2022年中考数学复习之挑战压轴题300题-数与式（选择题）

2022年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：数与式（10题）

一.选择题（共10小题）

1.（2021秋•南昌县期末）已知a,b,c为自然数，且满足2。义3〃义4，=192,则“+加•<?的

取值不可能是（）

A.5B.6C.7D.8

2.（2019秋•天桥区期末）现有一列数41,42,43,…，498,499,<2100,其中43=2020,477

=-2018,498=-1,且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则。1+42+。3+…

+498+“99+4100的值为（）

A.1985B.-1985C.2019D.-2019

3.（2020•黄州区校级模拟）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该

正整数为“和谐数”如（8=32-i,16=52-32,即8,16均为“和谐数”），在不超过

2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）

A.255054B.255064C.250554D.255024

4.（2019春•西湖区校级月考）已知心〃为实数且满足“W-1,-1,设M—

a+1b+1

N-则下列两个结论（）

①必=1时，M=N,必>1时，M>N；必<1时，M<N.②若“+6=0,则

A.①②都对B.①对②错C.①错②对D.①②都错

5.（2015•湖北校级自主招生）已知a,b,c,分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2/+,4=

242c2+2次？，贝lj△ABC是（）

A.等腰三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

6.（2012•永州）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，

其各步依次移动1，2,3,…，"个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第

1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，….若这枚棋子不停地移动

下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

7.若实数a,b,c满足条件上+——--,则“，b,c中（）

abca+b+c

A.必有两个数相等B.必有两个数互为相反数

C.必有两个数互为倒数D.每两个数都不等

8.一台机器有大、小齿轮用同一传送带连接，若大小齿轮的齿数分别为36和12个，大齿

轮每分钟2.5X103转，则小齿轮10小时转（）

A.1.5X106转B.5X1（）5转C.4.5X1（）6转D.15X1（）6转

9.（2020•新野县三模）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分［如图（1）］,

画2条直线，最多能把白纸分成4部分［如图（2）］,画3条直线，最多能把白纸分成7

部分［如图（3）］,当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成（）部分.

D.211

10.代数式多（x-3产+25+1（4-x）2+9的最小值是（）

A.V62B.V65C.V69D.Vn

2022年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：数与式（10题）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

I.（2021秋•南昌县期末）已知a,b,c为自然数，且满足2〃X3°X4c=192,则a+Hc的

取值不可能是（）

A.5B.6C.7D.8

【考点】幕的乘方与积的乘方.

【专题】整式；运算能力.

【分析】将原方程化为2"2c.3b=26・3,得到〃+2c=6,b=\,再根据①b,c为自然数，

求出a,c的值，进而求出答案.

【解答】解：根据题意得：2fl+2c-3h=26-3,

.•.〃+2c=6,b=1,

•:a,b,c为自然数，

・••当c=0时，a=6；

当c=l时,a=4；

当c=2时，a=2；

当c=3时，a=0,

/.a+h+c不可能为8.

故选：D.

【点评】本题考查了基的运算，难度较大，根据。，4c为自然数求出m。的值是解题

的关键.

2.（2019秋•天桥区期末）现有一列数Q2,43,…，Q98,Q99,〃100,其中43=2020,47

=-2018,498=-1,且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则。1+。2+。3+…

+098+499+410（）的值为（）

A.1985B.-1985C.2019D.-2019

【考点】规律型：数字的变化类.

【专题】规律型；数感.

【分析】根据任意相邻三个数的和为常数列出等式，求出〃1=44,42=⑥，。3=。6,从而

得到每三个数为一个循环组依次循环，再求出moo=m,然后分组相加即可得解.

【解答】解：・・・任意相邻三个数的和为常数，

:.〃1+〃2+〃3=。2+。3+44,

。2+。3+〃4=。3+〃4+。5，

Q3+44+Q5=。4+。5+〃6,

・・。1=44,C12=45，613=616,

V4Z7=-2018,。98=-1,7+3=2…1,98+3=32…2,

•・41=-2018,42=-1,

.•・〃1+。2+〃3=-2018+（-1）+2020=1,

71004-3=33-1,

，〃100=〃1=-2018,

/.a\+O2+Q3+,••+Q98+Q99+Q1（X）

=（。|+。2+〃3）+…+（。97+。98+。99）+。100

=1X33+（-2018）

=-1985.

故选：B.

【点评】本题考查了规律型-数字的变化类，求出每三个为一个循环组依次循环是解题

的关键，也是难点.

3.（2020•黄州区校级模拟）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该

正整数为“和谐数”如（8=3?-|2,[6=52-32,即8,16均为“和谐数”），在不超过

2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）

A.255054B.255064C.250554D.255024

【考点】平方差公式；有理数的乘方.

【专题】新定义.

【分析】（方法一）由（2〃+1）2-（2n-l）2=8"<2017,解得“W252工，可得在不超

8

过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解.

（方法二）经过规律发现，第〃个“和谐数”为8”，则2017以内最后一个“和谐数”为

2016,它是第252个“和谐数”，然后用高斯数学从8+16一直加到2016即可计算求解.

【解答】解：（方法一）由（2〃+1）2-（2«-1）2=8〃W2017,解得“W252」，

8

则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32-12+52-32+-+5052-5032

=5052-12=255024.

(方法二)由(2n+l)2-(2n-1)2=8H,可知第”个和谐数为8”，则2017以内最后

一个和谐数为2016.

8+16+24+-+2016=(M+2016)*252=255024.

2

故选：D.

【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键.

4.(2019春•西湖区校级月考)己知“、6为实数且满足a#-1,bW-1,设从一__^互,

a+1b+1

则下列两个结论()

①而=1时，M=N,">1时，M>N；/<1时，M<N.②若〃+b=0,则M・NW0.

A.①②都对B.①对②错C.①错②对D.①②都错

【考点】分式的加减法.

【专题】探究型；整体思想；运算能力.

【分析】①根据分式的加法法则计算，然后分情况讨论即可得结论：

②根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论.

［解答］解：

a+1b+1a+1b+1

：.M-(^-4^—),

a+1b+1a+1b+1

_a-lb-l

-a+1+b+1'

=(aT)(b+1)+(bT)(a+1)

(a+1)(b+1)

=2ab-2

(a+1)(b+1)

①当出?=1时，M-N=3

:.M=N,

当ab>l时，

：.2ab>2,

：.2ab-2>0f

当。VO时，b<0,(a+1)(b+1)>0或(〃+l)(0+1)<0,

或M-NVO,

或MVN；

当出?VI时，外可能同号，也可能异号，

(67+1)(Z?+l)>0或(4+1)(8+1)V0,

lab-a<0,

:.M>N或M〈N；

.•・原式J

(a+1)(b+1)

=a(b+1)、+b(a+1)、

(a+1)2(b+1)2

______4ab_____

(a+1)2(b+1)2

•・ZW-1,-1,J(a+1)2(b+1)2>0,

\ua+b=0

：.ab^0,M・NW0.

・••②对.

故选：c.

【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用.

5.(2015•湖北校级自主招生)已知“，b,c分别是△ABC的三边长，且满足2〃4+2*+©4=

2a2c2+2〃2c2,则△ABC是()

A.等腰三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【考点】因式分解的应用；等腰直角三角形；完全平方公式.

【分析】等式两边乘以2,利用配方法得到(2a2-?)2+(2廿-c-2)2=0,根据非负数

的性质得到2/-02=0,2b2-?=0,则。=匕，且〃2+必=02.然后根据等腰三角形和直

角三角形的判定方法进行判断.

【解答】解：•.•244+2/+°4=2/.2+2成2,

.".4a4-4a2c2+c4+4ft4-4b2c2+c4=0,

（2a2-c2）2+（2/?2-c2）2=0,

.".2a2-c^—O,2b2-c2—0,

.，.c=&a,c—y/2b,

：.a=b,且c^+t^—c1.

...△ABC为等腰直角三角形.

解法二：2a4+2h4+c4=,

（a2+/>2）2-2c2（d+廿）+c4+a4+b4-2a2b2=0,

.*.[（6?+/>2）-c2]+（a2-b2）2=0,

'.a2+h2=c2a=h,

：.^ABC为等腰直角三角形.

故选：B.

【点评】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式是解决问题的关键.

6.（2012•永州）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子,

其各步依次移动1,2,3,…，"个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第

1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，….若这枚棋子不停地移动

下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】压轴题.

【分析】因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…（什1）,然后根据题目

中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.

【解答】解：因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+&=d(&+1),应停在第2人

22

(A+1)-7p格，

这时尸是整数，且使-7pW6,分别取k=l,2,3,4,5,6,7时，

2

-U(k+1)-7/2=1,3,6,3,1,0,0,发现第2,4,5格没有停棋，

2

若7<kW10,设k=7+f(r=l,2,3)代入可得，L(k+1)-7p=7m+L(t+l),

22

由此可知，停棋的情形与k=f时相同，

故第2,4,5格没有停棋，

即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3.

故选：D.

【点评】本题考查理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不

等式求解.

7.若实数a,b,c满足条件工△4=1,则a,b,c中()

abca+b+c

A.必有两个数相等B.必有两个数互为相反数

C.必有两个数互为倒数D.每两个数都不等

【考点】分式的基本性质；相反数；单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方式；

因式分解-分组分解法.

【专题】计算题.

【分析】首先把等式去分母得到成■+儿2+£+/+〃2什"2+24儿=0,用分组分解法将上

式左边分解因式(〃+b)(b+c)(〃+c)=0,

得至IJa+b=0,b+c=。,〃+c=0,根据相反数的定义即可选出选项.

【解答】解：工431,

abca+b+c

去分母并整理得：h2c+bc1+a2c+ac2+a2b^ab2+2abc=0,

即：(krc+lahc+a2^+(hc2+ac1)+(a2b+ah2)=0,

:・c(〃+b)2+c2(a+b)+ab(a+b)=0,

(a+b)(ac+bc+c2+ab')=0,

(a+b)(b+c)(a+c)=0,

即：a+b=0,b+c=0fQ+C=0,

必有两个数互为相反数，

故选：B.

【点评】本题主要考查了分式的基本性质，因式分解的分组分解法，相反数，单项式乘

多项式，多项式乘多项式，完全平方公式等知识点，去分母后分解因式是解此题的关键.

8.一台机器有大、小齿轮用同一传送带连接，若大小齿轮的齿数分别为36和12个，大齿

轮每分钟2.5X103转，则小齿轮］0小时转（）

A.1.5X106转B.5义1。5转C.4.5X1（）6转D.15义1。6转

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【专题】应用题；数感.

【分析】大、小齿轮用同一传送带连接，则大小齿轮转的距离相等，大齿轮每分钟2.5X

103,每小时转60X2.5X1（?转.

科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中1＜间＜10,〃为整数.确定”的值时，要

看把原数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数

绝对值大于10时，〃是正数；当原数的绝对值小于I时，"是负数.

【解答】解：小齿轮10小时转6OX2.5X1（）3XIOX（364-12）=4.5X1（）6转.

故选：C.

【点评】解决本题的关键是计算出小齿轮10小时转的转数，然后用科学记数法表示.

科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中1W间＜10,”为整数，表示时关键要正确

确定a的值以及"的值.

9.（2020•新野县三模）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分［如图（1）］,

画2条直线，最多能把白纸分成4部分［如图（2）］,画3条直线，最多能把白纸分成7

部分［如图（3）J,当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成（）部分.

D.211

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】规律型；运算能力.

【分析】根据题意可得〃=1,ai—1+1；n=2,a2=a\+2；n=3,“3=42+3…；n=n,an

=an.\+n,以上式子相加整理可得一般式，进而可得结果.

【解答】解：根据题意得：

n=1,m=l+l；n=2,«2—ai+2：n—3,a3=42+3…；n—n,an—an-\+n,

以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+…切

.•.20条直线最多能把白纸分为：1十2°彳21=2u部分.

故选：D.

【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规

律.

10.代数式多(x-3)2+25+3(4-x)2+9的最小值是()

A.V62B.V65C.V69D.Vn

【考点】二次根式的应用；两点间的距离公式；轴对称-最短路线问题.

【专题】数形结合.

22

【分析】先得到V(X-3)+25+V(4-X)+9=

V(X-3)2+(O-5)2+V(X-4)2+(O+3)2,设P(X，°)，M(3,5),N(4,-3),

可得J(x-3)2+(o-5)2+｛(x-4)2+(0+3)2的最小值等于线段MM的长，利用两点

间距离公式，即可得到MN=yj(3-4)2+(5+3)2=V65.

2+2

［解答］解：7(X-3)+25V(4-X)+9

一^(x-3)，+(0-5)2T(x-4))+(0+3)*

设P(x,0),M(3,5),N(4,-3),则

1(x-3)(0-5)2+3(x-4)2+(0+3)2表示点P到点M与点N的距离之和,

当点P在线段MN上时，点P到点M与点N的距离之和最短，

即｛(x-3)2+(0-5)2+1(x-4)2+(0+3)2的最小值等于线段MN的长，

;MN=y1(3-4)2+(5+3)2=，

代数式｛(x-3)2+25+丫(4-x)2+9的最小值是小花，

故选：B.

【点评】本题主要考查了二次根式、最短路线问题以及两点间距离公式的运用，凡是涉

及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要

作点关于某直线的对称点.

考点卡片

1.相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除。外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如a的相反

数是-“，，”+〃的相反数是-（,"+〃），这时机+”是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.有理数的乘方

（1）有理数乘方的定义：求〃个相同因数积的运算，叫做乘方.

乘方的结果叫做暴，在〃中，。叫做底数，”叫做指数.a"读作a的〃次方.（将/看作是

〃的”次方的结果时，也可以读作a的〃次募.）

（2）乘方的法则：正数的任何次基都是正数；负数的奇次基是负数，负数的偶次幕是正数;

0的任何正整数次累都是0.

（3）方法指引：

①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定事的符号，然后再计算事的

绝对值；

②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除,

最后做加减.

指数

3.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成“X10”的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：aX10〃，其中lWa<10,

〃为正整数

（2）规律方法总结：

①科学记数法中。的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位

数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此

法表示，只是前面多一个负号.

4.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字

与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式.

（2）利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

5.规律型：图形的变化类

图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化

规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.

6.幕的乘方与积的乘方

（1）事的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（am）n=amn（m,〃是正整数）

注意：①基的乘方的底数指的是基的底数；②性质中“指数相乘”指的是累的指数与乘方的

指数相乘，这里注意与同底数索的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

（加（〃是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘

方的意义，计算出最后的结果.

7.单项式乘多项式

（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的

每一项，再把所得的积相加.

（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式;②用单项式去乘多项式中的每一

项时，不能漏乘；③注意确定积的符号.

8.多项式乘多项式

(1)多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积

相加.

(2)运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，

在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之枳.

9.完全平方公式

(1)完全平方公式:(a±b)2=a1+2ab+b2.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

(2)完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，

其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算

符号相同.

(3)应用完全平方公式时，要注意：①公式中的“，匕可是单项式，也可以是多项式：②对

形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看

做一项后，也可以用完全平方公式.

10.完全平方式

完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式4,如果存在另一个实系数整式8,

使4=B2,则称4是完全平方式.

a1+2ah+b1=(a+h)2

完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方.另一种是完

全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方.算时有一个口诀“首末两项算平方，首末

项乘积的2倍中间放，符号随中央.(就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，

再乘以2,然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的

符号，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用后边的符号都用+)”

11.平方差公式

(1)平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

(a+b)(,a-b)=a2-h2

(2)应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题:

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的。和6可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多

项式法则简便.

12.因式分解-分组分解法

1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组

后能出现公因式，二是分组后能应用公式.

2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法.

例如：①or+ay+bx+方y

—x(a+b)+y(«+/7)

=(。+6)(x+y)

®2xy-/+1-y2

--(x2-2xy+y2)+1

=1-(x-y)2

=(1+x-y)(1-x+y)

13.因式分解的应用

1、利用因式分解解决求值问题.

2、利用因式分解解决证