高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角、弧度制和任意角的三角函数分层演练直击高考 文-人教版高三数学试题

第1讲任意角、弧度制和任意角的三角函数1．若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．[解析]由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．[答案]四2．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．[解析]设扇形半径为R，内切圆半径为r.则(R－r)sin60°＝r，即R＝(1＋eq\f(2\r(3),3))r.又S扇＝eq\f(1,2)|α|R2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×R2＝eq\f(π,3)R2＝eq\f(7＋4\r(3),9)πr2，所以eq\f(S扇,πr2)＝eq\f(7＋4\r(3),9).[答案](7＋4eq\r(3))∶93．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－eq\f(π,3)，则sinα＝________．[解析]因为角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，又β＝－eq\f(π,3)，所以α＝2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，即得sinα＝eq\f(1,2).[答案]eq\f(1,2)4．设θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，则eq\f(θ,2)是第________象限角．[解析]因为θ是第三象限角，所以eq\f(θ,2)为第二或第四象限角．又因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，所以coseq\f(θ,2)＜0，知eq\f(θ,2)为第二象限角．[答案]二5．已知角α的终边上一点P的坐标为(－eq\r(3)，y)(y≠0)，且sinα＝eq\f(1,2)y，则cosα－eq\f(1,tanα)＝________.[解析]由已知得r＝OP＝eq\r(3＋y2)，所以sinα＝eq\f(y,2)＝eq\f(y,\r(3＋y2)).所以2＝eq\r(3＋y2)，所以y2＝1，所以y＝±1，故sinα＝±eq\f(1,2)，cosα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝±eq\f(\r(3),3).则cosα－eq\f(1,tanα)＝eq\f(\r(3),2)或－eq\f(3\r(3),2).[答案]eq\f(\r(3),2)或－eq\f(3\r(3),2)6．(2018·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为(sineq\f(2π,3)，coseq\f(2π,3))，则角α的最小正值为________．[解析]因为(sineq\f(2π,3)，coseq\f(2π,3))＝(eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))，所以角α为第四象限角，且sinα＝－eq\f(1,2)，cosα＝eq\f(\r(3),2).所以角α的最小正值为eq\f(11π,6).[答案]eq\f(11π,6)7．若角β的终边所在直线经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,4)，sin\f(3π,4)))，则sinβ＝________，tanβ＝________．[解析]因为β的终边所在直线经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,4)，sin\f(3π,4)))，所以β的终边所在直线为y＝－x，则β在第二或第四象限．所以sinβ＝eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2)，tanβ＝－1.[答案]eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2)－18.如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)相交于第二象限的点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα，\f(3,5)))，则cosα－sinα＝________．[解析]由题图知sinα＝eq\f(3,5)，又点A在第二象限，故cosα＝－eq\f(4,5).所以cosα－sinα＝－eq\f(7,5).[答案]－eq\f(7,5)9．函数y＝eq\r(sinx)＋eq\r(\f(1,2)－cosx)的定义域是________．[解析]由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,\f(1,2)－cosx≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,cosx≤\f(1,2).))所以x的取值范围为eq\f(π,3)＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，π＋2kπ))(k∈Z)10．当P从(1，0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．[解析]由题意知点Q是角eq\f(2π,3)的终边与单位圆的交点，设Q(x，y)，则y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，故Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))11．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.[解]设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))所以α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)法一：因为2r＋l＝8，所以S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)(eq\f(l＋2r,2))2＝eq\f(1,4)×(eq\f(8,2))2＝4，当且仅当2r＝l，即α＝eq\f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：因为2r＋l＝8，所以S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，当且仅当r＝2，即α＝eq\f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.12．已知sinα<0，tanα>0.(1)求α角的集合；(2)求eq\f(α,2)终边所在的象限．[解](1)由sinα<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；由