第3章 立体的投影

3·1平面体的投影棱柱斜棱柱棱台棱锥圆锥球圆柱圆台圆台第3章立体投影3.1.1.棱柱体a'(c')d(f')b'e'c"(f")b"(e")a"(d")cbadefa'(c')b'e'd(f')cfebdaa"(d")c"(f")b"(e")侧面顶点底面侧棱底面1棱柱体的投影a'b'c'a'1b'1c'1a(a1)b(b1)c(c1)a"b"(c")a"1b"1

(c"1)上底面侧面侧棱下底面

(c"1)a"b"a"1b"1(c")b(b1)c(c1)a(a1)a'b'c'a'1c'1b'1

2棱柱表面上取点a

a(a

)(b

)bb

4

3棱柱表面上取线3.1.2棱锥体s"a"(c")b"s'a'b'c'bacs锥顶底面aa'bsca"b'c's'b"s"(c")侧棱侧面1棱锥体的投影s(c

)s

a

ac

b

b

cs

ba

1

11

r

r2

2

23(3

)3

2棱锥表面取点2棱台表面取点常见曲面的形成球心轴母线圆锥面素线底面圆柱面圆柱圆锥球母线母线底面轴轴素线3.2曲面体的投影3.2.1圆柱体圆柱体的形成圆柱投影的画法圆柱的投影分析圆柱体上点的投影5.圆柱体上线段的投影6.圆柱投影可见性的判别7.圆柱体的应用实例1.圆柱体的形成2.圆柱体投影的画法3.圆柱体的投影分析b'd'a'c'g"e"f"h"GEADHBFCa(b)c(d)e(f)g(h)f'(h')e'(g')b'd'a'c'h"f"g"e"b"(d")a"(c")4、圆柱投影可见性的判别5、圆柱表面上取点()()A(D)CB6.圆柱面上线段的投影a'b'2'c'1'a1c2(b)2''b''c''1''a''（1）广东珠海体育馆7.圆柱面的应用实例（2）广东肇庆星湖大酒店（3）圆柱面组成的屋面3.2.2圆锥体圆锥体的形成圆锥投影的画法圆锥的投影分析圆锥体上点的投影圆锥体上线段的投影圆锥体可见性的判别6.圆锥体的应用实例1.圆锥体的形成2.圆锥体投影的画法3.圆锥体的投影分析sacbdb'(d')a'c's's"a"(c")d"b"s'a'b'(d')c'ascbds"b"d"(c")a"SBDCA4、圆锥体可见性的判别5.圆锥体上点的投影

求圆锥面上点的方法—素线法(2)求圆锥面上点的方法—纬圆法素线法纬圆法

(1)求圆锥体上点的方法—素线法Bba"b'b"abaAa'(2)求圆锥体上点的方法—纬圆法aAaa"a'6.圆锥体上线段的投影a'e"cae'd"b'd'c'c"edb（1）水塔锥面7.圆锥面的应用实例（2）深圳亚洲大酒店旋转餐厅剖面图（3）圆锥面组成的屋面3.2.3圆球体圆球体的形成圆球体投影的画法圆球的投影分析圆球体上点的投影圆球体上线段的投影圆球可见性的判别7.圆球体的应用实例1.圆球体的形成2.圆球体投影的画法3.圆球体的投影分析4、圆球可见性的判别5.圆球体上点的投影—纬圆法Mm'mm"6.圆球体上线段的投影ca'c'2'b'a''1''c''2''(b'')a2b11'太空大厦球面7.圆球体的应用实例东莞科学馆球面沈阳夏宫球面球冠网架球面圆锥体组成的屋面两球面组成的屋面球冠和柱面组成的屋面3.2.4圆环体

圆环面的形成圆环面投影的画法圆环面的投影分析圆环面上点的投影圆环投影可见性的判别圆环面的应用实例1.圆环体的形成2.圆环体投影的画法3.圆环体的投影分析4、圆环投影可见性的判别由前向后看，此部分可见由上向下看，此部分可见5.圆环体上点的投影m1'2m'（n'）12'（1）双拱桥环面6.圆环体的应用实例（2）某候车站台环面（3）环面组成的屋面环面组成的屋面3.2.5平螺旋面1.平螺旋面的形成2.平螺旋面的投影图3.平螺旋面的画法4.平螺旋面的应用实例1．平螺旋面的形成P2.平螺旋面的投影图3.平螺旋面的画法4.平螺旋面的应用实例(1)螺旋楼梯扶手的画法(2)螺旋楼梯的画法(3)平螺旋面的应用实例(1)螺旋楼梯扶手的画法(2)螺旋楼梯的画法(2)螺旋楼梯的画法（3）.平螺旋面的应用实例3.3平面与立体相交立体的截交线截平面截面截交面截平面截面截交面平面体截交线的特点和性质一般为封闭的平面曲线是截平面与立体表面的共有线3.3.1平面与平面立体相交1.平面与棱柱相交2.平面与棱锥相交a'b'(d')

c'c"d"b"a"cdabACBDa'b'(e')c'(d')h'(f')g'g"h"f"c"d"b"e"a"aghfbecdABEDCFGH1'2'121"(2")3.3.2平面与曲面体相交曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。由旋转面或旋转面和平面围成的立体称为旋转体。旋转面截交线是指截平面截切旋转体时表面所产生的交线。1.平面与圆柱相交求圆柱截交线上点的方法

表面取点法

在圆柱表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点；当圆柱的轴线处于特殊位置时，可利用圆柱的积聚性投影直接求得截交线上点的投影。[例题1]求圆柱截交线11'1"5"4"8'8"832544'5'2'3'2"3"解题步骤（1）分析:截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；（2）求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；（3）求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；（4）光滑且顺次地连接各点，完成截交线的投影，并且判别可见性；（5）整理轮廓线。766'7'6"7"1845[例题2]求圆柱截交线[例题3]求圆柱截交线2.平面与圆锥相交求圆锥截交线上点的方法

求圆锥截交线上点的方法为：

(1)素线法在圆锥表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点；

(2)纬圆法在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点.[例题4]求截顶圆锥的投影cdef43bb'(4')3'(f')e'(d')c'a'd''1''2''a''c''(b'')a21(e'')(f'')(4'')(3'')(2')1'解题步骤（1）分析截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的正面投影为直线，水平投影和侧面投影均为椭圆；（4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线的投影，并且判别可见性；（5）整理轮廓线。（3）求出一般点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；（2）求出截交线上的特殊点A、B、C、D、E、F

；3.平面与圆球相交求圆球截交线上点的方法

纬圆法在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点.

[例题5]切割平面为水平面时,圆球的截交线解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；3．求出若干个一般点A、B、C、D；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。1"2"123"4"34565"6"787"8"a"b"c"d"bacd2'1'3'4'5'6'7'8'a'bc'd'[例题6]求圆球的截交线[例题7]求圆球的截交线aba"(b")c"b'a'(c')c[例题8]求带凹槽半球的水平投影和侧面投影3.4立体与立体相交（贯）平面与平面立体相贯平面与曲面立体相贯平面与平面立体相贯1．相贯线的性质及求相贯线的方法

1．相贯线的性质相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点;

2．相贯线的形状两平面立体的相贯线由折线组成。折线的每一段都是甲形体的一个侧面与乙形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形体的侧棱与另一形体的侧面的交点。

3．求相贯线的方法一种是求各侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于甲形体同一侧面又位于乙形体同一侧面上的两点，依次连接起来。另一种是求一形体各侧面与另一形体各侧面的交线。

4．判别相贯线可见性的原则只有位于两形体都可见的侧面上的交线，是可见的。3.4.1利用积聚性求相贯线[例题1]求气窗与坡屋面的交线c'a'b'd'e'a"(e")b"(d")c"acbdeCBDAE[例题2]两平面立体相贯，完成相贯线的投影解题步骤1．分析相贯线为一组闭合折线，相贯线的正面投影未知，水平投影已知；相贯线的投影前后、左右对称。2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等；3．顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4．整理轮廓线。2'1'1233'3.4.2平面体与曲面体相贯

相贯线的形状平面立体与曲面立体相交时，相贯线是由若干段平面曲线或平面曲线和直线所组成。各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面切割曲面体所得的截交线。每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的侧棱与曲面体表面的交点；求相贯线的方法求平面立体与曲面立体的相贯线，就是求平面与曲面体的截交线和直线与曲面回转体表面的交点。作图时，先求出这些转折点，再根据求曲面体上截交线的方法，求出每段曲线或直线。。[例题3]求四棱柱与圆柱的相贯线ADCBFEHGe'(f')h'(g')a'(b')d'(c')b(c)f(g)a(d)e(h)b'(f')c'(g')a'(e')d'(h')(a)(b)[例题4]求四棱柱与圆柱的相贯线cabgefhic'e'f'a'(g')b'd"i"h"g"a"(b")c"d'dABCD3.4.3曲面体与曲面体相贯

1．相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。

2．不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线,特殊情况下为平面曲线或直线。表面取点法求作相贯线的一般步骤

（1）分析首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。

（2）求特殊点。相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。

（３）根据需要求出若干个一般点。

（４）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。

（５）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。1、表面取点法yyyyded'e'a'c'b'a"b"c"d"e"bac[例题5]求两圆柱的相贯线圆柱表面交线的三种情况

两外表面相交外表面与内表面相交两内表面相交[例题6]求直立圆柱和直立圆锥的相贯线234516789101'2'3'4'5'6'7'8'9'10'1"10"9"8"76"5"4"3"2"2.辅助平面法AB[例题7]用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线yyPWPV4"yy4'QVQW3"RVRW5"43'35'511'1"2'2"2[例题8]用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线解题步骤1．分析

相贯线的三个投影均未知，可利用辅助平面法求共有点；RWRVPVyy5'3'353"1"12'1'2"24．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5．整理轮廓素线。3．求出若干个一般点Ⅳ

、Ⅴ；QW2

QV2．求出相贯线上特殊点Ⅰ

、Ⅱ

、Ⅲ；yy4"5"4'4解题步骤1．分析

相贯线的三个投影均未知，可利用辅助平面法求共有点；2．求出相贯线上特殊点Ⅰ

、Ⅱ

、Ⅲ；4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5．整理轮廓素线。3．求出若干个一般点Ⅳ

、Ⅴ；3．两曲面体相贯线的特殊情况

（1）外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆。当两立体的相交两轴线同时平行于某一投影面时，则此两椭圆曲线在该投影面上的投影，为相交两直线。（2）两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆，并且该圆垂直于公共轴线。当公共轴线处于投影面垂直位置时，相贯线有一个投影反映圆的实形，其余投影积聚为直线。（1）外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆外切于同一球面的两圆柱正交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆外切于同一球面的两圆柱斜交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆外切于同一球面的圆锥、圆柱正交时，其相贯线为两条平