高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题6 算法、复数、推理与证明、概率与统计 第22讲 排列、组合与二项式定理专题限时集训 理-人教版高三数学试题

专题限时集训(二十三)排列、组合与二项式定理(建议用时：45分钟)1．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a【导学号：19592064】[解]若a2＝2，则“凸数”为120与121，共2个.3分若a2＝3，则“凸数”有2×3＝6个，若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12个，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72个.8分∴所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).10分2．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？[解]可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人.2分星期一：可分给5人中的任何一人有5种分法；4分星期二：可分给剩余4人中的任何一人有4种分法；6分星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人有4种分法；8分同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×4＝1280(种)不同的排法.10分3．设f(x，n)＝(1＋x)n(n∈N*)．(1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项；(2)f(i，n)＝32i(i为虚数单位)，求Ceq\o\al(1,n)－Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)－Ceq\o\al(7,n)＋Ceq\o\al(9,n).[解](1)f(x,6)＝(1＋x)6展开式中系数最大的项是第4项，即T4＝Ceq\o\al(3,6)x3＝20x3.4分(2)由题意，得(1＋i)n＝32i，两边取模，得(eq\r(2))n＝32，所以n＝10.6分Ceq\o\al(1,n)－Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)－Ceq\o\al(7,n)＋Ceq\o\al(9,n)＝Ceq\o\al(1,10)－Ceq\o\al(3,10)＋Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(7,10)＋Ceq\o\al(9,10).而(1＋i)10＝Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)i＋Ceq\o\al(2,10)i2＋…＋Ceq\o\al(9,10)i9＋Ceq\o\al(10,10)i10＝(Ceq\o\al(0,10)－Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(6,10)＋Ceq\o\al(8,10)－Ceq\o\al(10,10))＋(Ceq\o\al(1,10)－Ceq\o\al(3,10)＋Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(7,10)＋Ceq\o\al(9,10))i＝32i，8分所以Ceq\o\al(1,10)－Ceq\o\al(3,10)＋Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(7,10)＋Ceq\o\al(9,10)＝32.10分4．已知(eq\r(3,x)＋x2)2n的展开式的二项式系数的和比(3x－1)n的展开式的二项式系数的和大992，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))n的展开式中二项式系数最大的项．[解]令x＝1，则(eq\r(3,x)＋x2)2n的展开式各项系数之和为f(1)＝(1＋1)2n＝4n，2分(3x－1)n的展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知4n－2n＝992.4分∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5.8分由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T3＝Ceq\o\al(2,5)23x＝80x，T4＝－Ceq\o\al(3,5)22x－1＝－40x－1.10分5．(2016·南通二调)设S4k＝a1＋a2＋…＋a4k(k∈N*)，其中ai∈{0,1}(i＝1,2，…，4k)．当S4k除以4的余数是b(b＝0,1,2,3)时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m(b)．(1)当k＝2时，求m(1)的值；(2)求m(3)关于k的表达式，并化简．[解](1)当k＝2时，数列a1，a2，a3，…，an中有1个或5个1，其余为0，所以m＝Ceq\o\al(1,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝64.4分(2)依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，…，或(4k－1)个1，其余为0，所以m(3)＝Ceq\o\al(3,4k)＋Ceq\o\al(7,4k)＋Ceq\o\al(11,4k)＋…＋Ceq\o\al(4k－1,4k).同理，得m(1)＝Ceq\o\al(1,4k)＋Ceq\o\al(5,4k)＋Ceq\o\al(9,4k)＋…＋Ceq\o\al(4k－3,4k).6分因为Ceq\o\al(i,4k)＝Ceq\o\al(4k－i,4k)(i＝3,7,11，…，4k－1)，所以m(1)＝m(3)．又m(1)＋m(3)＝Ceq\o\al(1,4k)＋Ceq\o\al(3,4k)＋Ceq\o\al(5,4k)＋…＋Ceq\o\al(4k－3,4k)＋Ceq\o\al(4k－1,4k)＝24k－1，所以m(3)＝24k－2＝42k－1.10分6．已知数列{an}是等差数列，且a1，a2，a3是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)x))m展开式的前三项的系数．(1)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)x))m展开式的中间项；(2)当n≥2时，试比较eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋1)＋eq\f(1,an＋2)＋…＋eq\f(1,an2)与eq\f(1,3)的大小．[解](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)x))m＝1＋Ceq\o\al(1,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))＋Ceq\o\al(2,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))2＋…＋Ceq\o\al(m,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))m，依题意a1＝1，a2＝eq\f(1,2)m，a3＝eq\f(mm－1,8)，由2a2＝a1＋a3可得m＝1(舍去)，或m＝8.3分所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)x))m展开式的中间项是第五项为T5＝Ceq\o\al(4,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))4＝eq\f(35,8)x4.4分(2)由(1)知，an＝3n－2，当n＝2时，eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋1)＋eq\f(1,an＋2)＋…＋eq\f(1,an2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,7)＋eq\f(1,10)＝eq\f(69,140)＞eq\f(1,3)，5分当n＝3时，eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋1)＋eq\f(1,an＋2)＋…＋eq\f(1,an2)＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＋eq\f(1,a5)＋…＋eq\f(1,a9)＝eq\f(1,7)＋eq\f(1,10)＋eq\f(1,13)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,19)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,25)＝eq\f(1,7)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(1,13)＋\f(1,16)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19)＋\f(1,22)＋\f(1,25)))＞eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)＋\f(1,16)＋\f(1,16)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32)＋\f(1,32)＋\f(1,32)))＝eq\f(1,8)＋eq\f(3,16)＋eq\f(3,32)＞eq\f(1,8)＋eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＞eq\f(1,3).6分猜测：当n≥2时，eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋1)＋eq\f(1,an＋2)＋…＋eq\f(1,an2)＞eq\f(1,3).以下用数学归纳法加以证明：①n＝2时，结论成立，②设当n＝k时，eq\f(1,ak)＋eq\f(1,ak＋1)＋eq\f(1,ak＋2)＋…＋eq\f(1,ak2)＞eq\f(1,3)，则n＝k＋1时，eq\f(1,ak＋1)＋eq\f(1,ak＋1＋1)＋eq\f(1,ak＋1＋2)＋…＋eq\f(1,ak＋12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ak)＋\f(1,ak＋1)＋\f(1,ak＋1＋1)＋\f(1,ak＋1＋2)＋…＋\f(1,ak2)))＋eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,ak2＋1)＋\f(1,ak2＋2)))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋…＋\f(1,ak＋12)－\f(1,ak)))＞eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ak2＋1)＋\f(1,ak2＋2)＋…＋\f(1,ak＋12)－\f(1,ak)))＞eq\f(1,3)＋eq\f(2k＋1,3k＋12－2)－eq\f(1,3k－2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2k＋13k－2－[3k＋12－2],[3k＋12－2]