2021年江西省赣州市中考数学模拟试卷（附答案）

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2021年江西省赣州市中考数学模拟试卷（附答案）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

2.抛物线y=（x-l）2-4的顶点为（

A.(1,4)B.(1,-4)(-1,4)D.(-1,-4)

3.下列事件中，是必然事件的是（）

A.任意抛一枚硬币，正面朝上

B.随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数

C.相等的圆心角所对的弧也相等

D.任意画一个圆内接四边形，其对角互补

4.已知。O的半径是一元二次方程——6x+9=0的解，且点O到直线AB的距离为

2,则。O与直线AB的位置关系为（）

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

5.如图，学校课外生物小组的试验园地是长20米，宽15米的长方形.为了便于管理，

现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为252平方米，则小道的

宽为（）

__________

A.5米B.1米C.2米D.3米

6.若抛物线y=—f+小+g与％轴交于A（a,0）、B（b,0）两点，且

则有()

A.p+q<lB.p+q-lC.p+q>\D.pq>b

二、填空题

7.已知点P(-3,2)关于原点的对称点是.

8.已知：如图，圆锥的底面直径是10cm,高为12cm,则它的侧面展开图的面积是_cn?.

9.如图，点A,B,C在。O上，CO的延长线交AB于点D,NA=50。，ZB=30°,则

ZADC的度数为

10.将抛物线］=/向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线

的函数表达式为.

11.己知与、工2是方程/一3彳一1=0的根，则式子X:-2X|+/的值为.

12.已知。O的直径为4,AB是。O的弦，NAOB=120。，点P在。O上，若点P

到直线AB的距离为1,贝IJNPAB的度数为.

三、解答题

13.计算：

(1)x2-x-6=0;

(2)(x—5)2—2(x—5).

14.在直角坐标系中，。为原点，A点的坐标为(3,4),连接线段OA,将线段OA绕

点O逆时针旋转90。，A的对应点为A-

(1)请在图中画出线段OA和线段OA1则A，的坐标为.

试卷第2页，总6页

(2)求线段0A在旋转过程中所扫过的面积.

15.如图，AB为。O的直径，C,D为圆上的两点，OC〃BD,弦AD,CO相交于点E.

(1)求证：AC=CD：

(2)若AD=16,CE=4,求。。的半径.

16.今年我县为创评“全国文明城市”称号，周末团委组织志愿者进行宣传活动.班主任

梁老师决定从4名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签方式确定2名女生

去参加.抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡

片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩

余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.

(1)该班男生“小刚被抽中''是事件(填“不可能”“必然”“随机”)；第一次抽取卡

片“小悦被抽中”的概率为.

(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的

概率.

17.如图，△ABC内接于。O,AB=AC,D是AC弧的中点，在下列图中使用无刻度

的直尺按要求画图.

(1)在图1中，画出△ABC中AC边上的中线；

(2)在图2中，画出△ABC中AB边上的中线.

BB

图1图2

18.大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒.调查发现：这种文具盒每个星期

（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系

式（不必写出自变

量x的取值范围）；

（2）每个文具盒定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可

获得的利润最高？

最高利润是多少？

19.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2,0）,OB=OA,且/AOB=120。.

（1）求直线AB的解析式；

（2）经过A、0、B三点的抛物线的对称轴上是否存在点C,使ABOC的周长最小?若

20.如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB,AD、BC

的延长线相交于点E.

试卷第4页，总6页

(1)求证：AD是半圆0的切线；(2)连结CD,求证：ZA=2ZCDE.

21.已知关于x的一元二次方程(a+c)x?+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分另(］为△ABC

三边的长.

(1)如果x=-l是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由：

(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

22.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和OEC重合放置，其中NC=90。.若

固定△A2C,将AOEC绕点C旋转.

(1)当△OEC统点C旋转到点。恰好落在AB边上时，如图2.

①当NB=/E=30。时，此时旋转角的大小为；

②当NB=NE=a时，此时旋转角的大小为(用含a的式子表示).

(2)当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△8OC的面积与

△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜

想.若不正确，请说明理由.

23.如图，二次函数y=-V+3x+m的图象与x轴的一个交点为B(4,0),另一个

交点为A,且与y轴相交于C点.

(1)求m的值及C点坐标；

(2)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q.

①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

②点P的横坐标为t(0<t<4),当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理

由.

试卷第6页，总6页

参考答案

1.C

【分析】

根据轴对称与中心对称图形的概念逐项判断即可；

【详解】

A.是中心对称图形但不是轴对称图形；

B.是中心对称图形但不是轴对称图形；

C.是轴对称图形也是中心对称图形；

D.是轴对称图形但不是中心对称图形.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的判定，准确分析是解题的关键.

2.B

【分析】

根据顶点式直接判断即可.

【详解】

解：抛物线y=（x-Ip-4的顶点为：（1,-4）,

故选：B.

【点睛】

本题考查了求二次函数的顶点坐标，解题关键是知道二次函数顶点式y=a（x-Of+攵的

顶点坐标为（〃#）.

3.D

【分析】

根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件判断即可.

【详解】

解：A、任意抛一枚硬币，正面朝上属于随机事件，故不符合题意；

B、随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数属于随机事件，故不符合题意；

答案第1页，总16页

C、相等的圆心角所对的弧也相等属于随机事件，故不符合题意；

D、任意画一个圆内接四边形，其对角互补是必然事件，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了随机事件与确定事件，关键是理解必然事件就是一定发生的事件.

4.A

【分析】

解方程确定圆的半径为3,圆心距d=2,比较半径与圆心距的大小，根据法则判断即可.

【详解】

2

VX-6%+9=0.

.♦X]==3,

.•.圆的半径为3,

•••点O到直线AB的距离为2,即d=2,

/.d<R,

.•.直线与圆相交，

故选A.

【点睛】

本题考查了用半径、圆心距判定直线和圆的位置关系，熟练解方程，熟记d,R法则是解题

的关键.

5.B

【分析】

设小道的宽为％米，则种植区域可看成长为（20-2力米、宽为（15—力米的长方形，根据

长方形的面积公式结合种植面积为252平方米，即可得出关于X的一元二次方程，解方程并

检验即可得出结论.

【详解】

解：设小道的宽为工米，

根据题意得：（20-2x）05—x）=252,

整理得：V—25X+24=0，

答案第2页，总16页

.".(x—24)=0,

x-1=0或x-24=0,

解得：玉=1,%2=24,

经检验x=24不合题意，舍去，取％=1.

答：小道的宽为1米.

故选：B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决图形面积问题是解题的关键.

6.C

【分析】

由-1<0即可得出抛物线开口向下，再根据抛物线与x轴的两交点横坐标分别在1的两侧即

可得出当X=1时,y=-l+p+q>0,移项后即可得出p+q>1.

【详解】

解：；抛物线yn-f+px+q中二次项系数为-1<0,

.••抛物线开口向下.

,抛物线y=—X?+px+<y与x轴交于A(a,0),B(b,0)两点，且aVl<b,

.,.当x=l时，y=-l+p+q>0,

二p+q>1.

故选：C.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数图象与系数的关系，根据a<l<b找出“当x=l

时，y=-l+p+q>0”是解题的关键.

7.(3,-2)

【分析】

根据关于原点对称点的坐标变化规律求解即可.

【详解】

解：关于原点对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，

所以P(-3,2)关于原点的对称点是(3,-2),

答案第3页，总16页

故答案为：（3,-2）.

【点睛】

本题考查了关于原点对称坐标变化，熟记点在坐标系中的几何变换的坐标变化规律是解题关

键.

8.657t

【解析】

•••圆锥底面直径为10cm,

.•.圆锥底面半径为5cm.

又•圆锥高为12cm,

.•.圆锥母线长为：^1122+52=13（cm）.

.♦•圆锥侧面展开图的面积为：乃x5xl3=65〃（cm2）.

点睛：当圆锥的底面半径为r,圆锥高为/?,母线长为。时，（1）产+后=〃；（2）圆锥侧

面积为：S；#|=Tira,S全=nra+nr2.

9.110°

【解析】

试题分析：；NA=50°,.,.NBOC=2NA=100°,VZB=30°,NBOC=NB+NBDC,

/.ZBDC=ZBOC-ZB=100°-30°=70°,.,.ZADC=1800-ZBDC=110°,故答案为110。.

考点：圆周角定理.

7

10.y=x~+4x+l.

【分析】

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平

移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利

用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.先确定抛物线

y=x2的顶点坐标为（0,0）,再根据点平移的规律得到点（0,0）平移后所得对应点的坐标

为（-2,-3）,然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.

【详解】

解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0）,把点（0,0）向左平移1个单位，再向下平移2个

单位长度所得对应点的坐标为（-2,-3）,所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2尸-3=x2+4x+l.

答案第4页，总16页

故答案为y=x?+4x+l.

考点：二次函数图象与几何变换.

11.4

【分析】

由百、w是方程》2—3万一1=0的根，可得看2—3%=1,办+工2=3,再将式子看2—2%+x2

变形为42―3%+(%+%2)，即可求出答案.

【详解】

解：大、*2是方程X?—3x—1=0的根，

xj-3%—1=0,即％--3%—11

%+%2=3,

•"X1__2%|+x>—Xf~-3%|+(X|+w),

原式=1+3=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系并与代数

式变形相结合解题是解题的关键.

12.15。或30°或105°

【分析】

作OP|_LAB交。O于Pi交AB于H,过点O作直线P2P3〃AB交€)0于P2,P3.由

垂径定理可得/AOH=60。，进而可得/OAH=30。，即可求出OH=1,进而可知Pi，P2,P3是

满足条件的点，根据圆周角定理求出NPIAB、NP3AB、NP2AB的度数即可.

【详解】

如图作OPi_LAB交。0于Pi交AB于H,过点O作直线P2P3〃AB交。O于P2,

P3.

VZAOB=120°,OA=OB,OH1AB,

，ZAOH=—ZAOB=60°,ZAHO=90°,

2

/.ZOAH=30°,

答案第5页，总16页

VOO的直径为4,

/.OH=—OA=1,

2

•••直线AB与直线P2P3之间的结论距离为1,

.,.Pi，P2,P3是满足条件的点，

，NPiAB=y/BOP|=30°,/P3AB=gZBOP3=15°,

：P2P3是。。的直径，

NP2Ap3=90。，

NP2AB=/P2AP3+NP3AB=900+15°=105°,

Pl

故答案为15。或30。或105。.

【点睛】

本题考查垂径定理及圆心角定理,垂直弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧;

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；确定Pi，P2,P3是满足条件的点是解题

关键.

13.(1)X]=3,X2=-2；(2)XI=5,X2=7.

【分析】

(1)直接使用十字相乘法进行因式分解即可求解；

(2)先移项，提取公因式(x-5)后再用因式分解即可求解.

【详解】

解：⑴原方程可化为：(x-3)(x+2)=0,

即：x-3=0或x+2=0,

解得：xi=3,X2=-2,

故答案为:xi=3,X2=-2；

(2)移项：(X-5)2-2(X-5)=0,

答案第6页，总16页

即:(x-5)(x-5-2)=0

得到：x-5=0或x-5-2=0

解得X|=5,X2=7,

故答案为：xi=5,X2=7.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题，运算过程中细心即可.

25乃

14.(1)画图见解析；(-4,3)；(2)S=——.

4

【分析】

(1)作出图形，然后根据平面直角坐标系写出点A，的坐标即可;

(2)根据扇形面积公式计算即可.

【详解】

(1)如图所示，A，的坐标为(-4,3)；

⑵；。4=律==5,

90x乃x5?_25n

...线段OA在旋转过程中所扫过的面积S

360—-丁

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化一旋转以及扇形的面积公式，熟知旋转的性质与扇形的面积公式

是解答此题的关键.

15.(1)证明见解析；(2)00的半径为10.

【分析】

(1)由AB是直径，得到ND=90。，由OC〃BD得到NAEO=90。，进而得至ljOCJ_AD,再由

答案第7页，总16页

垂径定理即可证明；

⑵由AD=16可以得到AE=ED=8,设圆的半径为r,则EO=r-4,在RtAAEO中由勾股定理

即可求出圆的半径.

【详解】

解：⑴证明：：AB是。O的直径，...NADB=90。,

VOCz^BD,AZAEO=ZADB=90°

AOCIAD,

由垂径定理可知：AC=CD-

(2)由(1)可知OC_LAD,

又,：AD=16,AE——AD=8

2

设。O的半径为r,：CE=4,

，OE=r-4,

在RsAEO中，由勾股定理得82+(r-4)2=r2,

解得：r=10,

，。0的半径为10.

【点睛】

本题考查了圆的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等相关知识点，属于中档题，熟练

掌握圆内的各定理是解决本题的关键.

16.(1)不可能；；；(2)

【分析】

(1)根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；

(2)列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可.

【详解】

解：(1)根据题意可知，该班男生小刚，并不在小悦、小惠、小艳和小倩之中，所以“小刚

被抽中”是不可能事件，只有四个人，第一次抽取卡片“小悦被抽中的概率为!；

(2)画树状图如下：

答案第8页，总16页

开始

小悦小惠小也小债

/N/K/N

小小小小小小小小小小小小

惠艳俯悦他侪悦感侪悦惠艳

由树状图可知共12种等可能结果，其中“小惠被抽中''有6种,

所以“小惠被抽中”的概率是：2=二=!.

122

【点睛】

此题主要考查了树状图法求概率，熟悉相关性质是解题的关键.

17.(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)根据中线的画法解答即可；

(2)由(1)作出AC边的中线8E,过A0的直线交BC于M,设AM与BE交于点G,过

CG的直线交A3于点凡则CF就是AB边上的中线.

【详解】

(1)如图1所示，BE即为所求；

(2)如图2所示,C尸即为所求.

【点睛】

本题考查了应用与设计作图，需仔细分析题意，结合图形，利用中线的画法即可解决问题.

18.(1)y=-10x+300(2)当x=19,即定价19元/个时超市可获得的利润最高，最高利

润为1210元

【分析】

(1)根据图象可以得到函数经过点(10,20)和(14,160),利用待定系数法即可求得函

数的解析式.

(2)超市每星期的利润可以表示成x的函数关系式，然后根据函数的性质即可确定.

答案第9页，总16页

【详解】

解：(1)设y=kx+b,

10k+b=200

由题意得:{14k+b=160

解得：k=-10；b=300.

/.y=—I0x+300.

(2)由(1)知超市每星期的利润：

W=(x-8)y=(x-8)(-1Ox+300)

=-10(x-8)(x-30)

=-10(X2-38X+240)

=-10(X-19)2+1210

...当x=19,即定价19元/个时超市可获得的利润最高，最高利润为1210元.

19.(1)),=且％+空；(2)存在，点C的坐标是(-1,Y3).

333

【分析】

(1)过点B作BDLx轴于点D,可知NBOD=60。，求出B点坐标，再用待定系数法求解

析式即可；

(2)确定抛物线的对称轴，连接AB,与对称轴交于点C,此时，ABOC的周长最小，再

用AB解析式求C点坐标即可.

【详解】

(1)过点B作BDLx轴于点D,由已知可得：0B=0A=2,ZBOD=60°,在RsOBD中，

ZODB=90°,

OD=1,DB=百,

•••点B的坐标是(1,73).

k+b=也

设直线AB的解析式为y=kx+b,则有:

-2k+b=Q

3

解得：

2^3,

b=--

3

答案第10页，总16页

x=-l

•.•点C在对称轴x=-l上，△BOC的周长=OB+BC+CO,

VOB-2,要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，

•.♦点O与点A关于直线x=-l对称，有CO=CA,△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA

...当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，

BC+CA最小，止匕时△BOC的周长最小.

.•.当x=l时，代入直线AB的解析式）,=走％+迪得y=1

333

...点C的坐标是（-1,也）.

3

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数对称轴、最短路径问题，解题关键是根

据已知条件确定点的坐标和两点一线求最短的轴对称做法.

20.证明见解析

【解析】

（1）如图，连接OD,BD,

：AB是。O的切线，.\AB1BC,即NABC=90°,

VAB=AD,二NABD=NADB,

答案第11页，总16页

VOB=OD,AZDBO=ZBDO,AZABD+ZDBO=ZADB+ZBDO,

，ZADO=ZABO=90°,AAD是半圆O的切线.

(2)由(1)知，ZADO=ZABO=90°,

,ZA=360°-ZADO-ZABO-ZBOD=180°-ZBOD=ZDOC,

VAD是半圆O的切线，ZODE=90°,ZODC+ZCDE=90°,

VBC是。O的直径，,ZODC+ZBDO=90°,ZBDO=ZCDE,

VZBDO=ZOBD,，NDOC=2NBDO,AZDOC=2ZCDE,

ZA=2ZCDE.

21.(□△ABC是等腰三角形；(22ABC是直角三角形；(3)xpO,x2=-1.

【解析】

试题分析：(1)直接将x=-1代入得出关于a,b的等式，进而得出2=>即可判断△ABC

的形状；

(2)利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式，进而判断△ABC的形状；

(3)利用△ABC是等边三角形，则a=b=c,进而代入方程求出即可.

试题解析：(1)△ABC是等腰三角形；

理由：：x=-l是方程的根，

...(a+c)x(-1)2-2b+(a-c)=0,

a+c-2b+a-c=0,

-b=0,

/.a=b,

,△ABC是等腰三角形；

(2),・,方程有两个相等的实数根,

/.(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,

/.4b2-4a2+4c2=0,

a2=b2+c2,

•••△ABC是直角三角形;

答案第12页，总16页

(3)当△ABC是等边三角形，，(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,可整理为：

2ax?+2ax=0,

x2+x=0,

解得：X|=0,X2=-1.

考点：一元二次方程的应用.

22.(1)①60。；②2a；(2)小杨同学猜想是正确的.证明见解析.

【分析】

(1)①证明△ADC是等边三角形即可.

②如图2中，作CH_LAD于H.想办法证明NACD=2/B即可解决问题.

(2)小扬同学猜想是正确的.过B作BN_LCD于N,过E作EMJ_AC于M,如图3,想

办法证明△CBN丝4CEM(AAS)即可解决问题.

【详解】

解：(1)①：/8=30。，NACB=90°,

：./C4D=90。-30°=60°.

CA=CD,

...△AC。是等边三角形，

，ZACD=60°,

，旋转角为60。.

故答案为：60°.

②如图2中，作CH_LAO于H.

图2

VCA=CD,CHLAD,

：./ACH=/DCH.

VZACH+ZCAB=90°,NCAB+NB=90。,

:.ZACH=ZB,

答案第13页，总16页

；・ZACD=2ZACH=2ZB=2a,

，旋转角为2a.

故答案为：2a.

(2)小杨同学猜想是正确的.证明如下：

过B作BNLCD于N,过E1作EM_LA。于M,如图3,

•?NACB=NDCE=9G。,

/.Zl+Z2=90°,Z3+Z2=90°,

AZ1=Z3.

■:BNtCD于N,EM_LAC于M,

，NBNC=/EMC=900.

•