2023中考数学二轮复习：旋转类题型（提优篇）

2023中考数学二轮专题复习：旋转类题型(提优篇)02

1.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点4(一1,0)，点B(0,g)

⑴探究发现

(1)484。的度数为.

(2)如图①，将A/lOB绕点。顺时针旋转，得△4。8,,当点A恰好落在48边上时，设△48,。的面

积为Si，△BTT。的面积为S2，则Si=.Si与S?的数量关系是.

(2)猜想论证

当将△408绕点。顺时针旋转到图②所示的位置时，小明猜想⑴⑵中Si与S2的数量关系仍然成立,

并尝试分别作出了△B4。和△4B'O中，BO、B'。边上高4M、AN,请你证明小明的猜想：

⑶拓展延伸

如图③，已知N4OC=60。，点C在x轴上，点。在其角平分线上，0C=CD=4,OE〃力。交。C于

点E,若在射线04上存在点F,使SA℃F=SAODE，请直接写出相应的点F的坐标.

2.在矩形ABCD中，将对角线C4绕点C逆时针旋转得到CE,连接4E,取力E的中点F,连接BF,DF.

(1)若点E在CB的延长线上，如图.

①依题意补全图1;

②判断BF与DF的位置关系并加以证明.

(2)若点E在线段BC的下方，如果NACE=90°,乙4cB=28。，AC=6,请写出求BF长的思路.(可以

不写出计算结果)

3.如图，在平面直角坐标系中，。为原点,平行四边形ABCD的边BC在x轴上,。点在y轴上,C点坐标为(2,0),

BC=6,NBCO=60。，点E是4B上一点，AE=3EB,。。过。，0,C三点，抛物线y=a-+匕刀+c过

点O,B,C三点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵求证：EC是。P的切线；

⑶若将△40E绕点。逆时针旋转90。，E点的对应点E'会落在抛物线y=。/+加;+(:上吗？请说明理

由；

(4)若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N,使得以点8,D,M,N为顶点的四边形为平行四

边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

4.【数学概念】

若点P在A4BC的内部，且N4PB,NBPC和ZCPA中有两个角相等，则称P是△4BC的"等角点”，特别地,

若这三个角都相等，则称「是448c的"强等角点

(1)【理解概念】

若点P是AABC的等角点，且乙4PB=100。，则4BPC的度数是.

(2)已知点。在AABC的外部，且与点4在BC的异侧，并满足NBDC+NB4C<180°.

作ABC。的外接圆0,连接AD,交。0于点P.

当ABC。的边满足下面的条件时，求证：P是△ABC的等角点.

(要求：只选择其中一道题进行证明！)

i如图①，DB=DC；

ii如图②，BC=BD.

(3)【深入思考】

如图③，在△ABC中，小,乙B,NC均小于120。，用直尺和圆规作它的强等角点Q.(不写作法,

保留作图痕迹)

(4)下列关于"等角点"、"强等角点"的说法：

①直角三角形的内心是它的等角点；

②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；

③正三角形的中心是它的强等角点；

④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；

⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点,

其中，正确的有(填序号).

5.在△力BC,CA=CB,乙4cB=a.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接4P,将线段4P绕点

P逆时针旋转a得到线段0P,连接AD,BD,CP.

(1)观察猜想：如图1,当a=60。时，票的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是.

(2)类比探究：如图2,当a=90。时，请写出黑的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就

图2的情形说明理由.

⑶解决问题：当a=90。时，若点E,尸分别是。4,C8的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C,P,D

在同一直线上时空的值.

6.如图1,矩形。EFG中，DG=2,DE=3,RtA/BC中，Z.ACB=90°,CA=CB=2,FG,BC的延长

线相交于点0,且FG1BC,OG=2,0C=4,将冬月BC绕点。逆时针旋转a（0。<a<180。）得到△A'B'C.

(1)当a=30°时，求点C到直线OF的距离.

(2)在图1中，取48'的中点P,连接C'P,如图2.

①当C'P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C'到直线DE的距离.

②当线段4P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围.

7.在AZBC中，AB=BC=2,乙4BC=90。，BD为斜边AC上的中线，将△ABC绕点。顺时针旋转

a(0。<a<180。)得到AEFD,其中点4的对应点为点E,点B的对应点为点F.BE与FC相交于点乩

(1)如图1.直接写出BE与FC的数量关系：；

(2)如图2,M,N分别为EF,BC的中点.求证：MN*FC；

⑶连接BF,CE,如图3,直接写出在此旋转过程中，线段BF,CE与4C之间的数量关系：.

8.如图1,△4BC中，点4、B、C三点的坐标分别为4(-1,2%)，6(-3,0),C(-l,0)；

如图2,将△ABC绕点C顺时针旋转4a(0。<a<180。)得4DEC,点4和点。对应，作J_x轴,DG1x轴,

垂足分别为F点和G点.

(1)当Na=30。时，求。、E两点的坐标；

(2)当4a为何值时，4DEC、△EFC和△DCG都相似；

⑶在旋转过程中，若抛物线经过。、E、C三点，请求出一条以y轴为对称轴的抛物线的解析式.

BC0\FC0\!

图1图2

9.小伟遇到这样一个问题：如图1,在△ABC(其中NB4C是一个可以变化的角)中，AB=2,AC=4,

以BC为边在BC的下方作等边APBC,求4P的最大值.

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△

ABP逆时针旋转60。得到△4BC,连接44,当点4落在4c上时，此题可解(如图2).

⑴请你回答：4P的最大值是.

⑵参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3,等腰RtA/IBC.边AB=4,P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值的解

题思路.

提示:要解决AP+BP+CP的最小值问题,可仿照题目给出的做法.把aABP绕B点逆时针旋转60。,

得到△A'BP'.

①请画出旋转后的图形；

②请写出求4P+BP+CP的最小值的解题思路(结果可以不化简).

10.如图，二次函数y=ax2+bx(a力0)的图象经过点4(1,4),对称轴是直线x=-1,线段4。平行于x轴,

交抛物线于点。.在、轴上取一点C(0,2),直线AC交抛物线于点B,连接。4OB,OD,BD.

⑴求该二次函数的解析式；

(2)求点B坐标和坐标平面内使△EODs△AOB的点E的坐标；

(3)设点尸是BD的中点，点P是线段。。上的动点，问PD为何值时，将ABP尸沿边PF翻折，使ABPF与

△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的;？

4

备用图

11.将△ABC绕点4顺时针旋转a得到△ADE,DE的延长线与BC相交于点尸，连接ZF.

（1）如图1,若NB4C=a=60。，DF=2BF,请直接写出AF与BF的数量关系；

（2）如图2,若4BAC<a=60。，DF=3BF,猜想线段4F与BF的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3,若NB4C<a,DF=mBF（m为常数），请直接写出黑的值（用含a,m的式子表示）.

12.在AABC中，BA=BC,/.BAC=a,M是4c的中点，P是线段BM上的动点，将线段P4绕点P顺时针旋

转2a得到线段PQ.

（1）若a=60。且点P与点M重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形，并写出

“D8的度数；

⑵在图2中，点P不与点B,M重合，线段CQ的延长线与射线交于点D,猜想aDB的大小（用含

a的代数式表示），并加以证明；

⑶对于适当大小的a,当点P在线段8M上运动到某一位置（不与点B,M重合）时，能使得线段CQ的

延长线与射线BM交于点。，且PQ=QD,请直接写出a的范围.

13.如图1,在平行四边形4BCC中，AH1DC,垂足为H,AB=4A/7,AD=7,AH=V21.现有两个动

点E、F同时从点4出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线4c方向匀速运动.在

点E、尸运动过程中，以EF为边作等边AEFG,使AEFG与AABC在射线AC的同侧，当点E运动到点。时,

E、F两点同时停止运动.设运转时间为t秒.

AG

DH

(1)求线段AC的长；

(2)在整个运动过程中，设等边△EFG与AABC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系

式，并写出相应的自变量t的取值范围：

⑶当等边△£打；的顶点E到达点C时，如图2,将AEFG绕着点C旋转一个a((T<a<360。).在旋转

过程中，点E与点C重合，尸的对应点为F,G的对应点为G：设直线与射线。C、射线4c分别相

交于M、N两点.试问：是否存在点M、N,使得ACMN是以4MCN为底角的等腰三角形？若存在，

请求出线段CM的长度；若不存在，请说明理由.

14.已知：如图①，在平行四边形2BCD中，AB=12,BC=6,4。1BD.以4。为斜边在平行四边形4BCD

的内部作Rt^AED,^EAD=30°,/.AED=90°.

Dp--------------7CD____________C

(1)求A4ED的周长；

⑵若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△4()EoDo，当为。。与BC重合时停止

移动.设移动世界为t秒，与ABDC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t直接的函数关

系式，并写出t的取值范围；

⑶如图②，在2中，当△AED停止移动后得到aBEC,将ABEC绕点C按顺时针方向旋转a(0。<a<

180°).在旋转过程中，B的对应点为名,E的对应点为设直线与直线BE交于点P,与直线CB

交于点Q.是否存在这样的a,使ABPQ为等腰三角形？若存在，求出a的度数；若不存在，请说

明理由.

15.如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形4BCD的顶点力重合，将此三角板绕点4旋转，使三角

板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC,DC于点E,F,连接EF.

⑴猜想BE,EF,DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；

(2)在图1中，过点4作力MlEF于点M,请直接写出4M和AB的数量关系；

⑶如图2,将Rt△4BC沿斜边4c翻折得到Rt△ADC,E,F分别是BC,CD边上的点，4E4F=^BAD,

连接EF,过点4作AM1EF于点M,试猜想AM与4B之间的数量关系.并证明你的猜想.

16.如图1,在平面直角坐标系中，已知AAOB是等边三角形，点4的坐标是(0,4),点B在第一象限，点P是

无轴上的一个动点，连接4P,并把AAOP绕着点4按逆时针方向旋转，使边4。与4B重合，得至

⑴求直线AB的解析式；

(2)当点P运动到点(百,0)时，求此时CP的长及点。的坐标；

⑶是否存在点P,使△OPD的面积等于f?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说

4

明理由.

点C的坐标是（4e,0）.

(1)正方形40BC的边长为，点4的坐标是；

⑵将正方形/OBC绕点。顺时针旋转45。，点/,B,C旋转后的对应点为4,B,,C,求点4的坐标及

旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；

⑶动点P从点。出发，沿折线04CB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点。出发，

沿折线0BQ4方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒，当它们相遇时同时停止运动，

△OPQ为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）.

18.在平面直角坐标系中，0为原点，点4（-6,0）,点C（0,6）.若正方形04BC绕点。顺时针旋转，得正方形

OA'B'C,记旋转角为a.

(1)如图①，当a=45。时，求BC与49的交点。的坐标；

⑵如图②，当a=60。时，求点B'的坐标；

⑶若P为线段BC的中点，求4P长的取值范围（直接写出结果即可）.

B,----

图①图②

19.我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做"等高底"三角形，这条边叫

做这个三角形的"等底

(1)概念理解：

如图1,在△ABC中，AC=6,BC=3,^ACB=30°,试判断△ABC是否是"等高底"三角形，请说

明理由.

(2)问题探究：

如图2,△4BC是“等高底"三角形,BC是"等底"，作△4BC关于BC所在直线的对称图形得到AA'BC,

连接A4交直线BC于点。.若点B是△A4c的重心，求经的值.

(3)应用拓展：

如图3,已知k〃%，k与L之间的距离为2."等高底"△ABC的“等底"BC在直线21上，点4在直线％上，

有一边的长是BC的四倍.将44BC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C,4c所在直线交％于

20.如图，在RtAABC中，Z.BAC=90°,AB=AC,点。是8C边上一动点，连接4D,把AD绕点4逆时针旋

转90。，得到4E,连接CE,DE.点F是DE的中点，连接CF.

E

(1)求证：CF*AD；

(2)如图2所示，在点。运动的过程中，当8。=2CD时，分别延长CF,B4相交于点G,猜想4G与BC存

在的数量关系，并证明你猜想的结论；

(3)在点。运动的过程中，在线段4。上存在一点P,使P4+PB+PC的值最小.当P4+PB+PC的值

取得最小值时，AP的长为请直接用含小的式子表示CE的长.

21.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，EF〃/B交4。于点F,连接BF.

(1)如图1,若48=4,DE=V2,求BF的长；

（2）如图2,连接AE,交BF于点H,若DF=HF=2,求线段AB的长;

⑶如图3,连接BF,AB=3V2,设EF=X,△BEF的面积为S,请用x的表达式表示S,并求出S的最

大值；当S取得最大值时，连接CE,线段DB绕点D顺时针旋转30。得到线段D/,。/与CE交于点K,

22.如图1,边长为4的正方形ABC。中，点E在AB边上（不与点4、B重合），点F在边上（不与点B、C重

合）.第一次操作：将线段EF绕点尸顺时针旋转,当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线

段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时,记为点H；依此操作下去…

（1）图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为，求此时线段EF的长；

⑵若经过三次操作可得到四边形EFGH.⑴请判断四边形EFGH的形状为，此时71E与B9的数量关系

是.（ii）以（i）中的结论为前提，设4E的长为久，四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式

及面积y的取值范围.

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线