方程为特征根对应的齐次解为2.特解特解的函数形式与激励函数形式有关如下表，将特解函数式→代入原方程，比较定出待定系数。激励f(t)响应y(t)的特解yp(t)举例常数常数特征根均不为0α≠特征根α=特征根α=r重特征根特征根≠±jβ有r重特征根为0特解举例如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。

例：给定微分方程式解:(1)由于f(t)=t2，故特解函数式为将此式代入方程得到

这里，P2，P1，P0，等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有联解得到所以，特解为(2)当f(t)=et时特解为yp(t)=Pet，这里，P是待定系数。代入方程后有：3.全解完全解=齐次解+特解注意：举例

齐次解的函数形式：仅与系统本身的特性有关特解中待定系数：特解带入非齐次方程，对比求；齐次解中待定系数：在全解求得后由初始条件定。与激励f(t)的函数形式无关又叫固有响应或自由响应特解的函数形式：又叫强迫响应由激励确定自由响应强迫响应例

描述某系统的微分方程为

y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解。解:

(1)

特征方程：λ2+5λ+6=0特解：

yp(t)=e–t其特征根：λ1=–2，λ2=–3齐次解：

yh(t)=C1e–2t+C2e–3t特解：yp(t)=Pe–t特解带入方程：Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t解得：P=1

全解=齐次解+特解例题全解：

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常数C1,C2由初始条件确定。

y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0（2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根之一相重

特解：

yp(t)=(P1t+P0)e–2t

特解代入方程：P1e-2t=e–2t

得：P1=1但P0未定特解：

yp(t)=(t+P0)e–2t

全解全解：y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t

=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t将初始条件代入：y(0)=(C1+P0)+C2=1y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得：C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解：

y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应

二．关于0-和0+状态的转换t=0+f(t)接入t=0t=0-y(j)(0-)反映的是历史状态与激励f(t)无关初始值或起始值y(j)(0+)冲击函数匹配法（0-、f(t)）共同决定0+t例1可能变化f(t)=右侧是否包含δ(t)、δ,(t)---例20-和0+初始值举例1例1：描述某系统的微分方程为

y’(t)+3y(t)=3f’(t)

已知y(0-)=2f(t)=δ(t)

，求y(0+)。

解：将输入f(t)=δ(t)代入上述微分方程得y’(t)+3y(t)=3δ'(t)（1）冲击函数匹配法原理：

t=0时刻，微分方程左右两端δ(t)及其各阶导数平衡相等0-和0+初始值举例1y’(t)+3y(t)=3δ'(t)冲击函数匹配法原理：

t=0时刻，微分方程左右两端δ(t)及其各阶导数平衡相等分析：右端有δ'(t)y(t)含3δ(t),右端δ(t)

不存在y’(t)必含3δ'(t)y’(t)必含-9δ(t)y(t)含-9ε(t)y(t)在t=0时刻：有y(0+)-y(0-)=9跳变y(0+)-y(0-)=9故y(0+)=9+2=11三.零输入响应和零状态响应

y(t)=yzi(t)+yzs(t)LTI系统响应第1种：自由响应+强迫响应第2种：零输入响应+零状态响应Yzi（t):没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应；yzs（t):不考虑起始储能的作用（起始状态=0），只由系统外加输入信号所产生的响应。全响应

y(t)=yzi(t)+yzs(t)的求取方法：借助经典方法卷积积分法（后面学）1.概述

y(t)=yh(t)+yp(t)

零输入响应和零状态响应

y(t)=yzi(t)+yzs(t)（1）.yzi(t)零输入响应微分方程：齐次y(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=0Czij-----待定系数（2）.yzs(t)零状态响应微分方程：非齐次2.经典分析及求解y(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)

零输入响应和零状态响应其中：Czsj------待定系数yp(t)----特解（3）.y(t)全响应自由响应强迫响应零输入响应零状态响应3.

yzi(0+)、

yzs(0+)、

及各阶导数的确定由yzi(j)(0+)由yzs(j)(0+)由y(j)(0+)响应及各阶导数初始值(j=0,1,2,-------n-1)

y(t)=yzi(t)+yzs(t)

y（j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t)

y（j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)

y（j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)⑴.初始条件yzs(0+)例1响应：零状态响应由0-、f(t)共同决定Czsj--由yzs(j)(0+)定响应：且

t=0_时:激励没有接入yzs

(j)(0-)=0例1零状态（前提）yzs(j)(0+)=?t>0后：⑵.初始条件yzi(0+)若有，利用δ函数匹配法t>0后：有输入右端有没有δ函数其中：Czij要由初始条件yzi(j)(0+)定

yzi（j)(0+)=yzi(j)(0-)=y

(j)(0-)类似电路中的换路定则yzs(0+)由0-、f(t)共同决定零输入响应f(t)=0t=0-yzi(j)(0-)存在零输入响应和零状态响应举例例1：描述某系统的微分方程为

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)

已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)

求该系统的零输入响应和零状态响应。解yzi(t)形式同齐次方程：

yzi

”(t)+3yzi

’(t)+2yzi

(t)=0齐次方程的特征根为：–1，–2

yzi

,(0+)=yzi,(0-)=y,(0-)=0；yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2零输入响应：yzi

(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t

Czi1Czi2由yzi,(0+)、yzi(0+)决定解得系数：Czi1=4,Czi2=–2（1）零输入响应yzi(t)yzi(t)=4e–t–2e–2t,t>0（2）零状态响应yzs(t)

满足下列方程yzs(t)解的形式：同非齐次方程，由两部分组成通解形式同齐次方程的解特解（满足非齐次方程）yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+C

(因为对t>0后，yzs”(t)+3yzs

’(t)+2yzs(t)=6，为常数，特解形式亦为常数)

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6ε(t)

yzs(0-)=yzs’(0-)=0(无初始储能)Czs1Czs2:由yzs(0+)

及yzs,(0+)定yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=6yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+C

yzs(t)中有3个系数待定：Czs1,Czs2,CC应满足：带入方程求得：

C=3

yzs(0+)=？yzs

’(0+)=？由δ函数匹配法定

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6ε(t)右端有δ(t)微分方程积分得：yzs”(t)含有δ(t)yzs’(t)跃变yzs(t)在t=0连续yzs’(0+)≠yzs’(0-)yzs(0+)=yzs(0-)=0[yzs’(0+)-yzs’(0-)]+3[yzs(0+)-yzs(0-)]+2

因此，yzs’(0+)=2+yzs’(0-)=2分析+直接积分零状态响应yzs(t)

代入yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3

yzs’(0+)=2+yzs’(0-)=2初始条件：yzs(0+)=yzs(0-)=0求得yzs(t)=–4e-t+e-2t+3（t≥0）

有Czs1

+Czs2

+3=0

-Czs1

-2Czs2

+3=2

§2.2冲激响应和阶跃响应概述：1.学习了2种求LTI系统响应的方法自由响应+强迫响应零输入响应+零状态响应

下面一节的内容，针对零状态响应的求取，找寻一种好方法。2.把一激励信号（函数），分解为冲击函数或阶

冲击响应

阶跃响应跃函数之和(积分），只要求出了系统对冲击函数或阶跃函数的响应，利用LTI系统的特性，在系统的输出端，叠加得到系统总的零状态响应，那么系统对冲击或阶跃信号的零状态响应，就是下面要学习的内容。一、冲激响应1．定义

由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。

h(t)=T[{0},δ(t)]2．系统冲激响应的求解冲激响应的数学模型对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示

令f(t)=

(t)

则y(t)=h(t) 响应及其各阶导数(最高阶为n次)激励及其各阶导数(最高阶为m次)

any(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)

h(t)解的形式例:当特征根均为单根时

由于

(t)及其导数在t≥0+

时都为零，因而方程式②与n,

m相对大小有关

①与特征根有关右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。

ε(t)限定作用域t≥0解：求特征根冲激响应例1求系统的冲激响应带ε(t)求待定系数方法：奇异函数项平衡求待定系数法用奇异函数项平衡法求待定系数根据系数平衡，得不用求h(0+)、h,(0+)δ函数乘积性二．阶跃响应g(t)=T[{0},ε(t)]线性时不变系统满足微、积分特性§2.3卷积积分信号的时域分解与卷积积分卷积的图解法一、信号的时域分解与卷积积分1．信号的时域分解预备知识问

f1(t)=?p(t)直观看出任意信号分解考虑：任意f(t)用许多窄脉冲表示出来如图：第k个窄脉冲出现的时刻：k△τ“0”号:脉冲高度f(0),宽度为△τ，用p(t)表示为：f(0)△τ

p(t)“1”号:

脉冲高度f(△τ),宽度为△τ，用p(t-△τ

)表示为：

f(△τ

)△τ

p(t-

△τ

)信号f(t)分解为冲击函数叠加2.任意信号作用下的零状态响应yzs

(t)f(t)根据h(t)的定义：δ(t)

h(t)

由时不变性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齐次性：f(τ)h(t-τ)由叠加性：‖f(t)‖yzs(t)卷积积分3.卷积积分的定义

已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(t)为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为

例变量，t为参变量。结果仍为t的函数。和f2(t)，则定义积分f(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：

t换为τ→得f1(τ)、f2(τ)（2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)平移t→f2(t-τ)（3）两信号重叠部分相乘：

f1(τ)f2(t-τ)（4）相乘后图形积分：

τ从–∞到∞对乘积项积分。注意：t为参变量例图解法计算卷积举例例1

f(t)、h(t)如图所示，求yzs(t)=h(t)*f(t)解h(t)函数：换元为h(τ)

f(t)函数：换元为f(τ)、反折h(τ)τf(-τ)τf(t)h(t)tt122并平移t22t

f(t-τ)h(τ)图解法计算卷积举例(2)0≤t≤1⑴t≤0

f(t-τ)：

yzs(t)=0

f(t-τ)2th(τ)(3)1≤t≤221h(τ)t1h(τ)tτ<t≤0,h(τ)=0图解法计算卷积举例(4)2≤t≤3(5)3≤t≤+∞h(τ)t323tt-1h(τ)2例2f1(t)、f2(t)如图所示，求f(t)=f1(t)*f2(t)f1(t)t-222解f1(t)函数：换元为f1(τ)f2(t)函数：换元为f2(τ)、反折、移位f2(t)t2¾f2(-τ)τ-2¾τf1(τ)2-22tf2(t-τ)卷积计算τf1(τ)2-22（1）-∞<t<-2

没有重叠，f(t)=0（2）-2<t<0tf2(t-τ)f1(τ)f2(t-τ)-2tτ（3）0<t<2f1(τ)f2(t-τ)tt-2τ卷积计算（4）2<t<4τf1(τ)f2(t-τ)tt-22（5）4<t

没有重叠，f(t)=0f2(t-τ)f1(τ)4τ卷积计算例3

f1(t)=3e-2tε(t)，f2(t)=2ε(t)求

f(t)=f1(t)*f2(t)3e-2τε(τ)2ε(t-τ)t解：分析：（1）t<0:f(t)=f1(t)*f2(t)=0（3）ε(t-τ):t-τ>0即τ<t（2）ε(τ):τ>0（4）积分限：0<τ<t求某一时刻卷积值图解法一般比较繁琐，确定积分的上下限是关键。但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）换元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）积分，得f(2)=0（面积为0）§2.4卷积积分的性质卷积代数运算与冲击函数或阶跃函数的卷积微分积分性质相关函数

卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。一、卷积代数运算1．交换律证明卷积结果与交换两函数的次序无关一般选比较简单函数进行反转和平移证明：证明2．分配律系统并联，框图表示：

结论：并联系统冲激响应等于子系统冲激响应之和3．结合律证明系统级联，框图表示：

结论：串联系统冲激响应等于子系统冲激响应的卷积

二、与冲激函数的卷积1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)证：f(t)δ(t)f(t)=f(t)*δ(t)*=与冲激函数的卷积—推广证：2.f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)与δ（t-t0)卷积相当于函数延迟t0f(t)f(t)=f(t)*δ(t-t0)δ(t-t0)*=推广：

f(t-t1)*δ